1 / 15

Himpunan ortonormal, Proses Gram Schmidt

Himpunan ortonormal, Proses Gram Schmidt. By Yuwono MD. Himpunan Ortonormal. Ruang Hasil Kali Dalam Jk u = (u 1 , u 2 , u 3 , …, u n ) dan v = (v 1 , v 2 , v 3 , …,v n ) adalah vektor-vektor dalam R n , maka rumus : <u,v> = u.v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + … u n v n

roddy
Download Presentation

Himpunan ortonormal, Proses Gram Schmidt

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Himpunan ortonormal, Proses Gram Schmidt By Yuwono MD

  2. Himpunan Ortonormal • Ruang Hasil Kali Dalam • Jk u = (u1, u2, u3, …, un) dan v = (v1, v2, v3, …,vn) adalah vektor-vektor dalam Rn, maka rumus : <u,v> =u.v = u1v1+ u2v2+ … unvn • Mendefinisikan <u,v> sebagai hasil kali dalam Eucledian pada Rn.

  3. Teorema : • Jk u,v, dan w adalah vektor-vektor dalam suatu ruang hasil kali dalam real, dan k adalah sebarang skalar, maka : • <0,v> = <v,0> = 0 • <u,v+w> = <u,v> + <u,w> • <u,kv>= k <u,v> • <u-v,w> = <u,w> - <v,w> • <u,v-w> = <u,v> - <u,w>

  4. Sifat : Suatuhasil kali dalampadasuaturuangvektor real V adalahsuatufungsi yang menghubungkansuatubilangan real <u,v>dengansetiappasanganvektoru danv dalamV dengancarasedemikiansehinggasifat-sifatberikutinidipenuhiuntuksemuavektoru,vdanw dalamVdansemuaskalar k: • <u,v> = <v,u> • <u+v,w> = <u,w> + <v,w> • <ku,v> = k <u,v> • <v,v> 0 • ||u|| = <u,u> 1/2

  5. contoh • Anggap u=(u1,u2)dan v=(v1,v2) adalah vektor dalam R2. Tunjukkanlah bahwa hasil kali dalam Euclidean : <u,v> = 3u1v1 + 2u2v2 memenuhi keempat sifat hasil kali dalam.

  6. Jawaban : • Sifat 1 • <u,v> = 3u1v1 + 2u2v2 = 3v1u1 + 2v2u2 = <u,v> • Sifat 2 <u+v,w> = <u,w> + <v,w>, jika w = < w1,w2 >, maka : • <u+v,w> = 3(u1+v1)w1 + 2(u2+v2)w2 • = (3u1w1+3v1w1) + (2u2w2+2v2w2) • = (3u1w1+2u2w2) + (3v1w1+2v2w2) • = <u,w> + <v,w>

  7. Jawaban • Sifat 3 : <ku,v> = k <u,v> • <ku,v> = 3(ku1)v1 + 2(ku2)v2 • = k (3u1v1+ 2u2v2) • = k <u,v> • Sifat 4 : <v,v> 0 • <v,v> = (3v1v1+ 2v2v2) = 3v12+ 2v22 • Jelas < v,v > = 3v12+ 2v22 0 • Jadi terbukti bahwa <u,v> = 3u1v1 + 2u2v2 memenuhi ke 4 sifat hasil kali dalam

  8. Himpunan Orthogonal dan himpunan Orthonormal • Orthogonal • Dua vektor u dan v dalam suatu ruang hasil kali dalam < u,v > = 0 • Definisi 1 : suatu himpunan vektor dalam suatu ruang hasil kali dalam di sebut suatu himpunan ortogonal jika semua pasangan vektor yang berbeda dalam himpunan ortogonal tersebut.

  9. Contoh : • Diketahui : u=(0,1,0), v =(1,0,1),w =(1,0,-1) tentukan apakah himpunan S = {u,v,w} merupakan himpunan orthogonal !

  10. Definisi 2: Suatu himpunan orthogonal dimana masing-masing anggotanya mempunyai norma = 1, di sebut ortonormal. • Example : • Diketahui : u=(0,1,0), v =(1,0,1),w =(1,0,-1) tentukan apakah himpunan S = {u,v,w} merupakan himpunan ortonormal ! • Langkah : • A. selidiki apakah S = {u,v,w} merupakan himpunan ortogonal • B. selidiki norma tiap vektor yang ada, apakah = 1

  11. Soal • u = v = dan w = • Tentukan apakah himpunan S = {u,v,w} merupakan himpunan ortonormal !

  12. Teorema • Jika S={v1, v2, v3,…. vn} adalah suatu basis ortonormal untuk suatu ruang hasil kali dalam V, dan u adalah sebarang vektor dalam V, maka akan membentuk suatu kombinasi linear sbb : • u = <u, v1 >v1 + <u, v2 >v2 + ….+ <u, vn >vn

  13. Contoh : • Jika S={v1, v2, v3}, dimana v1= (0,1,0), v2 = (-4/5,0,3/5), v3 = (3/5,0,4/5) merupakan himpunan orthonormal (buktikan) Nyatakan vektor u = (1,1,1) sebagai suatu kombinasi linear dari vektor dalam S.

  14. Proses Gram Schmidt - PGS • Suatuhimpunan yang bukanortonormal, dapatdiubahmenjadihimpunanortonormaldenganmenggunakanProses Gram Schmidt • Langkah PGS : • Langkah 1 : v1 = • Langkah 2 : v2 = • Langkah 3 : v3 = • Dst….

  15. Soal • Diketahui : himpunan vektor S={u1,u2,u3} dimana u1= (1,-1,1)u2= (1,0,1)u3= (1,1,2). • Tentukan : • Apakah merupakan himpunan orthonormal? • Jika tidak, gunakan PGS untuk mengubah menjadi himpunan orthonormal.

More Related