Bab V

1. Bab V VektorRuangDimensi 2 danDimensi 3

2. PengantarVektor

3. Vektor Geometris • Skalar (Luas, Panjang, Massa, Waktu dan lain - lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak tertentu. • Vektor (Gaya, Percepatan, Berat, Kecepatan dan lain - lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak dan arah tertentu. • Vektor disajikan secara geometris sebagai ruas garis berarah atau panah dalam ruang berdimensi 2 dan ruang berdimensi 3. • Arah panah menentukan arah vektor dan panjang panah menentukan besarnya vektor.

4. Ekor dari panah disebut titik pangkal vektor. • Ujung panah disebut titik ujung vektor. • Vektor ditulis dalam huruf kecil tebal (a, k, v, w, dan x), sedangkan Skalar ditulis dengan huruf kecil miring ( a, k, v, w, dan x) • Jika u menyatakan ruas garis berarah dari A ke B, maka ditulis dengan lambang ū = , panjang vektor u dinyatakan dengan |u| dan panjang vektor AB dinyatakan dengan

5. Vektor - vektor yang panjangdanarahnyasamadisebutekuivalen, vektor-vektor yang ekuivalendipandangsamawalaupunmungkinterletakpadaposisi yang berbeda. Jika v dan w ekuivalen, kitatuliskanv = w B A Vektor AB Vektor-vektor yang ekuivalen

6. Jika v dan w adalah dua vektor sebarang, maka jumlah v dan w adalah vektor yang ditentukan sebagai berikut : • Letakkan vektor w sedemikian sehingga titik pangkalnya bertautan dengan titik ujung v. • Vektor v + w disajikan oleh panah dari titik pangkal v ke titik ujung w. w v + w = w + v v v + w

7. Vektor yang panjangnya nol disebut vektor nol dan dinyatakan dengan 0. • Jika v adalah sebarang vektor tak nol, maka –v, negatif dari v, didefinisikan sebagai vektor yang besarnya sama dengan v, tetapi arahnya terbalik. v Vektor ini mempunyai sifat : v + (-v) = 0 -v

8. v v-w w Jika v dan w adalah dua vektor sebarang, maka selisih w dari v didefinisikan sebagai : v – w = v + (-w) Jika v adalah suatu vektor tak nol dan k adalah suatu bilangan real tak nol (skalar), maka hasil kali kv didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya k kali panjang v dan arahnya sama dengan arah v jika k > 0 dan berlawanan arah dengan v jika k < 0. Kita definisikan kv = 0 jika k = 0 atau v = 0

9. Vektor-VektorDalamSistemKoordinat • Vektor - Vektor dalam Ruang Berdimensi 2 (Bidang) Koordinat v1dan v2dari titik ujung v disebut komponen v, dan kita tuliskan : v = (v1, v2) y (v1, v2) v x

10. y v + w =(v1 + w1 , v2 + w2) w = (w1, w2) v + w w v = (v1, v2) v x v - w =(v1 - w1 , v2 - w2) kv = ( k.v1, k.v2)

11. CONTOH : • Sketsakanvektor-vektorberikutinidengantitikpangkalpadatitikasal : • v1 = (3,6) (b) v2 = (-4, -8) (c) v3 = (5,-4) • Hitunglah ! • v1+v2danv2+v3 • v1-v2danv3-v2 • k.v1, k.v2, dank.v3jikak = 3

12. CONTOH : Sketsakanu=(-3, 1, 2), v = (4, 0, -8), dancarilah, • u-v • 6u+2v • 5(v-4u)

13. z z Z (v1,v2,v3) Y P v y y 0 X x x • Vektor - Vektor dalam Ruang Berdimensi 3 (Ruang)

14. Jikavektormempunyaititikpangkal P1(x1,y1,z1) dantitikujung P2(x2,y2,z2), maka = (x2-x1, y2-y1, z2-z1) Dengankata lain • CONTOH : • Sketsakanu=(-3, 1, 2), v = (4, 0, -8), dancarilah, • u - v • 6u + 2v • 5(v - 4u)

15. AksiomaRuangVektor • Jika x, y dan z adalahsuatuvektordalamruang berdimensi-2 danruang berdimensi-3. danβadalahskalar, makaberlakuhubunganberikut : • x + y = y + x  SifatKomutatif • (x + y) + z = x + (y + z)  SifatAsosiatifpenjumlahan • x + 0 = 0 + x = x • 0x = 0 atau x0 = 0 • x + (-1)x = x + -x = 0

16. Untuksuatuskalar ,  (x + y) = x + y  sifatdistributif • ( +) x = x + x, untuksuatuskalar  dan  sifatdistributif • ( ) x =  (x), untuksuatuskalar  dan  • 1 . x = x • |mu| = |m| |u| • Jika mu = 0, maka m = 0 atau u = 0 • Ketidaksamaansegitiga :

17. PERGESERAN SUMBU Ketikakitamenggesersumbu –XY sehinggamendapatkan –X’Y’. O’ Titikawalbaruberadapadatitik (x , y) = ( k , l ), selanjutnyaterdapat : = (x’, y’) , maka : x’ = x – k dan y’ = y - l

18. BIDANG PADA RUANG DIMENSI 3 • Bidang dalam ruang dimensi 3 dapat ditentukan jika kemiringan dan salah satu titik yang terletak pada bidang tersebut diketahui. • Bidang dalam ruang dimensi 3 dapat digambarkan dengan menggunakan suatu vektor normal yang tegak lurus terhadap bidang.

