Diferensiasi dan Integrasi Transformasi Laplace

1. DiferensiasidanIntegrasiTransformasi Laplace ref: Advanced Engineering Mathematics, Erwin Kreyszig by: Karohika, I Made Gatot 2014

2. Transformasi Laplace memilikibanyaksifatumum yang cukupmenakjubkan yang kitadapatgunakanuntukmendapatkantransformasiatautransformasiinvers Laplace-nya. Tentusaja, metode-metodeuntukmencapaitujuanitudidasarkanpadasifat-sifatitusendirisepertiintegrasilangsung, pemanfaatanlinearitas, pergeserandandiferensiasiatauintegrasidarifungsi original ƒ(t). Dalam modul ini kita mempertimbangkan diferensisasi dan integrasi dari transformasiLaplace F(s) danmendapatkanoperasi yang berkorespondensiuntukfungsioriginal ƒ(t).

3. DiferensiasiTransformasi Laplace Dapatdiperlihatkanbahwabila ƒ(t) memenuhikondisiteorema yang adadalambabawaldanderivatifdaritransformasi Laplace yang berkorespondensi, Berkenaan dengan s dapat diperoleh dengan diferensiasi di bawah tanda integral berkenaandengan s. Jadi, Konsekuensinya, bila £(ƒ) = F(s), maka, £{ t ƒ(t) } = – F’(s) ...............................................(1)

4. Diferensiasitransformasifungsi yang berkorespondensidenganmultiplikasifungsidengan– t. Sifattransformasi Laplace inimemungkinkankitamemperolehtransformasibaru dari yang telah diberikan. CONTOH 1. Carilahtransformasi Laplace dari ƒ(t) = Penyelesaian: Dari persamaan (1) di atas dan formula 8 dalam Tabel 1, Denganmembagihasildiatasdengan 2ω, kitadapatkan,

5. CONTOH 2. Carilahtransformasi Laplace dari ƒ(t) = Penyelesaian: Serupa dengan CONTOH 1, dari persamaan (1) dan formula 7 dalam Tabel 1 sehingga,

6. CONTOH 3. Carilahtransformasi Laplace dari ƒ(t) = Penyelesaian: Transformasi Laplace dari ƒ(t) adalah, Tabel 5 memperlihatkantransformasi Laplace yang diperolehdari CONTOH 1, 2 dan 3.

8. IntegrasiTransformasi Laplace Dengancaraserupa, jika f(t) memenuhikondisi yang adadalamteoremadimodul awal dan limit ƒ(t)/t dimana t mendekati 0 dan limit tersebut eksis, maka, (2) dalammodel ini, integrasitransformasifungsi ƒ(t) berkorespondensidenganpembagianƒ(t) dan t. Dari definisitransformasi Laplace, persamaan (2) dapatdituliskedalambentuk, dandapatdiperlihatkanbahwaintegrasipersamaandiatasdapatditukar, yaitu

9. Integral terhadap š dapatdihitungsebagaiberikut, Sehingga, dan transformasiinversLaplacenyaadalah,

10. CONTOH 4. Carilahtransformasiinvers Laplace darifungsi Penyelesaian: Kita tuliskan, Dengandiferensiasi,

11. dimanaekualitasterakhirdapatdiverifikasisecaramudahdenganperhitunganlangsung. Dari Tabel 1, kitaperoleh, Fungsi ini memenuhi kondisi yang ditampilkan dalam persamaan (2), Karenaitu, Hasilkitaadalah,

12. CONTOH 5. Carilahtransformasiinvers Laplace darifungsi F(s) = arc cot (s / ω) Penyelesaian: Dengan cara serupa kita tuliskan, Dengandiferensiasi, Misalkan, Θ = arc cot (s / ω) cot Θ = s / ω, sin Θ = ω / √ (s2 + ω2), cosΘ = s / √ (s2 + ω2) Diferensiasiekspresiinimenghasilkan, d(cot Θ) = d(s / ω) – cosec2Θ dΘ = ds / ω dΘ / ds = –1 / (ω cosec2Θ) = – sin2 Θ / ω = – sin2Θ / ω = – ω / (s2 + ω2),

13. sehingga, Dari Tabel 1, kitaperoleh, Fungsi ini memenuhi kondisi yang ditampilkan dalam persamaan (2), Karenaitu, Hasilkitaadalah,

14. CONTOH 6. Carilahtransformasiinvers Laplace darifungsi F(s) = Penyelesaian: Dengan cara serupa kita tuliskan, Ekspresiinididiferensialkan,

15. Dengan memanfaatklan Tabel 1, diperoleh, Fungsi ini memenuhi kondisi yang ditampilkan dalam persamaan (2), Karenaitu, Hasilkitaakhirnyaadalah,

16. SOAL-SOAL Tentukanlahtransformasi Laplace darifungsiƒ(t) berikut, 1. t cos 2t 2. t e2t 3. t cosh t 4. t2 et 5. t sinh 2t 6. t2sinh 2t 7. t2cosωt 8. t e-2t sin ωt

17. Tentukanlah ƒ(t) bila £(ƒ) didefinisikansebagaiberikut, 1. 2. 3. 4. 5. 6.

18. sekian Ganbatekudasai