INTEGRAL TENTU DAN PENERAPANNYA

1. BAB VIII INTEGRAL TENTU DAN PENERAPANNYA

2. 8.1 Integral tentu Sebelummembahastentang integral tentu, terlebihdahulu kitaakanmembicarakanluasbidangpadakoordinatKartesius. • Menentukanluasbidangtersebutsesederhanasepertikita • menentukanluasbidangsepertilingkaran, persegipanjang, • segitigaataubangun-bangunsederhanalainnya. • Cara yang sederhanauntukmenentukanluasbidang yang • dibatasiolehkurva f(x), sumbu x, x = x1dan x = x2kita • harusmembagibidangtersebutmenjadibeberapabagian. • Makin banyakpembagianbidangtersebutakansemakin • akurat pula hasilnya.

3. f(x) f(x) y y x x a b a b (a) (b) Sejumlahpersegipanjang yang terletakdibawahgrafik f Bidang yang terletak dibawahgrafik f Gambar 8.1

4. Pembagianbidangmenjadisejumlah n persegipanjangdapat berupaGambar 8.1(a) atau (b). Padaanalisaberikutkitaakan membagibidangsepertiGambar 8.1(a). • Misalterdapatsuatubidang R yang terletakpadakoordinat • kartesius yang dibatasiolehgaris x=a, garis x=b, sumbu x dan • grafik f yang kontinudantaknegatifpadaselangtertutup [a,b]. • Jikaluasbidang R adalah A, makauntukmenentukanluas A • yang mendekatihargasebenarnyaadalahdenganjalan • membagibidangtersebutmenjadibeberapapersegipanjang • yang mempunyailebar yang sama (lihatGambar 8.1(a)).

5. MisalluasseluruhpersegipanjangpadaGambar 8.1(a) adalah Ai. • Jikalebarsetiappersegipanjangsangatkecil, makaluas Ai  A. • Jikaselangtertutup [a,b] dibagimenjadi n sub-selangdengan • lebarx makaakandidapatx = (b-a)/n. Selanjutnyadenganmemilihbatasan sub-selang x0, x1 , x2 , … xndengan x0 = a danxn = b, maka seperti yang ditunjukkanpadaGambar 8.2 berikut.

6. y f(x) f(uk ) x 0 x0 =a x1 x2 xk-1ukxkxn =b Gambar 8.2

7. Sehingga, x0 =a ; x1 =a+x ; x2 =a+2x ; x3=a+3x ; xk-1 =a+(k-1)x ; xk =a+kx ; xn=a+nx Luaspersegipanjangadalah Ai = f(u1) x + f(u2) x + … + f(uk) x + f(un) x • Jikamenggunakannotasipenjumlahan “”, maka • Persamaan 8.2 disebutjumlah Riemann dan f(uk) adalah • harga minimum f pada sub-selangtertutup [xk-1,xk]. • Jikajumlahpersegipanjang (n) sangatbesarmakax • menjadisangatkecil.

8. Luasbidang (A) yang dibatasioleh f(x), sumbu x, x0 = a dan xn = b samadenganluaspersegipanjang Ai bila x sangatkecil (atau n sangatbesar). Dalambentukrumusdapatditulis, • Definisi Misalterdapatsuatufungsi f yang kontinupadaselang tertutup [a,b]. • Integral tentufungsi f dari a ke b didefinisikansebagai • limit jumlah Riemann atau,

9. Dari Gambar 8.2 danpersamaan 8.1 didapat 8.2 Sifat-sifat integral tentu Berdasarkanpersamaan 8.5 makadapatditentukansifat utama integral tentuyaitu, F(x) adalah anti turunan f(x)

10. Sifat-sifat integral tentulainnya 4. Jika f terintegralkanpada [a,b] dan c adalahsembarang bilanganril, makacfterintegralkanpada [a,b].

11. 5. Jika f dan g terintegralkanpada [a,b] makaf+gdan f–g jugaterintegralkanpada [a,b]. 6. Jika a < c < b dan f(x) terintegralkanpada [a,c] dan [c,b], maka f(x) terintegralkanpada [a,b].

12. 7. Jika f terintegralkanpada [a,b] dan f  0 untuksetiap x yang terletakpada [a,b], maka • Contoh 8.1 Selesaikan Penyelesaian

15. 8.3 LuasBidang Secaraumumbidang yang beradapadakoordinatKartesius dibatasioleh y1 = f(x), y2 = g(x), x1 = a dan x2 = b. Bidangtersebutditunjukkanolehbidang yang diarsirpada Gambar 8.3. Luasnyabidangadalah

16. f(x) y g(x) x x1=a x2=b 0 Gambar 8.3

17. BentukkhususdaribidangpadaGambar 8.3 adalahbidang seperti yang terlihatpadaGambar 8.4, yaitubidang yang dibatasi oleh y1 = f(x), y2 = 0, x1 = a dan x2 = b. Luasbidangadalah

18. f(x) y x 0 x1= a x2= b Gambar 8.4

19. Contoh 8.2 Penyelesaian y x2 ¼ x2 x x = 3 0 x = 1

20. Contoh 8.3 Tentukanluasbidang yang dibatasioleh x2 +1, ¼x2 +4 , x = 0 dan x = 3. • Penyelesaian

21. y= x2 +1 y = ¼x2 +4 y x 0 x=2 x=3

22. 8.4 Volume danluaskulitbendaputar Jikasuatugrafikfungsidiputarmengelilingisumbu x, maka akanterbentuksuatubendaputar yang mempunyai volume danluaskulittertentu. Grafikfungsidapatjugadiputar mengelilingisumbu y. PadaGambar 8.5 diperlihatkansuatu fungsi f(x) yang diputarmengelilingisumbu x. Akibatnya akanterbentuksuatubendaputarsepertiGambar 8.5 b. Volume bendaputardapatditentukandengancara menganalisaelementipis yang mempunyaiketebalanx.

23. y f(x) x 0 x=a x=b (a) y f(x) x 0 xi x xn=b x1=a (b) Gambar 8.5

24. Luaskulitelemen (A) = 2 [f(xi)] x • Berdasarkanpersamaan 8.4 makaluaskulitbendaputar • dapatditulismenjadi Volume elemen (V) = [f(x)]2 .x

25. y Jadi volume bendaputaradalah y2 =b f(y) y1=a x • Jika f(x) diputarmengelilingisumbu y, makaakanterbentukbangunsepertiGambar 8.6 berikut. 0 Gambar 8.6

26. Dengancara yang samasepertisebelumnya, makaluaskulit bendaputar yang diputarmengelilingisumbu y adalah Sedangkanvolumenyaadalah Contoh 8.4 Tentukanluaskulitdan volume bendaputarjika y = ¼ x3 Diputarmengelilingi: a) sumbu x mulaidari x=1 sampai x=3 b) sumbu y mulaidari y=1 sampaiy=2

27. Penyelesaian y f(x) Grafik y = ¼ x3 x 0

28. y a) Perputaranmengelilingisumbu x dari x=1 sampaix=3 x 0 x=1 x=3

30. b) Perputaranmengelilingisumbu y dari y=1 sampai y=2 y • y=2 y=1 x 0