Matematyka wokół nas

1. Matematyka wokół nas

2. Zastosowanie matematyki w geografii

3. Czas słoneczny Punkty, które leżą na tym samym południku mają taki sam czas słoneczny. Przykładowo Londyn leżący w Wielkiej Brytanii i francuskie miasto Lourdes leżą na tym samym południku. Oznacza to, że czas słoneczny w tych miastach jest taki sam, podczas południa Słońce góruje tam najwyżej.

4. Przykładowe zadania 1. Oblicz czas słoneczny w Warszawie, jeśli w Londynie jest południe. Należy wykorzystać tu zależność, że każdy 1º= 4min Do obliczenia potrzebujemy długości geograficznej obu tych miast. Londyn- 0 º Warszawa- 21º Jeżeli miasta leżą na tej samej półkuli, to długości te do siebie dodajemy, jeżeli na przeciwnych- odejmujemy. 21º - 0º = 21º Na podstawie tego, że jeden stopień to cztery minuty obliczamy różnicę czasu: 21º x 4 min = 81 min = 1 godz. 21 min. Teraz możemy już obliczyć która godzina jest w Warszawie: 12.00 + 1 godz. 21 min. = 13 godz. 21 min. Odp. W Warszawie jest godzina 1321.

5. 2. Oblicz która godzina jest w Nowym Jorku, jeśli w Amsterdamie jest 14 czasu słonecznego? Amsterdam - 5º E Nowy Jork - 74º W 74º + 5º = 79º 79º x 4 min. = 316 min = 5 godz 16 min 14.00 – 5 godzin i 16 minut = 8. 44 Odp. Jeżeli w Amsterdamie jest 14 czasu słonecznego, to w Nowym Jorku jest 8.44

6. Czas strefowy Jest to czas miejscowy południka środkowego strefy. Na przykład południk 0º jest południkiem środkowym strefy czasu uniwersalnego. Strefa czasu uniwersalnego rozciąga się pomiędzy południkiem 7º 30' W a 7º 30'E. Czas w pozostałych strefach określa się w odniesieniu do czasu uniwersalnego. W kierunku wschodnim w każdej kolejnej strefie czasowej dodaje się jedną godzinę /np. U + 1 h/ , a w kierunku zachodnim – odejmuje się 1 godzinę /np. U – 1h/.Południki środkowe stref mają kolejno długość geograficzną 0º , 15º E, 30º E, 45º E, 60º E, 75º E, 90º E, 105º E, 120º E, 135º E, 150º E, 165º E, 180º i 15º W, 30º W, 45º W, 60º W, 75º W, 90º W, 105º W, 120º W, 135º W, 150º W, 165º W.

7. Przykładowe zadania 1. Która godzina czasu strefowego jest w Pekinie, jeżeli w Londynie jest południe? Londyn – 12.00 Pekin - 116º E Przechodzimy do obliczeń czasu strefowego w Pekinie: U + 8h = 12.00 + 8h = 20.00 Odp. Podczas gdy w Londynie słońce góruje, w Pekinie jest 20.00 czasu strefowego.

8. Kolejnym przykładem zastosowania matematyki w geografii jest obliczanie współrzędnych geograficznych na podstawie górowania słońca:

9. Przykładowe zadanie W dniu 22 VI żeglarz zaobserwował, że słońce góruje po północnej stronie nieba. Gdy zmierzył wysokość górowania Słońca otrzymał 56 stopni i 33 minuty. W tym czasie radio Londyn podało godzinę 14.00. Oblicz współrzędne geograficzne miejsca, w którym znajdował się żeglarz. W którym kierunku powinien płynąć, aby dotrzeć do najbliższego lądu? Jaki to ląd? Jeżeli żeglarz widział Słońce po stronie północnej 22 czerwca to musi być on na półkuli południowej bądź na północnej ale tylko do szerokości 23 st 27‘ze wzoru liczymy szerokość miejsca - jest na półkuli południowej 56 st 33' = 90 st - b - 23 st 27'b = 10 st Sw Londynie - czas uniwersalny jest 14, a w miejscu w którym znajduje się żeglaż jest 12 - południe słoneczneLiczymy różnicę czasu14 - 12 = 2 h = 120 minZ proporcji wyliczamy różnicę w stopniach1 st - 4 minutyx st - 120 minx = 30 st W Londynie jest późniejsza godzina, co sugeruje nam że dane miejsce jest na półkuli Zachodniej, więc mamy długość 30 st WWspółrzędne miejsca (10 S, 30 W)Odp. Żeglarz powinien płynąć na Zachód, a kierując się w tamtym kierunku dotrze do wybrzeży Brazylii

10. Symetrie w otaczającej nas rzeczywistości

11. Symetria jest często rozumiana jako przekształcenie figury na tę samą figurę. Na płaszczyźnie wyróżniamy symetrię osiową ( symetrię względem prostej – odbicie lustrzane ) i symetrię środkową ( względem punktu ).

