MODEL LINIER

1. MODEL LINIER LiaYuliana, S.Si., MT. TahunAkademik 2011/2012

2. Pengenalan Model Linier Pendahuluan Myers (1991) Model merupakanabstraksidarisebuahpermasalahan, penjelasanteoritisdarisebuahfenomena. Tirta (2008) Model matematikadarisuatumasalahadalahrumusan masalah dalam bentuk persamaan matematika Pemodelan matematika adalah proses menerjemahkan masalah dalambahasaumumkedalambahasaataupersamaanmatematika

3. Pengenalan Model Linier (2) Hubunganantarvariabeldibagimenjadi 2: • Hubungansecarafungsional (matematis) b. Hubungansecarastatistik • Model linier; model regresi linier, experimental design, time series • Model non linier; (Draper and Smith, 1981) - intrinsik, model yang dapatditransformasimenjadi linier - non intrinsik, model yang tidakdapatditransformasimenjadi linier atautetap non linier

4. Bentuk Umum Model Linier Myers (1991) Model linear menyangkutmasalahstatistik yang ketergantungannyaterhadap parameter secara linear. Bentukumum model linear adalah dimana y adalahvariabel random disebutvariabelrespon; x1, x2, … , xkadalahvariabelmatematis yang nilainyadikontrolataudiamati;  adalahvariabel random; 1 , 2 , … , kadalahkonstanta.

5. Aljabar Linier • Operasimatriks, partisimatriks, dannotasivektor, • Tranpose,determinan, rank • Matrikskebalikan (inverse) • Matrikskebalikanumum (generalized invers) ataumatrikskebalikanbersyarat (conditional invers), • Ortogonalitas, AkarCiri, • Matriks idempotent, trace

6. MATRIKS Definisi Susunansegiempat yang terdiridaribilangan- bilangan real yang tersusunatasbarisdankolom m baris dikatakanmatriks A berukuran m x n n kolom

7. Bariske-idari A adalah : • Kolomke-j dari A adalah : • Matriks A dapatjugaditulis : A = [aij] • Jika m = n makadikatakan A matriksBujursangkar, danbilangana11, a22, …, anndisebutdengandiagonal utama

8. Jenis – jenis Matriks 1. Matriks Diagonal Matriksbujursangkardenganelemendiluar diagonal utamaadalahnol, yaitu aij = 0 untuki j 2. MatriksSkalar Matriks diagonal denganelemenpada diagonal utamaadalahsama, yaitu aij = cuntuki = jdanaij = 0 untuki j 3. MatriksSegitigaAtas Matriksbujursangkardenganelemendibawah diagonal utamaadalahnol

9. Jenis – Jenis Matriks 4.MatriksSegitigaBawah Matriksbujursangkardenganelemendiatas diagonal utamaadalahnol 5. MatriksIdentitas Matriks diagonal denganelemenpada diagonal utamaadalah 1 , yaitu aij = 1 untuki = jdanaij = 0 untuki  j 6. MatriksNol Matriks yang seluruhelemennyaadalah nol.

10. Definisi: Misal X dan Y adalah matriks yang berukuran nxk. Misal xij dan yij merupakan elemen-elemen dalam matriks, i=1, 2, … , n dan j=1, 2, … , k. Maka • X + Y merupakan matriks dimana elemen ke (i,j) adalah xij + yij • X -Y merupakan matriks dimana elemen ke (i,j) adalah xij - yij • cX, dimana c sebarang bilangan riil merupakan matriks dimana elemen ke (i,j) adalah cxij Perkalian matriks dengan skalar disebut perkalian skalar.

11. Definisi: MisalX adalahmatriks yang berukurannxkdanmisal Yadalahmatriks yang berukurankxm. PerkalianXYdidefinisikansebagaimatriksnxmdimanaelemenke (i,j) diberikanoleh

12. Sifat-sifat Operasi Matriks • JikaX danYkeduanyamatriksberukurannxk, makaX+Y=Y+X. (Penjumlahanmatrikskomutatif) • JikaX, YdanZsemuanyamatriksberukurannxk, makaX + ( Y + Z )= ( X + Y ) + Z. (Penjumlahanmatriksasosiatif) • JikaX, Y danZbersesuaian, makaX(YZ) = (XY)Z. (Perkalianmatriksasosiatif) • JikaX matriksberukurannxk, Y danZmatriksberukurankxm. MakaX(Y+Z) = XY+XZ. (Perkalianmatriksdistributifkiri) • JikaX matriksberukurannxk, Y danZmatriksberukuranmxn. Maka (Y+Z)X = YX+ZX. (Perkalianmatriksdistributifkanan)

