Bab 2 Pentaabiran bagi perbezaan dua min

1. Bab 2Pentaabiran bagi perbezaan dua min

2. Objektif Mengenalpasti beza min dan varians bagi min sampel yang bertaburan normal dan bukan normal. Membina selang keyakinan bagi beza min. Mengenalpasti maksud ujian hipotesis dua sampel. Mengenalpasti ujian hipotesis dua sampel ke atas beza min (sampel kecil dan besar).

3. Pentadbiran bagi perbezaan dua min Pengenalan. Taburan pensampelan bagi perbezaan dua min sampel. Selang keyakinan bagi perbezaan dua min populasi. Ujian hipotesis bagi perbezaan dua min populasi.

4. Pengenalan • Sebelum ini, kita lihat pentadbiran min satu sampel. Dalam situasi sebenar adalah penting untuk membandingkan 2 set sampel data. Berikut merupakan contoh-contoh penggunaan 2 set sampel data. • Seorang penyelidik ingin mengkaji adakah penggunaan bahan bakar bagi 2 jenis kereta berbeza, jika data sampel menunjukkan purata penggunaan salah satunya 24.6 km per liter manakala kereta yang satu lagi menggunakan 25.7 km per liter. • Apabila menguji keberkesanan sesuatu ubat, tentukan samada terdapat perbezaan di antara satu kumpulan pesakit yang diberikan ubat tersebut dengan satu kumpulan pesakit yang tidak diberi ubat tersebut. TR1723-Bab 2

5. Ulangkaji taburan pensampelan Taburan min sampel bagi populasi dengan pengembalian Jika x1 x2 x3… xn ialah suatu sampel rawak bersaiz n yang diambil daripada populasi dengan pengembalian (atau populasi tidak terhingga) dengan min  dan varians 2, maka min untuk min sampel adalah dan varians untuk min sampel adalah TR1723-Bab 2

6. Ulangkaji taburan pensampelan Taburan min sampel bagi populasi tanpa pengembalian Jika x1 x2 x3… xn ialah suatu sampel rawak bersaiz n yang diambil daripada sebarang populasi terhingga bersaiz N dengan min  dan varians 2 tanpa pengembalian, maka min untuk min sampel adalah dan varians untuk min sampel adalah TR1723-Bab 2

7. Ulangkaji taburan pensampelan Taburan pensampelan terhadap min bagi sebarang populasi bertaburan normal Jika x1 x2 x3… xn ialah sampel rawak bersaiz n yang diambil daripada populasi yang bertaburan normal dengan min  dan varians 2, maka min sampel, yang juga bertaburan normal dengan min  dan varians iaitu TR1723-Bab 2

8. Taburan pensampelan terhadap perbezaan dua min. Jika dua sampel rawak tak bersandar bersaiz n1 dan n2 diambil daripada dua populasi tak terhingga dengan min 1 dan 2 dan varians 1dan 2, maka taburan pensampelan untuk beza antara dua min, adalah bertaburan hampir normal dengan min dan varians iaitu apabila n1 dan n2 adalah cukup besar. TR1723-Bab 2

9. Taburan pensampelan terhadap perbezaan dua min. Taburan pensampelan terhadap perbezaan dua min bagi dua populasi bertaburan normal dan juga mempunyai taburan yang sama, iaitu Rujuk contoh 6.8 ms 82 dan 6.9 ms 83 dalam buku teks. TR1723-Bab 2

10. Taburan pensampelan terhadap perbezaan dua min. Jika anda sudah faham, sila selesaikan masalah no. 7 dan no. 8 ms 89 dalam buku teks. TR1723-Bab 2

11. Ulangkaji penganggaran selang • Panganggar selang sesuatu parameter adalah satu selang nilai yang mengandungi nilai sebenar dengan keyakinan tertentu. Selang yang dibina disebut sebagai selang keyakinan. • Nilai sebenar parameter dikatakan berada di antara dua nilai tertentu aras keyakinan (1-)100%. TR1723-Bab 2

