Diferensiasi

1. Sudaryatno Sudirham Diferensiasi Klikuntukmelanjutkan

2. BahanKuliah Terbuka dalam format pdftersedia di www.buku-e.lipi.go.id dalam format ppsberanimasitersedia di www.ee-cafe.org

3. Pengertian-Pengertian

4. y 2 Δy 1 Δx 0 x 0 1 2 3 4 -1 Kita telah melihat bahwakemiringangarislurusadalah Bagaimanakah dengan garis lengkung?

5. y = f(x) y y = f(x) y Δy* P1 P2 Δx* x Δy Inimerupakanfungsi turunan dari di titik P P1 Δx x GarisLengkung Garislurusdengankemiringany/xmemotonggarislengkung di duatitik JarakkeduatitikpotongsemakinkeciljikaΔxdi perkecilmenjadix* Pada kondisi Δx mendekati nol, kitaperoleh Ekivalen dengan kemiringan garis singgung di titik P

6. y (x2,y2) (x1,y1) x Padasuatugarislengkung kitadapatmemperolehturunannya di berbagaititikpadagarislengkungtersebut f ′(x) di titik (x1,y1) adalah turunanydi titik (x1,y1), f ′(x) di titik (x2,y2) adalah turunany di titik(x2,y2)

7. Jika pada suatu titik x1 di mana benar ada makadikatakanbahwafungsi f(x) “dapat didiferensiasi di titik tersebut” Jikadalamsuatu domain suatufungsif(x) dapat di-diferensiasi di semuaxdalamdalam domain tersebut kitakatakanbahwafungsif(x) dapat di-diferensiasidalam domain. kitabaca “turunanfungsiyterhadapx” Penurunaninidapatdilakukanjikaymemangmerupakanfungsix. Jikatidak, tentulahpenurunanitutidakdapatdilakukan.

8. Mononom

9. Contoh: Contoh: Fungsi ramp 10 y 8 Fungsi tetapan 6 4 2 0 0 1 2 3 4 5 x

10. Contoh: Turunan fungsimononompangkat 2berbentuk mononompangkat 1 (kurvagaris lurus) Contoh: Turunan fungsi mononompangkat 3berbentuk mononompangkat 2 (kurva parabola)

11. berbentuk garis lurus Jika n= 1 maka kurva fungsi dan turunannya berupa nilai konstan, Jika n > 1, maka turunan fungsi akan merupakan fungsi x, Secara umum, turunan fungsimononom adalah *) Fungsi turunan ini dapat diturunkan lagi dan kita mendapatkan fungsi turunan berikutnya, yang mungkinmasihdapatditurunkanlagi turunandari turunandari *)Untukn berupabilangantakbulatakandibahaskemudian

12. disebut turunan pertama, turunan kedua, turunan ke-tiga, dst. Contoh:

13. Kurva fungsi mononom yang memiliki beberapaturunan akan berpotongan dengan kurva fungsi-fungsi turunannya. dan turunan-turunannya Fungsi 200 100 0 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -100 Contoh:

14. Polinom

15. 10 f1(x) = 4x + 2 y 8 6 4 2 0 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 x -2 -4 Contoh: Turunanfungsiinisamadenganturunanf(x)=4x karenaturunandaritetapan 2 adalah 0. SecaraUmum:JikaF(x) = f(x) + K makaFʹ(x) = f (x)

16. 10 y 5 0 -1 0 1 2 3 4 x -5 -10 -15 Contoh:

17. Contoh: Contoh: Secara Umum: Turunan fungsipolinom, yang merupakan jumlah beberapa mononom, adalah jumlah turunan masing-masing mononom dengan syarat setiap mononom yang membentuk polinom itu memang memiliki turunan.

18. Fungsi Yang Merupakan Perkalian Dua Fungsi

19. Jika maka

20. Contoh: adalah Turunan Jikadipandangsebagaiperkalianduafungsi Jika Contoh: Jikadipandangsebagaiperkaliantigafungsi

21. Fungsi Yang Merupakan PangkatdarisuatuFungsi

22. Contoh: Contohinimenunjukkanbahwa SecaraUmum:

23. Contoh: Kita gabungkan relasi turunan untuk perkalian dua fungsi dan pangkat suatu fungsi

24. Fungsi Rasional

25. Fungsi rasional merupakan rasio dari dua fungsi atau Jadi:

26. Contoh: Contoh: Contoh: (agar penyebut tidak nol)

27. FungsiBerpangkatTidakBulat

28. Bilangantidakbulat dengan p dan q adalah bilangan bulat dan q ≠ 0 (vadalahfungsi yang bisaditurunkan) Jika y ≠ 0, kita dapatkan sehingga Formulasi ini mirip dengan keadaanjikan bulat, hanya perlu persyaratan bahwa v ≠ 0 untuk p/q < 1.