13. Sifat-sifat Operasi Matriks (2) • Jikac adalahbilanganriil, X matriksberukurannxkdan Y matriksberukurankxm,makaX(cY)=c(XY). (Bilanganriildapatdifaktorkandarimatriks) • Jikaa dan b adalahbilangan-bilanganriil, danX matriksberukurannxk, maka (a+b)X = aX+bX. (Matriksmendistribusisemuabilanganriil) • JikaX danYkeduanyamatriksberukurannxkdanc adalahbilanganriil, makac(X+Y)=cX+cY (Bilanganriilmendistribusimatriks) • MisalX matriksberukurannxk, terdapatmatriks0 (matriksnol) yang uniksedemikianhinggaX+0=0+X=X. • JikaX matriksberukurannxk, terdapatmatriksunikY (negatif X), sedemikianhinggaX+Y=0.

14. = PARTISI MATRIKS Suatu matriks bisa dipartisikan menjadi SUB-MATRIKS dengan cara hanya mengikutkan beberapa baris atau kolom dari matriks aslinya. Aturan-aturan yang dipakai untuk mengoperasikan matriks partisi persis sama dengan mengoperasikan matriks biasa dimana ;

15. Contoh sehingga

16. MATRIKS PARTISI BUJURSANGKAR Misalkan M adalahmatrikspartisi. Maka M disebutmatrikspartisibujursangkarjika: • M adalahmatriksbujursangkar • Partisi-partisinyamembentukbujursangkar • Partisi-partisidiagonalnyajugamerupakanmatriks-matriksbujursangkar Duasyaratterakhirterjadijikadanhanyajikagaris horizontal danvertikalsamabanyaknyadanditempatkansecarasimetris.

17. Contoh: Matrikspartisi A bukanmerupakanmatrikspartisibujursangkar, karenapartisi-partisi diagonal keduadanketiganyabukanmatriksbujursangkar. Sedangkanmatrikspartisi B adalahmatrikspartisibujursangkar.

18. MATRIKS DIAGONAL PARTISI Jika M=[Aij] adalahmatrikspartisibujursangkarsedemikianrupasehinggapartisi-partisinondiagonalnyasemuanyaadalahmatriksnol, yaituAij=0 ketikai≠j, maka M disebutsebagaimatriksdiagonal partisi. Dapatdituliskanjugasebagai: M=diag(A11, A22, … , Ann) atau M=A11  A22 …  Ann Secara analog, matrikspartisibujursangkardisebutmatrikssegitigaataspartisijikapartisi-partisi yang berada di bawah diagonal adalahnol, dandisebutmatrikssegitigabawahpartisijikapartisi-partisi yang berada di atas diagonal adalah nol.

19. Contoh: • A adalahmatrikssegitigaataskarenapartisi-partisi yang berada di bawah diagonal adalahpartisinol • B adalahmatrikssegitigabawahkarenapartisi-partisiyang berada di atasdiagonal adalahpartisinol • C adalahmatriks diagonal karenapartisi-partisi di atasdan di bawah diagonal adalahpartisinol • D bukanmerupakanmatrikssegitigaatasmaupunbawah. Tidakadapenyekat D lain yang akanmengubahnyamenjadimatrikssegitigaataspartisimaupunmatrikssegitigabawahpartisi

20. TRANSPOSE DAN NOTASI VEKTOR Definisi Misal X adalah matriks nxk. Transpose dari X dinotasikan X’ merupakan matriks kxn yang diperoleh dari penukaran baris dan kolom matriks X. Sifat-sifat Transpose • Misal X matriks nxk dan c bilangan riil, maka (cX)’=cX’ • Misal X dan Y matriks nxk, maka (XY)’= X’ Y’ • Misal X matriks nxk, maka (X’)’=X • Misal X matriks nxk dan Y matriks kxm, maka (XY)’=Y’X’

21. Teorema Misal Maka X’X merupakan matriks simetri kxk dari jumlah kuadrat dan jumlah perkalian silang. Sehingga,

22. Teorema Misal Maka Karena x’x merupakan matriks 1x1, notasi matriks tidak diperlukan. Hasilnya adalah jumlah kuadrat dari elemen-elemen x. Dimana x1, x2, ... , xn merupakan nilai numerik dan x’x merupakan bilangan riil.

