Aplikace teorie her

1. Aplikace teorie her V ekonomice a politice Ing. Václav Janoušek

2. Co je teorie her a její využití • Teorie her – obor aplikované matematiky a operační analýzy, sloužící k analýze konfliktních a strategických situací, tj. situací, v nichž výsledek závisí na jednaní a interakci dalších subjektů • Využití – psychologie, sociální psychologie, ekonomika, politika, politologie, vojenství, historie, biologie, mezinárodní vztahy

4. Rozdělení her • Podle počtu účastníků – 2 hráči, více hráčů • Podle výsledku – hry s nulovým, nenulovým součtem • Podle možnosti kooperace – nekooperativní, kooperativní • Podle inteligence dalšího účastníka – proti inteligentním hráčům, proti přírodě • Podle doby akcí – simultánní, sekvenční • Podle informovanosti účastníků – s úplnou, neúplnou informací

5. Řešení her • Hry s nulovým součtem – simplexová metoda lineárního programování • Hry s nenulovým součtem – Wolfeho algoritmus kvadratického programování (rovnovážné body)

6. Důležité pojmy maticových her • Výplatní matice • Sedlový bod – řešení v čistých strategiích • Dominance jedné strategie nad druhou • Čisté strategie vs. Smíšené strategie • Každá hra má řešení ve smíšených strategiích • Optimální strategie se nezmění, přičteme-li ke všem prvkům matice libovolné reálné číslo

7. Příklady maticových her Dominování strategií a sedlový bod

8. Sedlovým bodem je bod A(2,2), cena hry je 2 • Strategie 2 hráče A dominuje strategii 1 • Strategie 2 hráče B dominuje strategii 1

9. Příklady maticových her • Kámen – papír – nůžky

10. Prsty

11. Formulace hry prsty jako úlohy LP Je třeba, aby všechny prvky výplatní matice byly kladné Úloha LP má potom tvar (z pozice hráče B): maximalizovat 1y1’ + 1y2’kde y1’, y2’=y1/v , y2/v Za podmínek 6y1’ + 1y2’<= 1 1y1’ + 8y2’<= 1

12. Hry kámen – papír – nůžky i prsty mají řešení ve smíšených strategiích – nemají sedlový bod • Při řešení maticových her lze využít analytický doplněk „Řešitel“ v MS Excelu

13. Řešení hry 2x2 ve smíšených strategiích • Prsty – sestavíme 2 rovnice o 2 neznámých • Máme strategie hráče A – x1 a x2 • Chceme, aby výsledek byl stejný pro obě strategie protihráče • Sestavíme 2 rovnice o 2 neznámých: • 2x1 – 3x2 = -3x1 + 4x2 • x1 + x2 = 1

14. Řešení maticové hry 2x2 pokračování • Pro hráče 2 analogicky • 2y1 – 3y2 = -3y1 + 4y2 • y1 + y2 = 1

15. Dvojmaticové hry

16. V dvojmaticových hrách hledáme rovnovážné body • V čistých strategiích • Ve smíšených strategiích • Jedná se o tzv. Nashovu rovnováhu • Bod (s1, t1) je rovnovážný, protože pokud by druhý hráč • zvolil svou první strategii t1 a první hráč se od strategie s1 odchýlil, • tj. zvolil by strategii s2, pak by si nepolepšil: získal by 1 místo 2. • Pokud by naopak první hráč zvolil strategii s1 a druhý hráč se od • t1 odchýlil, pak by si nepolepšil: obdržel by −1 místo 0.

17. Hledání rovnovážného bodu ve smíšených strategiích ve hře 2x2 • Analogie s jednomaticovou hrou • Mějme hru s výplatní maticí:

18. Rovnovážný bod, smíšené strategie, pokračování • Hra nemá rovnovážný bod v čistých strategiích • Sestavíme soustavu rovnic o 2 neznámých pro hráče A: • -2x1 – x2 = 0x1 – 2x2 • x1 + x2 = 1 • Výsledek: x1 = 0,3333, x2 = 0,666666 • Va = -1,3333

19. Rovnovážný bod, smíšené strategie, pokračování • Sestavení rovnic pro hráče B: • 2y1 – y2 = 2y2 • y1 + y2 = 1 • Řešení: y1 = 0,6 y2 = 0,4 vb = 0,8

20. Vězňovo dilema

21. Vězňovo dilema – řešení. • Vězňovo dilema má 1 rovnovážný bod – nekooperovat - nekooperovat • Hraje se jednou nebo se známým počtem tahů– vždy volit nekooperativní strategii • Při opakované hře s neznámým počtem tahů – je přijatelná možnost se sejít na vzájemné kooperaci, volbou nekooperativní strategie je možné přimět partnera ke kooperaci

22. Vězňovo dilema – možné strategie • Vždy kooperovat • V prvním tahu kooperovat, později hrát tak, jak hrál protihráč v předchozím tahu • V prvním tahu kooperovat, později hrát tak, jak hrál protihráč v předchozím tahu, ale občas „trest odpustit“ – nabídnout ruku ke smíru • V zásadě kooperovat, občas si risknout nekooperaci – machiavellistický přístup • Nikdy nekooperovat • A další -