12. Ulangkaji penganggaran selang Penganggaran selang satu sampel bagi min Terdapat 3 keadaan TR1723-Bab 2

13. Selang keyakinan bagi perbezaan dua min (sampel besar) • Jika x1 dan x2 adalah min sampel rawak bersaiz n1 dan n2 (n1 dan n2 30) yang diambil daripada populasi bertaburan normal; • Selisih antara 2 min sampel, , adalah penganggar titik bagi selisih min untuk 2 populasi, 1 - 2 • Oleh itu, selang keyakinan (1-)100% bagi 1 - 2 ialah jika 1 dan 2 diketahui jika 1 dan 2 tidak diketahui TR1723-Bab 2

14. Selang keyakinan bagi perbezaan dua min (sampel besar) Di mana dan TR1723-Bab 2

15. Selang keyakinan bagi perbezaan dua min (sampel besar) Rujuk contoh 7.13 ms 102 dan 7.14 ms 103 dalam buku teks. TR1723-Bab 2

16. Selang keyakinan bagi perbezaan dua min (sampel besar) Contoh: Kursus motivasi telah diberikan kepada dua kumpulan jurujual dgn tujuan meningkatkan jualan syarikat. Selepas kursus, kump. A yg terdiri drpd 50 org jurujual telah meningkatkan min jualan bulanan mereka sebyk RM250 dgn sisihan piawai RM60. Min jualan bulanan kump. B yg terdiri drpd 40 org jurujual pula telah bertambah sebyk RM150 dgn sisihan piawai RM30. Dapatkan selang keyakinan 95% utk perbezaan dalam pertambahan jualan bulanan di antara dua kumpulan jurujual tersebut. TR1723-Bab 2

17. n1=50 = RM 250 s1 =RM 60 n2=40 = RM 150 s2 =RM 30 Penyelesaian : Katakan 1 dan 2 adalah min populasi bagi pertambahan jualan bulanan bagi kump. A dan B masing-masing. Oleh itu, selang keyakinan (1-)100% bagi 1 - 2 ialah : = (RM 80.95, RM 119.05) TR1723-Bab 2

18. Selang keyakinan bagi perbezaan dua min (sampel kecil) Rumusnya ialah : dengan darjah kebebasan , dk = n1+n2-2 dengan TR1723-Bab 2

19. Selang keyakinan bagi perbezaan dua min (sampel kecil) Seorang ejen kereta ingin mengkaji kualiti enjin dua jenis kereta berdasarkan kekerapan kerosakan. Satu sampel rawak 15 org pemilik kereta ditanya berapa kalikah enjin kereta perlu diperbaiki dlm tempoh dua tahun lepas. Semua kereta yg dikaji adh berusia 5 tahun. Maklumat yg didapati adh seperti berikut : Kereta Jenis A : = 8, s1= 1.8 ; Kereta Jenis B : = 5, s2= 2.1 Andaikan kedua-dua varians populasi adh sama. Dapatkan selang keyakinan 90% utk perbezaan min bilangan kerosakan bagi dua jenis kereta itu. TR1723-Bab 2

20. Selang keyakinan bagi perbezaan dua min (sampel kecil) S.K 90% utk perbezaan min bilangan kerosakan bagi dua jenis kereta itu ialah : Oleh itu, kita yakin sebyk 90% bahawa perbezaan min bilangan kerosakan bagi dua jenis kereta itu ialah di antara 1.785 kali hingga 4.215 kali untuk dua tahun yg lepas. = (1.785, 4.215) TR1723-Bab 2

21. Ulangkaji hipotesis satu sampel Hipotesis adalah satu pernyataan, anggapan atau kepercayaan atau dakwaan tentang sesuatu parameter populasi. • Terdapat 5 langkah di dalam pengujian hipotesis. • Pernyataan hipotesis. • Penentuan statistik ujian. • Penentuan nilai kritikal dan rantau kritikal/penolakan. • Keputusan ujian. • Kesimpulan: sama ada menyokong atau menolak hipotesis. TR1723-Bab 2

22. 1  Diketahui 2  Tidak diketahui dan n  30 3  Tidak diketahui dan n< 30 Ulangkaji hipotesis satu sampel Penentuan Statistik ujian, terdapat 3 keadaan: TR1723-Bab 2