23. Teorema Misal Maka x’x merupakan matriks simetri dari perkalian kuadrat dan perkalian silang.

24. INVERS MATRIKS Definisi Misal Ip merupakan matriks diagonal pxp • Matriks Ikberukuran kxk disebut identitas kanan untuk setiap himpunan matriks berukuran nxk • Matriks Inberukuran nxn disebut identitas kiri untuk setiap himpunan matriks berukuran nxk • Jika n=k maka In = Ik = Idisebut identitas untuk setiap himpunan matriks berukuran nxn

25. Definisi Misal X adalah matriks kxk. Invers dari X dinotasikan X-1 merupakan matriks kxk sedemikian hingga XX-1 =X-1X=I Jika matriks ada, maka X disebut invertible atau nonsingular, selain itu matriks disebut noninvertible atau singular. Sifat-sifat invers • Jika X nonsingular, maka X-1 nonsingular dan (X-1)-1=X • Jika X dan Y keduanya nonsingularberukurankxk, maka XY nonsingular dan (XY)-1=Y-1X-1 • Jika X nonsingular, maka X’ nonsingular dan (X’)-1=(X-1)’

26. ORTOGONALITAS Definisi Misal X merupakan matrikskxk sedemikianhinggaX’X=I. MakaXdisebutortogonal. Definisi Misal x dan y merupakan vektor nx1. Jika Maka x dan y dikatakan ortogonal. Definisi Misal x merupakan vektor nx1. Panjang x dinotasikan adalah

27. ORTOGONALITAS (2) Definisi Misal {x1, x2, ... ,xk} merupakan himpunan vektor ortogonal berukuran nx1. Jikamasing-masing vektor mempunyai panjang maka vektor-vektormembentukhimpunan ortonormal. Teorema Misal X merupakan matriks kxk, Xortogonal jika hanya jika kolom-kolomnya merupakan himpunan ortonormal.

28. NILAI EIGEN Definisi Misal A merupakan matriks kxk dan x merupakan vektor taknol berukuran kx1. Nilai eigen atau akar ciri dari A adalah bilangan  sedemikian hingga Ax = x Vektor x yang memenuhi persamaan ini disebut vektoreigen. Contoh Diketahui tentukannilaieigendanvektoreigendarimatrikstersebut

29. NILAI EIGEN (2) Sifat-sifatnilai Eigen • JikaA merupakan matrikssimetrikxk, makanilaieigendari A semuanyabilanganriil • JikaA merupakan matrikskxkdanC matriksortogonalkxk, makanilaieigenC’ACsamadengannilaieigenA. • JikaA merupakan matrikssimetrikxk, makavektoreigen yang diperolehdarinilaieigenmatriks A adalahortogonal.

30. NILAI EIGEN (3) Teorema Misal A merupakan matriks kxk, makamatriks ortogonal P ada sedemikian hingga Dimana i untuk i = 1, 2, ... , k merupakan nilai eigen dari A

31. RANK MATRIKS Definisi Misal {x1, x2, ... ,xk} merupakan himpunan k vektor kolom. Jika bilangan riil a1, a2, ... , ak tidak semuanya nol sedemikian hingga ada, maka vektor x1, x2, ... ,xk disebut bergantung linier. Selain itu disebut bebas linier. MisalXmatriksberukurannxk, setiapkolomdarimatriksmerupakanvektorkolom. MatriksXdalambentukvektorkolomditulisX = [x1x2x3... xk]. RankdariX, dinyatakandenganr(X) didefinisikansebagaijumlahterbanyakvektor-vektorbebas linier padahimpunan{x1, x2,x3, ... ,xk}

32. RANK MATRIKS (2) Sifat-sifat Rank • Misal X adalah matriks nxk dengan rank k dimana nk. Misal X rank penuh (full rank) maka r(X)=r(X’)=r(X’X)=k. • Misal X adalah matriks kxk. Maka X nonsingular jika dan hanya jika r(X)=k. • Misal X adalah matriks nxk, P adalah matriks nonsingular nxn dan Q adalah matriks nonsingular kxk. Maka r(X) = r(PX) = r(XQ). • Rank dari matriks diagonal sama dengan bilangan tak nol kolom-kolom dari matriks • Rank dari XY kurang dari atau sama dengan rank X dan kurang dari atau sama dengan rank Y

