GRAFY PLANARNE

1. GRAFY PLANARNE • To grafy, które można narysować na płaszczyźnie tak, by krawędzie nie przecinały się (poza swoimi końcami). • Na przykład K_4, ale nie K_5. • Formalna definicja prowadzi przez grafy płaskie.

2. Grafy płaskie • G=(V,E) nazywamy grafem płaskim, gdy V jest skończonym podzbiorem punktów płaszczyzny euklidesowej, a E to zbiór krzywych Jordana o końcach w V i takich, że: 1) rożne krzywe mają różne pary końców, 2) „wnętrza” krzywych nie zawierają punktów innych krzywych zbioru E ani żadnych punktów zbioru V. • Graf płaski jest grafem abstrakcyjnym o zbiorze wierzchołków V i zbiorze krawędzi E, ale też zbiorem punktów

3. Ilustracja

4. Ściany • jest otwartym podzbiorem płaszczyzny • jego obszary spójne nazywamy ścianamiG • dokładnie 1 ściana jest nieograniczona – nazywamy ją zewnętrzną. • brzeg ściany albo daną krawędź zawiera albo jest rozłączny z jej wnętrzem.

5. Ilustracja S3 S1 S3 S2 S3 – ściana zewnętrzna

6. Mosty i nie-mosty Niech C będzie cyklem w grafie płaskim G. • Jeśli e należy do C, to e leży na brzegu dokładnie dwóch ścian i te ściany zawarte są w 2 różnych ścianach grafu C. • Jeśli e jest mostem, to e leży na brzegu dokładnie jednej ściany. • Wniosek: płaski las ma tylko jedną ścianę.

7. Ilustracja: mosty, cykle

8. P H 2-spójne grafy płaskie Fakt: W 2-spójnym grafie płaskim brzeg każdej ściany jest cyklem. Dowód:Indukcja z wykorzystaniem konstrukcyjnej charakterystyki grafów 2-spójnych (ćw).

9. Triangulacje • Graf płaski nazywamy maksymalnym, gdy żaden jego nadgraf właściwy o tym samym zbiorze wierzchołków nie jest płaski. • Graf płaski nazywamy triangulacją, gdy brzeg każdej ściany jest trójkątem. Fakt. Graf płaski o co najmniej 3 wierzchołkach jest maksymalny wgdy jest triangulacją.

10. Dowód • Jeśli każda ściana jest trójkątem, to nie można dodać krawędzi, która nie naruszałaby warunków 1) i 2) z def. płaskości. • G musi być 2-spójny, więc brzeg każdej ściany jest cyklem. Niech C będzie jednym z nich. • Skoro G jest maksymalny, to V(C) jest kliką w G, której wszystkie krawędzie leżą na zewnętrznej ścianie C. • Jest to jednak możliwe tylko, gdy |V(C)|<4 • (patrz: rysunek).

11. Ilustracja dowodu C

12. Zajrzyjmy do pudełek n=20, m=30, l=12 n=8, m=12, l=6 n-m+l=2

13. Wzór Eulera Tw. (Euler, 1752)W każdym spójnym grafie płaskim liczba wierzchołków n, liczba krawędzi m i liczba ścian l spełniają równość: n-m+l=2 Dowód: Indukcja względem m przy ustalonym n. Jeśli m=n-1, to G jest drzewem i l=1. Jeśli m>n-1, to G zawiera cykl. Usuńmy krawędź e z tego cyklu. Graf G-e ma 1 krawędź mniej i 1 ścianę mniej niż G. Stosujemy zał. ind. do G-e. 

14. Liczba krawędzi grafu płaskiego Wniosek:Graf płaski o n wierzchołkach ma nie więcej niż 3n-6 krawędzi, triangulacja ma ich dokładnie tyle. Dowód: Licząc krawędzie wokół każdej ściany triangulacji i sumując je, otrzymamy 2m, ale jednocześnie 3l. Stąd i ze wzoru Eulera pomnożonego przez 3, 3n-3m+2m=6.