23. JikaH1:  > o JikaH1:  < o -z x z Nilai genting Nilai genting Ulangkaji hipotesis satu sampel Terdapat dua bentuk ujian: Ujian satu sisi dan Ujian dua sisi. Kawasan penolakan TR1723-Bab 2

24. JikaH1:   o -z Nilai genting z Ulangkaji hipotesis satu sampel Terdapat dua bentuk ujian: Ujian satu sisi dan Ujian dua sisi. Kawasan penolakan TR1723-Bab 2

25. = Ujian hipotesis terhadap perbezaan dua min (sampel saiz besar) Jika adalah 2 min sampel rawak tak bersandar, maka dengan 1 = min populasi 1 n1 = saiz sampel populasi 1 2 = min populasi 2 n2 = saiz sampel populasi 2 12= varians populasi 1 = min sampel 1 22= varians populasi 2 = min sampel 2 TR1723-Bab 2

26. Ujian hipotesis terhadap perbezaan dua min (sampel saiz besar) • Andaian yang penting utk hipotesis selisih min saiz sampel besar ialah kedua-dua sampel drpd kedua-dua populasi perlulah dipilih secara rawak dan tidak bersandar. • Saiz sampel n1 dan n2 mestilah cukup besar supaya masing-masing menghampiri taburan normal, maka s12 dan s22 akan menjadi penganggar terbaik bagi 12 dan 22. • Untuk itu syarat n1 30 dan n2 30 perlulah dipenuhi. TR1723-Bab 2

27. dan = = Ujian hipotesis terhadap perbezaan dua min (sampel saiz besar) • Hipotesis nul ialah H0 : 1 - 2 =  = 0 dengan statistik ujian • Nilai  di dalam statistik ujian diperolehi drpd H0 • Kebiasaannya nilai 1 dan 2 tidak diketahui, oleh itu kita gantikan dengan • kerana s1 dan s2 merupakan penganggar terbaik bagi 1 dan 2 TR1723-Bab 2

28. Ujian hipotesis terhadap perbezaan dua min (sampel saiz besar) 3 kes ujian hipotesis perbezaan dua min Hipotesis Kawasan penolakan H0 :  = 0 lwn H1 :  > 0 z > z (1 hujung kanan) H0 :  = 0 lwn H1 :  < 0 z < - z (1 hujung kiri) H0 :  = 0 lwn H1 :  0 z > z/2 atau z < - z/2 ( 2 hujung) dengan 1 - 2 = . Rujuk contoh 9.1 ms 129 dalam buku teks. TR1723-Bab 2

29. Ujian hipotesis terhadap perbezaan dua min (sampel saiz besar) Latihan 2: Satu kajian mengenai perbezaan usia kereta di antara kereta pelajar dan kereta pekerja telah dijalankan di sebuah kolej swasta. Oleh itu, sebanyak 217 kereta pelajar telah dipilih secara rawak dan secara puratanya kereta mereka berusia 7.89 tahun dengan sisihan piawai 3.67 tahun. Manakala 152 kereta pekerja telah dipilih secara rawak dan memberikan purata usia 5.99 tahun dengan sisihan piawainya 3.65 tahun. Gunakan  = 0.05 untuk menguji dakwaan yang kereta pelajar lebih tua (lama) daripada kereta pekerja. TR1723-Bab 2

30. Ujian hipotesis terhadap perbezaan dua min (sampel saiz besar) Latihan 3: Pihak pengurusan Bank A mendakwa purata masa menunggu bagi para pelanggannya adalah kurang drpd Bank B. Sebuah syarikat perunding perniagaan telah mengambil sampel sebyk 200 pelanggan Bank A dan mendapati purata masa menunggu mereka ialah 4.75 minit dgn sisihan piawai 1.2 minit. Sampel kedua pula seramai 300 pelanggan telah ditanya dan memberikan purata masa menunggu selama 5 minit dgn sisihan piawai 1.5 minit. Uji pada aras keertian 2.5%, sama ada dakwaan yg dibuat oleh pihak pengurusan Bank A benar atau tidak. TR1723-Bab 2