23. Vězňovo dilema – aplikace v praxi • Jednání o odzbrojení • Konflikt Izrael – Hamas • Pronikání cizích vlivů do Evropy (Evropané volí sebevražednou kooperativní strategii) • Ekonomické aplikace – investice do reklamy • Kartelové dohody vs. cenové války (udržet ceny na určité úrovni) - duopoly • Právo – přiznání viny výměnou na nižší trest

24. Příklad - podniky • Viz. Dokument Word

25. Další dvojmaticové hry • Kuře (zbabělec)

26. Souboj pohlaví

27. Tragédie společného vlastnictví

28. Lov na jelena

29. Černý pasažér

30. Oceňování výsledků her • Oceňování v absolutní výši – nesprávné a často nemožné • Nutno oceňovat pomocí teorie užitku • Kardinalistická teorie – mezní užitek • Ordinalistická teorie (Pareto) – seřazení výsledků a jejich ocenění podle pořadí (0 – 3)

31. Kooperativní hra 2 hráčů – jádro hry • Viz. příklad Podniky

32. Kooperativní hry – tvorba koalic • Příklad – tři účastníci projektu • Celkový zisk projektu 12 • Přínos účastníka A = 6, účastníka B = 4, účastníka C = 2 • 2 hráči mohou uzavřít koalici a dohodnout se na redistribuci výplat • Jací dva hráči se pravděpodobně spojí?

33. Tvorba koalic - pokračování • Spojí se hráči B a C – mohou si nejvíce polepšit a rozdělit se o přínos hráče A • Toto je matematický důkaz proč často dochází ke spiknutí průměrných a podprůměrných proti těm nejlepším • Prostor pro vyjednávání formou podbízení • Vede v případě úplné racionality k vytvoření Nashovy rovnováhy

34. Příklad – příběh bitvy o Eger • Bitva o Eger - 1552 • tureckou ofenzívu a obléhání města odrazil István Dobó • Po svém vítězství byl obviněn z překročení čerpání denních limitů zásob (!) • Poté obviněn z vlastizrady, rok ve vězení • Proč byl obviněn? • Maďarská elita se dohodla s Turky na ústupcích výměnou za zachování alespoň části majetku a vlivu • Dobó ukázal, že turecká armáda je k poražení a že je nutné se opřít o prosté lidi • Stal se tudíž nebezpečím pro vládnoucí elitu – vstoupil do vyššího levelu mocenské hry • Analogie se situacemi z běžného života je zřejmá

35. Nashova rovnováha • Dominantní strategie je pro agenta nejlepší strategie nezávisle na zvolených strategiích ostatních účastníků. Racionální účastník pak volí vždy dominantní strategii. • Nashova rovnováha Strategií skupiny je tzv. Nashova rovnováha, pokud každá ze strategií je nejlepší individuální strategií příslušného účastníka vzhledem ke strategiím zvoleným ostatními účastníky. • Nashova rovnováha ve vězňově dilematu N – N (při jedné nebo konečném počtu opakování K – K při nekonečném počtu opakování

36. Dělení dědictví • 5 bratrů dělí dědictví podle následujícího schématu: • Nejprve navrhuje způsob dělení nejstarší bratr (A1) • Bratři potom hlasují • Schválí – li mu daný způsob nadpoloviční většina hlasů, je rozhodnuto • Ne-li, je nejstarší bratr zabit a na stejném principu navrhuje další dělení bratr A2 • Preference bratrů jsou: • Přežít • Získat co největší podíl na dědictví • Zabít co nejvíce bratrů • Jak dopadne dělení?

37. Kurasův problém padouchů • Rozdělení společnosti na třídy: • Všemocní – třída kněží (padouši) • Velemocní – vládci zmocňující se vlády a vládnoucí za pomoci všemocných s podporou pečlivě zvolené ideologie - padouši • Polomocní – hlídací psi (watchdogs), v očích malomocných a bezmocných se jedná o hlavní příčinu jejich trápení - padouši • Bezmocní – otroci a nevolníci, rádi by se padouchy stali, kdyby k tomu byli připuštěni • Malomocní – střední třída (pracující inteligence, řemeslníci) – hlavní objekt zájmu padouchů. Lze si přivlastnit výsledky její práce (viz. Tvorba koalic). Rádi by se stali padouchy, kdyby věděli jak se mezi ně dostat. • Dynamika společnosti: pokud se malomocným podaří zvítězit, je to proto, že mezi ně proniknou jako jejich vůdci padouši, s jejich pomocí svrhnou stávající režim a dohodnou se s dosavadními poraženými špičkami na nějakém konsensu (nejsme jako oni). • Padouch se s padouchem vždy domluví (až na určité výjimky – nedůvěra vítěze vůči poraženému a vice versa, poražený padouch byl příliš velký zloduch, takže by spolupráce s ním kompromitovala vítěze apod.)

38. Janousek.vaclav@seznam.cz • 721 644 636 • n8pvsmo@seznam.cz