12. Symetria osiowa: Symetrią osiową względem prostej k nazywamy przekształcenie płaszczyzny, w którym każdemu punktowi A przyporządkowany jest punkt A', leżący na prostej prostopadłej do tej prostej k przechodzącej przez punkt A w tej samej odległości od k co punkt A, ale po drugiej stronie prostej k. Prostą k nazywamy osią symetrii. Figury symetryczne względem prostej są przystające.

13. Figury osiowosymetryczne: Prosta względem której figura jest symetryczna sama do siebie nazywa się osią symetrii figury. O figurze, która ma oś symetrii mówimy, że jest figurą osiowo symetryczną.

14. Przykłady symetrii osiowej w otaczającej nas rzeczywistości:

15. Symetria środkowa: Symetrią względem punktu O zwanego środkiem symetrii nazywamy przekształcenie płaszczyzny, w którym punkt O jest stały, a każdemu innemu punktowi A przyporządkowuje punkt A' taki, że punkt O jest środkiem odcinka AA'. Figury symetryczne względem punktu są przystające.

16. Środek symetrii figury: Punkt, względem którego figura jest symetryczna sama do siebie, nazywa się środkiem symetrii figury.

17. Przykłady symetrii względem punktu w otaczającej nas rzeczywistości:

18. Procenty

19. Zamiana ułamków na procenty i procentów na ułamki

20. Procent to setna część jakiejś liczby, oznaczamy go symbolem "%". Ułamki zwykłe o mianowniku 100 i ułamki dziesiętne z dwoma miejscami po przecinku łatwo możemy zapisać w postaci procentu (%). a/100 = a% lub 0,01a = a% 1/100 = 0.01 = 1% 1 = 100/100 = 100%

21. Przykłady: 1/4 = 25/100 = 25% 1/4 = 1/4 . 100% = 25% 2/5 = 40/100 = 40% 2/5 = 2/5 . 100% = 40%

22. Aby zamienić ułamek na procent, należy ten ułamek pomnożyć przez 100 i dopisać znak %. Przykłady: 25% = 25/100 = 1/4 25% = 0,25 60% = 60/100 = 3/5 60% = 0,60 Aby procent zapisać w postaci ułamka należy liczbę procentów podzielić przez 100 (pomnożyć przez 1/100)

23. Obliczanie procentu danej liczby p% liczby k to p% . k = p . k/100

24. Przykładowe zadania: 1. W pierwszej klasie gimnazjum jest 32 uczniów. Na lekcji matematyki 6 1/4% uczniów było nieobecnych. Oblicz, ilu uczniów było nieobecnych. obliczenia możemy wykonać tak : 6 1/4 % = 25/4% = 25/400 = 1/16 - zamieniamy procent na ułamek 1/16 * 32 = 1*32/16 = 2 - obliczamy ułamek danej liczby lub tak : 6 1/4% * 32 = 25/4% *32 = = 25/400 * 32 = 25*32/400 = 32/16 = 2 - obliczamy 6 1/4% liczby 32 Odp. Na lekcji matematyki dwóch uczniów było nieobecnych.

25. 2. Fabryka obuwia wyprodukowała 6000 par obuwia damskiego i męskiego, z czego 68% to obuwie damskie. Ile par butów damskich i ile par bytów męskich wyprodukowała ta fabryka? 68% * 6000 = 68 * 6000/100 = 4080 6000 - 4080 = 1920 Odp.: Fabryka wyprodukowała 4080 par butów damskich i 1920 butów męskich. 3. Cena telewizora wynosi 2500 zł. Sklep udzielił kupującemu zniżki 10%. Ile złotych zapłacił kupujący za ten telewizor. 10% * 2500 = 10 * 2500/100 = 250 (zł) 2500 - 250 = 2250 (zł) Odp.: Kupujący, za telewizor zapłacił 2250 zł.