15. Przykład triangulacji n=7, m=3n-6=15, l=10

16. K_4 Grafy planarne • Graf G jest planarny, gdy jest izomorficzny z grafem płaskim. Mówimy wtedy, że można go zanurzyć w (narysować na) płaszczyźnie. • Graf płaski, izomorficzny z G nazywamy rysunkiem G. Fakt:Każdy graf planarny posiada rysunek, którego krawędzie są odcinkami prostych. (ćw)

17. Równoważność topologiczna • Dwa rysunki tego samego grafu są topologicznie równoważne, gdy (multi)zbiory podgrafów będących brzegami ścian pokrywają się. • Przykład: 2 top. równoważne rysunki K_4

18. 6 6 7 5 6 4 5 5 Poniższe pary nie są równoważne

19. 3-spójne grafy planarne Tw. (Whitney, 1932)Każde dwa rysunki 3-spójnego grafu planarnego są topologicznie równoważne. Lemat: Cykl C 3-spójnego grafu płaskiego jest brzegiem ściany wgdy C jest cyklem indukowanym a V(C) nie rozdziela G. Dowód Tw.:Z Lematu, każdy rysunek3-spójnego grafu planarnego ma te same cykle na brzegach ścian.  Dowód Lematu: Skoro V(C) nie rozdziela G, to przynajmniej 1 ze ścian C nie zawiera punktów G-C. Zatem C jest brzegiem ściany.

20. Dowód Lematu  • Niech C będzie brzegiem ściany, a x,y dwoma (niesąsiednimi na C) wierzchołkami C. • Z 3-spójności G, w G-{x,y} istnieje ścieżka P łącząca dwa łuki grafu C-{x,y}. • Gdyby istniała krawędź xy, to przecinałaby P (bo obie muszą biec przez zewnętrzną ścianę C) – sprzeczność! (bo G jest płaski). • Zatem C jest cyklem indukowanym.

21. Ilustracja y P C x

22. Dowód Lematu  c.d. • Niech x,y należą do V(G)-V(C) • Z 3-spójności G są między nimi co najmniej 3 niezależne ścieżki, które dzielą płaszczyznę na 3 rozłączne obszary. • C musi się zawierać w jednym z nich, a więc jedna ze ścieżek omija C. • Zatem zbiór V(C) nie rozdziela x,y.

23. Ilustracja x y C

24. Maksymalne grafy planarne • Graf planarny jest maksymalny, gdy żaden jego nadgraf właściwy o tym samym zbiorze wierzchołków nie jest planarny. • Rysunek maksymalnego grafu planarnego jest triangulacją, i odwrotnie, każda triangulacja jest maksymalnym grafem planarnym. • Zatem, graf planarny o n>2 wierzchołkach jest maksymalny wgdy ma 3n-6 krawędzi. • Triangulacje są 3-spójne (bez dowodu)

25. Ani, ani • Wszystkie grafy na 4 wierzchołkach są planarne (bo K_4 jest planarny) • Wszystkie grafy na 5 wierzchołkach są planarne, oprócz K_5(ćw.) • Wszystkie grafy dwudzielne na 6 wierzchołkach są planarne, oprócz K_{3,3}(ćw.) • AniK_5, aniK_{3,3} nie jest planarny Dowód dla K_5: m=10>9=3n-6 Dowód dla K_{3,3}: na ćwiczeniach!

26. D2 D1 D3 ? ? S2 S3 S1

27. K_3 G=TK_3 Podziały topologiczne krawędzi • Nieformalny zapis G=TH oznacza, ze G jest jednym z grafów, które można otrzymać z grafu H przez topologiczne podziały krawędzi. (TH jest więc nieskończoną rodziną grafów)

28. Tw. Kuratowskiego • Ani TK_5, ani TK_{3,3} nie jest planarny. • Żaden graf planarny nie zawiera ich. Tw. (Kuratowski 1930) Graf G jest planarny wgdy nie zawiera ani TK_5 ani TK_{3,3}. (bez dowodu.)