INTEGRAL TAK TENTU

1. INTEGRAL TAK TENTU • INTEGRASI FUNGSI PECAH • INTEGRASI FUNGSI TRIGONOMETRI

2. 7.5. Integrasifungsipecah Fungsipecahadalahfungsirasional yang mempunyaibentuk P(x)/Q(x), dimana P(x) dan Q(x) adalahpolinomialdan Q(x)  0. • Dalambentukrumusfungsipecahdapatditulisdalambentuk,

3. Jika ∫f(x)dxtidakdapatdiselesaikandenganmetodesubstitusi, makagunakanmetodepecahanparsial. Langkah-langkah yang dapatdigunakanadalahsebagaiberikut: • 1. Periksaderajad P(x) dan Q(x). Jikaderajad P(x) lebihbesar • dariderajad Q(x) makacarihasilbagi P(x)/Q(x). Jikaderajad P(x) lebihkecildari Q(x) makalangsungkenomor 2. 2. Faktorkan Q(x) • a. Untukfaktoraxnpecahanparsialnyaditulisdalam • bentuk, • b. Untukfaktor (ax+b)npecahanparsialnyaadalah,

4. c. Untukfaktor (ax2+bx+c)n pecahanparsialnyaadalah, Koeffisien-koeffisien A1 , A2 , A3 , … , Andapatdiganti dengan A, B, C dst. Contoh 7.10 • Penyelesaian Karenaderajad P(x) lebihkecildariderajad Q(x) maka faktorkan Q(x).

5. Untukmenentukannilai A, B, dan C, bandingkanpembilang • pada (**) denganpembilangpadasoal, sehinggadidapat, • A+B+C = 1 • –A+2B-3C = 5 • –6A = –12 • Tigapersamaantersebutmenghasilkan • A = 2 ; B = 4/5 ; C = -9/5

6. Denganmemasukkanharga A, B dan C ke (*) makadidapat, Selesaikan Contoh 7.11 • Penyelesaian

7. Karenaderajad P(x) lebihtinggidariderajad Q(x) makalakukan pembagian. x + 1 x4 + 7x3 + 12x2– 10x – 7 x3 + 6x2 + 5x – 12 x4 + 6x3 + 5x2 – 12x x3 + 7x2 + 2x – 7 x3 + 6x2 + 5x – 12 x2 – 3x + 5

8. 7.6. Integrasifungsitrigonometri 7.6.1 Integrasifungsisinu, cosu, tanu, cotu, secudancscu Bukti

9. Bukti Bukti

10. Bukti Bukti

12. Bukti

13. 7.6.2 Integrasifungsisinmudancosmu Langkahuntukmenyelesaikan∫sinmu du dan∫cosmu du adalahsebagaiberikut.

14. Jika m adalahbilanganbulatpositifganjil yang lebihbesardarisatu, makasinmuditulisdalambentuk sinm-1 u sin u • Sedangkancosm u ditulis cosm-1 u cos u. • Selanjutnyagunakanidentitastrigonometri, • sin2u + cos2u = 1 danmetodesubstitusi • 2. Jika m adalahbilanganbulatpositifgenap yang lebihbesardaridua, makasinmuditulisdalambentuk (sin2 u)m/2 . • Sedangkancosm u ditulis (cos2 u)m/2 . • Selanjutnyagunakanidentitastrigonometri, Contoh 7.12

15. Contoh 7.12 Penyelesaian Misal u = cosx –du = sinxdx

16. Contoh 7.13 Penyelesaian Misal u = sinx du = cosxdx

17. Contoh 7.14 Penyelesaian

18. Contoh 7.15 Penyelesaian

19. 7.6.3 Integrasifungsitrigonometrisinmucosnu Untukmenyelesaikan integral yang mengandung integransinm u cosnuberikutdiberikanlangkah- langkahpenyelesaian. • 1. Jika m adalahbilanganbulatganjil 3, maka c. Lakukansubstitusi u = cosx 2. Jika n adalahbilanganbulatganjil 3, maka c. Lakukansubstitusi u = sinx

20. 3. Jika m dan n adalahbilangangenap 2, maka b. Gunakanidentitastrigonometri, Contoh 7.16 Penyelesaian Misal u = cosx –du = sinxdx