26. 4. W jednym z Warszawskich kin jest 500 miejsc, a w drugim jest o 15% więcej miejsc. Ile miejsc jest w drugim kinie? 15% * 500 = 15 * 500 / 100 = 75 500 + 75 = 575 Odp.: W drugim kinie jest 575 miejsc.

27. Obliczanie liczby z danego jej procentu Liczba m, której p% stanowi k, to m = k.100/p

28. Przykład: Znajdź liczbę, której 75% stanowi 225. I sposób: 75% = 75/100 = 3/4 - zamieniamy procent na ułamek 225:3/4 = 225 . 3/4 - znajdujemy liczbę na podstawie =225 . 4/3 = 300 danego jej ułamka II sposób: Jeżeli 75% stanowi 225 to 1% stanowi 225/75 a 100% stanowi 225/75 . 100 = 225 . 100/75 = 300 Odp.: Liczba, której 75% stanowi 225, jest równa 300.

29. Obliczanie, ile procent jednej liczby stanowi druga liczba Obliczanie, jakim procentem liczby a (a ≠ 0 ) jest liczba b, wykonujemy następująco: b/a . 100% = b . 100/ a %

30. Przykładowe zadania 1. W klasie liczącej 30 uczniów pewnego dnia pięciu uczniów było nieobecnych. Jaki procent wszystkich uczniów stanowili uczniowie nieobecni? 5:30 = 5/30 = 1/6 - taki ułamek stanowili uczniowie nieobecni 1/6 . 100% = 100/6% = 16 2/3 % - taki procent stanowili uczniowie nieobecni Odp.: Uczniowie nieobecni stanowili 16 2/3% wszystkich uczniów. 2. Na kursie języka francuskiego liczącym około 90 słuchaczy, było 48 kobiet. Jaki procent słuchaczy stanowiły kobiety ? • 48/90 * 100% = 48 * 100 / 90 = 53,3% Odp.: Kobiety stanowiły 53,3% procent słuchaczy.

31. 3.W klasie jest 27 uczniów, a dziewcząt jest 15. Oblicz jaki prcent liczby uczniów w klasie stanowią dziewczęta. 27/15 * 100% = 15 * 100 / 27 = 55,6% Odp.: Dziewczęta w tej klasie stanowią 55,6 %. 4. W gimnazjum sportowym jest 378 uczniów. W czasie ferii zimowych 265 uczniów wyjechało na obóz. Ile procent uczniów było na obozie? 265/378 * 100% = 265 * 100 / 378 = 70% Odp.: Na obóz wyjechało 70% uczniów.

32. Oprocentowanie oszczędności i kredytów Do obliczania odsetek od złożonego kapitału możemy użyć wzoru d = k . p . t / 100 d - odsetki, k - kapitał, p - procent, t - czas (liczba oznaczająca jeden rok, lub część jednego roku )

33. Przykładowe zadania 1. Oblicz odsetki od kwoty 2000 zł złożonej w banku na okres 6 miesięcy prz 3% oprocentowaniu w stosunku rocznym. Obliczamy odsetki za cały rok : 2000 * 3% * 1 = 2000 * 3 /100 = 60 zł Obliczamy odsetki za 6 miesięcy 6 miesięcy = 1/2 roku 60 * 1/2 = 30 zł Odsetki te możemy obliczyć następująco : 2000 * 3% * 1/2 = 2000 * 3 * 1/2 / 100 = 30 zł Odp.: Po 6 miesiącach naliczono 30 zł odsetek.

34. 2.Oblicz odsetki od kwoty 4000 zł wpłaconej do banku na ok. 6 miesięcy przy oprocentowaniu 2,5%. 4000 * 2,5% * 0.5 / 100 = 50 (zł) Odp.: W czasie pół roku odsetki wyniosą 50 zł. 3.Jaki będzie stan konta po okresie umownym, jeżeli wpłacimy do banku 3500 zł na okres 12 miesięcy, a oprocentowanie wynosi 6% ? 3500 * 6% * 1 / 100 = 210 (zł) 3500 + 210 = 3710 (zł) Odp.: Stan konta będzie wynosił 3710 zł.

35. 4. Jaką kwotę spłaci kredytobiorca, który pobrał z banku kwotę 270 000 zł kredytu na okres 30 lat przy stopie procentowej 4%? 270000 * 4% * 30 / 100 = 324 000 (zł) Odp.: kredytobiorca spłaci 324 000 zł.