31. Ujian hipotesis terhadap perbezaan dua min (sampel saiz kecil) • Sampel saiz kecil diambil kerana kekangan seperti masa dan kos. Maka adalah sukar untuk mengambil sampel yang bersaiz besar. • Jika kedua-dua populasi drpd mana sampel diambil tertabur secara (menghampiri) normal dan sisihan piawai diketahui, maka taburan z masih boleh digunakan. Walau bagaimanapun, bagi kes n1<30 dan n2<30 (sampel bersaiz kecil) drpd populasi yang tertabur secara (menghampiri) normal dan kedua-dua sisihan piawai, 1 dan 2, tidak diketahui, maka taburan t akan digunakan. TR1723-Bab 2

32. Ujian hipotesis terhadap perbezaan dua min (sampel saiz kecil) • Andaian yang perlu dipenuhi utk menggunakan taburan t: • Kedua-dua sampel dipilih drpd 2 populasi yang tertabur secara (menghampiri) normal. • Saiz kedua-dua sampel adalah kecil (n1<30 dan n2<30) dan dipilih secara rawak serta tidak bersandar(merdeka). • Sisihan piawai 1 dan 2 bagi kedua-dua populasi tidak diketahui tetapi nilainya adalah sama, iaitu 1 = 2. TR1723-Bab 2

33. Ujian hipotesis terhadap perbezaan dua min (sampel saiz kecil) Apabila 1=2, maka kita akan menggunakan  untuk kedua-dua 1 dan 2 iaitu 1=2=. Memandangkan  tidak diketahui, kita gantikannya dengan penganggar titik sp yang dinamakan sisihan piawai tergembleng iaitu Jika adalah 2 min sampel rawak tak bersandar, maka TR1723-Bab 2

34. Ujian hipotesis terhadap perbezaan dua min (sampel saiz kecil) 3 kes ujian hipotesis selisih min (saiz sampel kecil) Hipotesis Kawasan penolakan H0 :  = 0 lwn H1 :  > 0 t > t (1 hujung kanan) H0 :  = 0 lwn H1 :  < 0 t < - t ( 1 hujung kiri) H0 :  = 0 lwn H1 :   0 t > t/2 atau t < - t/2 ( 2 hujung) dengan 1 - 2 = . Statistik ujian : dengan darjah kebebasan, dk = n1+n2-2 TR1723-Bab 2

35. Ujian hipotesis terhadap perbezaan dua min (sampel saiz kecil) Rujuk contoh 9.2 ms 132 dalam buku teks. TR1723-Bab 2

36. Ujian hipotesis terhadap perbezaan dua min (sampel saiz besar) Latihan 4: Satu sampel 14 tin minuman Jenis Y memberikan purata kalori 23 setin dgn sisihan piawainya 3 kalori. Satu sampel lain yg terdiri drpd 16 tin minuman Jenis Z pula memberikan purata kalori 25 setin dgn sisihan piawai sebanyak 4 kalori. Pada aras keertian 1%, adakah anda boleh katakan purata kalori bagi kedua-dua jenis minuman tin tersebut adalah berbeza ? (Andaikan bilangan kalori setin utk kedua-dua jenis minuman adalah tertabur secara normal dan sisihan piawai bagi kedua-dua populasi adalah sama) TR1723-Bab 2

37. Ujian hipotesis terhadap perbezaan dua min (sampel saiz besar) Latihan 5: Syarikat ZZ mempunyai 2 buah pasaraya di bandar P. Pihak pengurusan kualiti syarikat ingin memeriksa sama ada pelanggan berpuashati dengan layanan yang diberikan oleh kedua-dua pasaraya. Satu sampel 25 pelanggan dipilih drpd pasaraya 1 menghasilkan purata “indeks kepuashatian” sebanyak 7.8 (berdasarkan skala 1 hingga 10, 1 yang terendah dan 10 tertinggi) dengan sisihan piawai 0.75. Untuk sampel kedua, 28 pelanggan dipilih drpd pasaraya 2 dan menghasilkan purata “indeks kepuashatian” sebanyak 8.3 dengan sisihan piawai 0.59. Andaikan “indeks kepuashatian” pelanggan untuk kedua-dua pasaraya tertabur secara normal dengan sisihan piawai populasi yang sama. Uji pada aras keertian 1% sama ada purata “indeks kepuashatian” bagi kedua-dua pasaraya adalah berbeza. TR1723-Bab 2