21. Contoh 7.17 Penyelesaian

23. 7.6.4 Integrasifungsitrigonometritanm u secnu Untukmenyelesaikan integral yang mengandungintegran tanmusecnuberikutdiberikanlangkah-langkahpenyelesaian • 1. Jika m adalahbiilanganbulatganjil3, maka c) Lakukansubstitusi u = sec x

24. 2. Jika n adalahbilanganbulatgenap 2, maka : a) tanm x secn x ditulisdalambentuk tan mx secn-2x sec2x • b) Gunakanidentitastrigonometri sec2x = tan2x + 1 • c) Lakukansubstitusi u = tanx • Jika m adalahbilangangenapdan n adalahbilanganganjil, • berkemungkinanmetode yang digunakanadalah integral • parsial Contoh 7.18 Penyelesaian

25. Misal u = sec x du = secxtanxdx Jadi 7.7. Integrasifungsitrigonometriinvers

26. Bukti dw = du w = u Gunakanrumus integral parsial ∫v dw=vw – ∫w dv Contoh 7.19 Penyelesaian

27. Bukti dw = du w = u Gunakanrumus integral parsial ∫v dw=vw – ∫w dv

28. Bukti

29. Bukti Bukti

30. Bukti

31. 7.8 Integrasidengansubstitusitrigonometri • 7.8.1 Integrasifungsiirrasional Langkahawaluntukmenyelesaikan integral fungsi irrasionaladalahdengan mengu8bah integran yang berbentukirrasionalmenjadirasional. Biasanyauntuk mencapaihaltersebutkitalakukansubstitusitrigonometri. • Padapasaliniakandibahasbeberapafungsiirrasional.

32. Bukti Dari gambardisampingdidapat a x a sinu = x  a cos u du = dx u

33. (7.17) Bukti Dari gambardisampingdidapat x a secu = x  a secutanu du = dx u a

34. (7.18) Bukti Dari gambardisampingdidapat x a tanu = x  a sec2u du = dx u a

35. (7.19) Bukti • Dari gambardisampingdidapat x a secu = x  a secutanu du = dx u a

36. (7.20) Bukti Dari gambardisampingdidapat a a sinu = x  a cos u du = dx x u

37. (7.21) Bukti Dari gambardiatasdidapat x u a Misal v = sinudv = cosu du

39. Bukti • Dari gambardisampingdidapat x a secu = x  a secutanu du = dx u a

40. Dari gambar diatas didapat, 7.8.2 Integrasifungsi yang mempunyaibentuk 1/(x2+a2) Bukti x u a tanu = x  a sec-1u du = dx a

41. Dari pembahasan yang telahdiuraiankandiatasdapat disimpulkanbahwa: makasubstitusi x = a sinu makasubstitusi x = a tanu makasubstitusi x = a secu makasubstitusi x = a tanu • a) Jikaintegranmengandung • b) Jikaintegranmengandung • c) Jikaintegranmengandung • d) Jikaintegranmengandung a2 + x2

42. Jika ax2 +bx+cmerupakanfaktorterkecildan d(ax2 +bx+c)  (Ax+B)dx, maka Bukti

43. Misal, du = dx

44. Substitusinilai u, m dan n, didapat,

45. Contoh 7.20 Penyelesaian A = 1 ; B = -2 ; a = 1 ; b = 2 ; c = 5

46. 7.8.4 Integrasifungsiirrasional yang sejenis Jikaintegranhanyamemuatbentukirrasionaldarisatu jenisfungsi, misalnya f(x), makakitadapatmenggunakan substitusi u = , dimana n adalahkelipatan persekutuanterkecildaripangkat-pangkatakar. Contoh 7.21 Penyelesaian

47. 7.8.5 Jikaadalahsatu-satunyabentuk irrasionalpadaintegran Jikaadalahsatu-satunyabentukirrasional padaintegran, makakitadapatmelakukansubstitusisebagai berikut.

48. Contoh 7.22 Penyelesaian Misal u = x – 3 → du = dx

49. 7.8.6 Jikaadalahsatu-satunyabentukirrasionalpada integran • Jikaadalahsatu-satunyabentukirrasionalpada • integran, makalakukansubstitusi Contoh 7.23 Penyelesaian