36. Promile Ułamki zwykłe o mianowniku 1000 i ułamki dziesiętne z trzema miejscami po przecinku możemy zapisać w postaci promili (‰) Przykłady : 12/1000 = 12‰ o, 328 = 328‰

37. Przykładowe zadanie 1. Droga na odcinku 3 km wznosi sie o 150m. Oblicz, jaki promil długości drogi stanowi wzniesienie na tym odcinku. 3 km = 3000 m 150 : 3000 = 0.05 %o Odp.: Wzniesienie na tym odcinku stanowi 0.05 promila długości całej trasy.

38. Pola wielokątów

39. Trójkąt: P = ½ a • h (podstawa razy wysokość) Trapez: P = ½(a+b) • h(a – jedna podstawa trapezu; b – druga podstawa trapezu; h – wysokość trapezu) Prostokąt: P = a • b

40. Romb: P = ½ e • f (e, f – dłuższa i krótsza przekątna rombu) Równoległobok: P = a • h (a – bok równoległoboku; h- wysokość opuszczona na bok a) Deltoid: P = ½ e • f

41. Przykładowe zadania 1.Pan Kowalski ma działkę w kształcie prostokąta o polu 10a. Jeden bok ogrodzono siatką o długości 50m. Ile siatki trzeba dokupić na pozostałe boki działki? P=a*b b=P/a A=50m b=1000m/50m=20m P=10a=1000m Ob.=2a+2b= 2*50+2*20=140 140-50=90 Odp. Do ogrodzenia działki potrzeba jeszcze dokupić 90m. .

42. 2.Pani Ewa chce ułożyć rabatkę w kształcie trójkąta o boku 10m i wysokości 5m. Ile musi kupić trawy, aby obsiać rabatkę wiedząc, że na 1m2 potrzeba 200g nasion? P= a*h/2 P=10m*5m/2=25m2 25*200=2000 Odp. Potrzeba 2000g nasion

43. Przekształcanie wzorów

44. Przekształcanie wzorów jest umiejętnością, która na pewno przyda nam się w życiu codziennym, a przede wszystkim na egzaminie gimnazjalnym!

45. Ważne! Zasady przekształcania równań: • do obu stron równania możemy dodać lub od obu stron równania możemy odjąć to samo wyrażenie. • obie strony równania możemy pomnożyć bądź podzielić przez tę samą liczbę różną od zera.

46. Pamiętaj! Przy mnożeniu lub dzieleniu obu stron równania przez to samo wyrażenie musimy wiedzieć, że wartość tego wyrażenia jest różna od zera lub przyjąć odpowiednie założenie. Przy przekształcaniu wzorów możemy przenosić dowolne wyrażenie na drugą stronę równości. Oczywiście trzeba pamiętać o zmianie znaku tego wyrażenia na przeciwny. Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias

47. Przekształcanie wzorów pól wielokątów

48. Pole prostokąta P=a*b a=? P=a*b|:b P:b=a a=P:b Przykładowe zadanie: Pole prostokąta wynosi 48cm2. Długość boku b wynosi 8cm. Ile wynosi długość boku a? P=48cm2 a=? b=8cm P=a*b|:b a=P:b a=48cm2 : 8cm a=6cm Odp. Długość boku a wynosi 6cm.

49. Pole trójkąta P= ½ a*h h=? P= ½ a*h| :½ a P: ½ a=h h=P: ½ a Przykładowe zadanie: Pole trójkąta równobocznego, którego długość podstawy a wynosi 4cm wynosi 16cm2 . Oblicz wysokość trójkąta. P=16cm2 h=? a=4cm P= ½ a*h P= ½ a*h|: ½ a P: ½ a=h h=P: ½ a h=16cm2 : ½ 4cm h=16cm2 : 2cm h=8cm Odp. Wysokość trójkąta równobocznego wynosi 8cm.

50. Pole trapezu P= ½(a+b)*h a=? P= ½(a+b)*h|:(½*b*h) P: (½*b*h)=a a= P: (½*b*h) Przykładowe zadanie: Długość podstawy górnej trapezu wynosi 4cm, a wysokość 5cm. Oblicz długość podstawy dolnej trapezu a, jeżeli pole tego trapezu wynosi 50cm2 P=50cm2 a=? b=4cm h=5cm P= ½(a+b)*h P= ½(a+b)*h|:(½*b*h) P: (½*b*h)=a a= P: (½*b*h) a=50cm2 :(½*4cm*5cm) a=50cm2 :(2cm*5cm) a=50cm2 : 10cm A=5cm Odp. Długość dolnej podstawy trapezu wynosi 5cm.