ALJABAR LINIER

1. ALJABAR LINIER BY : ERVI COFRIYANTI, S.Si

2. BAB 1 MATRIKS

3. DEFINISI MATRIKS • SUATU DAFTAR BILANGAN REAL ATAU KOMPLEKS TERDIRI ATAS M BARIS DAN N KOLOM, M DAN N BILANGAN BULAT POSITIF, DISEBUT MATRIKS BERTIPE M X N

4. BENTUK MATRIKS TIPE M X N • Misalkan A matriks bertipe m x n • A = Atau A = (aIJ), i = 1, 2,…, m ; j = 1, 2,…, n

5. Matriks bujur sangkar adalah matriks yang banyaknya kolom sama dengan banyaknya baris. • Unsur-unsur a11, a22,…,ann dalam matriks bujur sangkar disebut unsur-unsur diagonal disebut trace dari matriks bujur sangkar

6. OPERASI ALJABAR MATRIKS • KESAMAAN DUA MATRIKS • PENJUMLAHAN DUA BUAH MATRIKS • PERKALIAN MATRIKS DENGAN SEBUAH BILANGAN • PERKALIAN DUA BUAH MATRIKS

7. 1. KESAMAAN DUA MATRIKS • DEFINISI : • DUA MATRIKS A = (aIJ) dan B = (bIJ) dikatakan SAMA bila : • A dan B sejenis • Setiap unsur yang seletak sama Jadi, jika A(mxn) = B(pxq) maka a) m = p dan n = q b) aij = bij untuk setiap i dan j, i = 1, 2,…,m ; j = 1, 2,…,n

8. 2. PENJUMLAHAN DUA BUAH MATRIKS • DEFINISI : Misalkan A = (aIJ) dan B = (bIJ) dua matriks bertipe sama. Jumlahan dari A dan B adalah suatu matriks C yang bertipe sama dengan A dan B dengan C = (cIJ) dan cIJ = aIJ + bIJ , i = 1,2,…,m ; j ; 1,2,…,n • Catatan : • Penjumlahan dua buah matriks hanya didefinisikan pada dua buah matriks yang sejenis • Jumlah dua buah matriks yang sejenis merupakan matriks dengan ukuran yang sama

9. PERKALIAN MATRIKS DENGAN SEBUAH BILANGAN • DEFINISI : • Hasil kali suatu bil k dengan suatu matriks A adalah suatu matriks yang didapat dengan mengalikan setiap unsur dari A dengan k, ditulis kA = Ak = (kaij) = (aijk), i = 1,2,…,m; j = 1,2,…,n

10. PERKALIAN DUA BUAH MATRIKS • Misalkan A bertipe m x n dan B bertipe n x p, makahasil kali darimatriks A dan B adalahmatriks C bertipe m x p • Perkalianmatriks AB dapatdidefinisikan, jikabanyaknyakolommatriks A samadgnbanyaknyabarismatriks B • Umumnya AB BA • Intiperkalianduabuahmatriksadalahbarispadamatriks A dikalikandengankolompadamatriks B

11. MATRIKS-MATRIKS KHUSUS • MATRIKS NOL Definisi : Sebuahmatriksdisebutmatriksnol, jikaunsur-unsurdarimatrikssemuasamadengan 0, ditulis 0

12. 2. TRANSPOSE • DEFINISI : Suatumatriksdisebutmatriks transpose darimatriks A, ditulis Atatau A*, adalahmatriks yang diperolehdenganmenukarbaris-baris A menjadikolom-kolom A dansebaliknya.

13. SIFAT-SIFAT TRANSPOSE • Bilamatriks A dapatdikalikandenganmatriks B dan k suatubilangan, maka • (A*)* = A • (kA)* = kA* • (A + B)* = A* + B* • (AB)* = B*A*

14. 3. MATRIKS SEGITIGA ATAS • DEFINISI : • SUATU MATRIKS BUJUR SANGKAR A = (aij) dikatakan matriks segitiga atas, bila aij = 0 untuk setiap i > j, seperti

15. 4. MATRIKS SEGITIGA BAWAH • DEFINISI : • SUATU MATRIKS BUJUR SANGKAR A = (aij) dikatakan matriks segitiga bawah, bila aij = 0 untuk setiap i < j, seperti

16. 5. MATRIKS DIAGONAL • DEFINISI : Suatumatriks yang sekaligusmatrikssegitigaatasdansegitigabawahdisebutmatriks diagonal, ditulis diag (a11, a22,…,ann)

17. 6. MATRIKS SATUAN • DEFINISI : • Matriks diagonal dengan elemen diagonalnya sama dengan 1 disebut matriks identitas, atau matriks satuan. • Simbol : In untuk ukuran matriks n x n

18. 7. MATRIKS INVERS • DEFINISI : Bila A dan B matriksbujursangkardengan AB = BA = I, maka B disebutinversdari A, ditulis B = A-1. Matriks A jugamerupakaninversdari B, ditulis A = B-1

19. 8. Matriks Simetri • Definisi : • Bila A matriks bujur sangkar dengan A = A*, maka A disebut matriks simetri. Bila A = (aij) matriks simetri, maka aij = aji untuk setiap i j.

20. 9. MATRIKS SKEW SIMETRI • DEFINISI : Bila A matriks bujur sangkar dengan A = -A*, maka A disebut matriks skew simetri. Bila A = (aij) matriks skew, maka aji = -aij untuk setiap i dan j. Ini berarti aii = -aii untuk setiap i. Jadi aii = 0 untuk setiap i.