19. z P(x,y,z) . n . P0(x0,y0,z0) y x Misalkan n =(a,b,c) adalahvektor normal daribidang yang melewatititik P0(x0,y0,z0) dan P(x,y,z) dimana P0P adalahvektorortogonalterhadap n n . P0P = 0 ( a, b, c ) . ( x-x0, y-y0, z-z0) = 0 a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0) = 0 --- --- (i) Persamaan (i) disebutsebagaibentukNORMAL – TITIKdaripersamaansuatubidang

20. BENTUK UMUM PERSAMAAN SUATU BIDANG DALAM DIMENSI 3 TEOREMA : Jika a, b dan c adalahkonstantatidaknol, makaGrafikdaripersamaan : ax + by + cz + d = 0 adalahsuatubidang yang memilikivektor : n = ( a, b, c) sebagainormalnya.

21. GARIS PADA RUANG DIMENSI 3 z l . P(x,y,z) . P0(x0,y0,z0) v =(a, b, c) y x

22. Berdasarkangambarsebelumnya, diketahuibahwagaris l melaluititik P0dan P sertasejajardenganvektorv. Jikaterdapatsuatuskalar T, makadiperolehpersamaanberikut :  P0P = t vdan;(x-x0, y-y0, z-z0) = (ta , tb, tc )x-x0 = ta x = x0 + ta …..(i) y-y0 = tb y = y0 + tb …..(ii) z-z0 = tcz = z0 + tc …..(iii)persamaan (i), (ii), (iii) disebutpersamaanparametrikuntukgaris l

23. JARAK ANTARA TITIK DENGAN BIDANG Jika D adalah jarak antara titik P0(X0, Y0, Z0 ) dengan bidang : ax + by + cz + d = 0 maka

24. Bilaterdapat P1(x1,y1,z1) dan P2(x2,y2,z2) yang merupakanduatitikdalamruang berdimensi-3, makajarakd antarakeduatitiktersebutadalah:

25. PanjangdanJarakVektor • Panjangsuatuvektor u dinyatakandengan |u|. Untukruangberdimensi 2. u = ( u1, u2) . Untuk ruang berdimensi 3. u = ( u1, u2, u3)

26. Misalada P1(x1,y1,z1) dan P2(x2,y2,z2) adalahduatitikdalamruang berdimensi-3, makajarakd antarakeduatitiktsbadalah

27. Hasil kali TitikdariVektor Jika u dan v adalahvektor - vektordalamruangberdimensi 2 atauberdimensi 3 dan adalahsudutantara u dan v, makahasil kali titikatauhasil kali dalameuclideanu.v, didefinisikansebagai :

28. u.v = u1.v1+ u2.v2+u3.v3  R3 • u.v = u1.v1+ u2.v2  R2 • CONTOH : u = (2,-1,1) danv = (1,1,2), Carilahu.vdantentukansudutantaraudanv!

29. SudutAntarVektor • Jika u dan v adalah vektor-vektor tak nol, maka :

30. Hasil kali titikbisadigunakanuntukmemperolehinformasimengenaisudutantara 2 vektor. • Jika u dan v adalahvektor-vektortaknoldan adalahsudutantarakeduavektortersebut, maka :  lancipjikadanhanyajikau.v>0  tumpuljikadanhanyajikau.v<0  =/2 jikadanhanyajikau.v=0

31. u.v = u1.v1+ u2.v2+u3.v3  R3 • u.v = u1.v1+ u2.v2  R2 CONTOH : u = (2,-1,1) danv = (1,1,2), Carilahu.vsertatentukansudutantaraudanv!

32. Vektor-VektorOrtogonal • Vektor - vektor yang tegaklurusdisebutdenganvektor - vektorortogonal. • Duavektor u dan v ortogonal (tegaklurus) jikadanhanyajikauv = 0. • Untukmenunjukkanbahwa u dan v adalahvektor - vektor yang ortogonalmakakitatuliskan u  v.

33. ProyeksiOrtogonal • Jika u dan a adalahvektor - vektordalamruangberdimensi 2 atau 3 danjika a ≠ 0, maka : Komponenvektor u yang sejajardengan a Komponenvektor u yang ortogonalterhadap a

34. Hasil Kali SilangVektor • Jikahasil kali titikberupasuatuskalarmakahasil kali silangberupasuatuvektor. • Jika u = (u1,u2,u3) dan v = (v1,v2,v3) adalahvektor-vektordalamruangberdimensi 3, makahasil kali silang u x v adalahvektor yang didefinisikansebagai u x v =(u2v3 - u3v2 ,u3v1 - u1v3 ,u1v2 - u2v1 ) ataudalamnotasideterminan :

35. Sifat-sifatUtamadariHasil Kali Silang • Jikau,v, dan w adalahsebarangvektordalamruangberdimensi 3 dan k adalahsebarangskalar, maka : u x v = -(v x u) u x (v+w) = (u x v) + (u x w) (u + v) x w = (u x w) + (v x w) k(u x v) = (ku) x v = u x (kv) u x 0 = 0 x u = 0 u x u = 0

36. HubunganantaraHasil Kali TitikdanHasil Kali Silang • Jika u, v dan w adalahvektor-vektordalamruangberdimensi 3, maka : u.(u x v) = 0 u x v ortogonalterhadap u. v.(u x v) = 0 u x v ortogonalterhadap v. |u x v|2=|u|2|v|2 – (u.v)2 u x (v x w) = (u.w)v – (u.v)w (u x v) x w = (u.w)v – (v.w)u