29. FungsiParametrikdan Kaidah Rantai

30. Apabila kita mempunyai persamaan maka relasi antara x dan y dapat dinyatakan dalam t. Persamaan demikian disebut persamaan parametrik, dan t disebut parameter. Jika kita eliminasi t dari kedua persamaan di atas, kita dapatkan persamaan yang berbentuk Jika dapat diturunkan terhadap x dan dapat diturunkan terhadap t, maka dapat diturunkan terhadap t menjadi Kaidah rantai

31. FungsiImplisit

32. Sebagianfungsiimplisitdapatdiubahkedalambentukexplisitnamunsebagian yang lain tidak. Untukfungsi yang dapatdiubahdalambentukeksplisit, turunanfungsidapatdicaridengancaraseperti yang sudahkitapelajari di atas. Untukmencariturunanfungsi yang takdapatdiubahkedalambentukeksplisitperlucarakhusus, yang disebutdiferensiasiimplisit. Dalamcarainikitamenganggapbahwafungsiydapatdidiferensiasiterhadapx.

33. Jika kita peroleh turunan Contoh: Fungsi implisit ini merupakan sebuah persamaan. Jika kita melakukan operasi matematis di ruas kiri, maka operasi yang sama harus dilakukan pula di ruas kanan agar kesamaan tetap terjaga. Kita lakukan diferensiasi (cari turunan) di kedua ruas, dan kita akan peroleh

34. Contoh: Fungsi implisit ini juga merupakan sebuah persamaan. Kita lakukan diferensiasi pada kedua ruas, dan kita akan memperoleh kita dapat memperoleh turunan Untuk

35. TurunanFungsiTrigonometri

36. Jika maka Untuk nilai yang kecil, Δx menuju nol, cosx = 1dan sinx = x. Oleh karena itu

37. Jika maka Untuk nilai yang kecil, Δx menuju nol, cosx = 1dan sinx = x. Oleh karena itu

38. Turunan fungsi trigonometri yang lain tidak terlalu sulit untuk dicari.

39. vC iC 200 vC iC 100 0 t [detik] 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 -100 -200 Contoh: Hubungan antara tegangan kapasitor vC dan arus kapasitor iC adalah Tegangan pada suatu kapasitor dengan kapasitansi C = 210-6 farad merupakan fungsi sinus vC= 200sin400t volt. Arus yang mengalir pada kapasitor iniadalah

40. vL iL 200 vL iL 100 0 t[detik] 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 -100 -200 Contoh: Arus pada suatu inductor L = 2,5 henry merupakan fungsi sinus iL = 0,2cos400t ampere. Hubungan antara tegangan induktor vL dan arus induktor iL adalah

41. TurunanFungsiTrigonometriInversi

42. 1 x y 1 y x

43. x y 1 1 y x

44. x y 1 x 1 y

45. FungsiTrigonometridariSuatuFungsi

46. Jika v = f(x), maka

47. Jika w = f(x), maka

48. Fungsi Logaritmik dan FungsiEksponensial

49. Fungsi logaritmik didefinisikan melalui suatu integral 6 y 5 1/t 4 3 2 1 0 x t 0 1 2 3 4 1/x x +Δx 1/(x+Δx) Turunan Fungsi Logaritmik Tentang integral akan dipelajari lebih lanjut luas bidang yang dibatasi oleh kurva (1/t) dan sumbu-t, dalam selang antara t = 1 dan t = x ln(x+x)lnx Luas bidang ini lebih kecil dari luas persegi panjang (Δx 1/x). Namun jika Δx makin kecil, luas bidang tersebut akan makin mendekati (Δx 1/x); dan jika Δx mendekati nol luas tersebut sama dengan (Δx 1/x).

50. Turunan Fungsi Eksponensial penurunan secara implisit di kedua sisi atau . Jadi turunan dari exadalah exitu sendiri dst. Jika