Integração Numérica

1. Integração Numérica

2. Integral • O conceito de integral esta ligado ao problema de determinar a área de uma figura plana qualquer. • Integral de uma função f(x) no intervalo [a,b]

3. A integral da função f(x) é representada por F(x) • Em determinados casos, F(x) não pode ser calculada • Obter F(x) não é trivial. • Nem sempre se tem a forma analítica da função a ser integrada, f(x), mas uma tabela de pontos que descreve o comportamento da função • Nestes casos, utilizamos a integração numérica

4. Integração Numérica • A solução numérica de uma integral é chamada de quadratura. Há dois métodos bastante empregados para calcular a quadratura de uma função que são chamadas regras de Newton-Cotes: • Regra dos trapézios • Regra de Simpson

5. Regra dos trapézios • substituição da função f(x) por um polinômio que a aproxime no intervalo [a, b] em pontos igualmente espaçados • O problema fica resolvido pela integração de um polinômio • Na regra dos trapézios, utiliza-se um polinômio interpolador de Lagrange do primeiro grau onde

6. onde • Integrando no intervalo [a,b] teremos • O que é a formula da área do trapézio, como mostrado na figura

7. Quanto for maior o intervalo, maior será o erro do método. Dessa forma, um melhoramento no método consiste em dividir o intervalo em vários pedaços, calcular a área de cada um deles e em seguida somar todos

9. Ex:Calcule a integral de no intervalo [0,1] com 10 subintervalos

10. Regra 1/3 de Simpson • podemos usar a fórmula de Lagrange para estabelecer a fórmula de integração resultante da aproximação de f(x) por um polinômio interpolador de grau 2 • Seja p2(x) que interpola f(x) nos pontos: • x0 = a • x1 = x0 + h • x2 = x0 + 2h = b

11. Regra 1/3 de Simpson

15. Resolvendo L0 Substituindo (x-x0)/h=y temos que dx = hdy. Daí, temos: X-x1 =x0+yh-(x0+h)=(y-1)h X-x2= x0+yh-(x0+2h)=(y-2)h X=x0->y=0 e X=x2->y=2

18. Exemplo • Estimar o valor da integral de ex no intervalo [0,1] através da regra 1/3 de Simpson

20. Regra 1/3 de Simpson Repetida

22. Exercício • Estimar a integral de e^x no intervalo de zero a um usando a regra 1/3 de Simpson repetida 3 vezes