33. MATRIKS IDEMPOTEN Contoh Misal X matriks nxk memiliki rank penuh. Matriks nxn H=X(X ’X)-1X ‘ merupakan matriks idempoten. Saat X memiliki rank penuh, r(X)=k. Saat r(X)=r(X’X), maka r(X’X)=k. X’X merupakan matriks kxk. Sebarang matriks kxk dengan rank k adalah nonsingular. Sehingga, (X’X)-1 ada. Untuk menunjukkan H idempoten, H2 =[X(X ’X)-1X ‘] [X(X’X)-1X ‘] Gunakan sifat asosiatif untuk perkalian matriks, sehingga diperoleh H2 =X(X ’X)-1(X‘X)(X ’X)-1X’ Saat (X ‘X)(X ’X)-1X=I maka H2 =X(X ’X)-1 X ‘=H (Hmerupakanmatriksidempoten)

34. TRACE MATRIKS Definisi Trace matriks kxk dinotasikan dengan tr(X), didefinisikan sebagai jumlah elemen-elemen dari diagonal utama. Sifat-sifat Trace • Misal c bilangan riil, maka tr(cX)=c tr(X) • tr(XY)=tr(X)tr(Y) • Jika X berukuran nxp dan Y berukuran pxn, maka tr(XY)=tr(YX)

35. TRACE MATRIKS (2) Teorema Nilai eigen dari matriks idempoten selalu nol atau satu. Teorema Misal A matriks simetri kxk dan idempoten dengan rank r. Maka rank A sama dengan trace nya, r(A)=tr(A). Teorema Misal A1, A2, ... , Amadalah gabungan matriks simetri kxk. Syarat cukup dan syarat perlu untuk matriks ortogonal P sedemikian hingga P’AiP diagonal untuk i=1, 2, 3, ... , m adalah AiAj = AjAi untuk setiap pasangan (i,j).

36. Teorema Misal A1, A2, ... , Am adalah gabungan matriks simetri kxk. Maka: • Setiap Aidimana i=1, 2, 3, ... , m adalah idempoten • adalah idempoten • Ai Aj = 0 untuk ij Teorema Misal A1, A2, ... , Amadalah gabungan matriks simetri kxk. Misal r menyatakan rank dan misal ri menyatakan rank Ai dimana i=1, 2, 3, ... , m. Jika minimal dua pernyataan benar, maka

37. GENERALIZED INVERSECONDITIONAL INVERSE • Jika Anxn adalah matriks nonsingular, maka solusi SPLAx = gada dan unik. Solusi persamaannyaadalahx = A-1g • Jika Atidak bujursangkar, atau bujursangkar tapi singular maka solusinya bisa dicari menggunakan GeneralizedInverse (matrikskebalikanumum)dan Conditional Inverse (matrikskebalikanbersyarat).

38. GENERALIZED INVERSE Definisi Misal A adalah matriks mxn. Jika matriks A- ada dan memenuhi 4 kondisi berikut, maka A- disebut generalized inversedari A: • AA- simetris • A-A simetris • AA-A = A • A-AA- = A- generalized inversedapatdinyatakansebagaig-invers

39. GENERALIZED INVERSE (2) Teorema MisalAmatriks mxn. • Jika rank AadalahmmakaA- = A’(AA’)-1danAA- = I. • Jika rank AadalahnmakaA- = (A’A)-1A’danA-A = I. • Jika rank Aadalahr, makag-inversdari A dapatdihitungmenggunakanlangkah: • HitungB = A’AatauB = A A’ • C1= I • Ci+1 = I(1/i)tr(CiB) – CiB, untuki=1,2,..r-1 • A-= rCrA’/tr(CrB) Catatan: Cr+1B = 0 dantr(CrB) ≠ 0

40. CONDITIONAL INVERSE Definisi Misal A matriks mxn, Matriks Ac didefinisikan sebagai conditional inversedari A jika dan hanya jika memenuhiA Ac A = A Definisi Sebuah matriks H berukuran nxn merupakan bentuk Hermitatasjika dan hanya jika memenuhi empat kondisi: • H merupakan matriks segitiga atas • Hanya 0 dan 1 pada diagonal • Jika sebuah baris mempunyai elemen diagonal 0, maka setiap elemen pada baris tersebut adalah 0. • Jika sebuah baris mempunyai elemen diagonal 1, maka elemen lain pada kolom diagonal adalah 0.