Rovnice a nerovnice

1. Rovnice a nerovnice Lineární rovnice VY_32_INOVACE_M1r0102 Mgr. Jakub Němec

2. Lineární rovnice • V minulé lekci jsme si vysvětlili základní pojmy týkající se rovnic a jejich řešení. V této lekci se budeme zabývat nejjednoduššími rovnicemi s jednou neznámou, tzv. lineárními rovnicemi. • Lineární rovnice je rovnice o jedné neznámé, která je v první mocnině. Lineární rovnice můžeme také nazývat jako rovnice prvního stupně.

3. Řešení lineárních rovnic • Tvar lineární rovnice po ekvivalentních úpravách se dá zapsat jako, kde čísla aabnáleží reálným číslům a zároveň platí, že . V tomto případě má rovnice právě jedno řešení (jeden kořen), které se dá zapsat jako . • Čísla aab nazýváme koeficienty – aje tzv. lineárníkoeficient,bje tzv. absolutní člen. • V případě, že , se nejedná o lineární rovnici a můžeme rozlišit dva případy pro koeficient b: • , v tom případě má rovnice nekonečně mnoho řešení, • , v tom případě nemá rovnice řešení. • U lineárních rovnic není třeba provádět zkoušku, jelikož pro zjištění kořenu rovnice nebylo použito jiných než ekvivalentních úprav. Zkouška je tedy pouze ověření správnosti našeho postupu.

4. Vypočtěte danou rovnici a řešení ověřte zkouškou. Nejdříve upravíme obě strany rovnice. Poté převedeme neznámou na jednu stranu a číslo bez neznámé na druhou stranu rovnice. Vydělíme koeficientem u neznámé celou rovnici a získáme tak kořen rovnice. Provedeme zkoušku. Určíme množinu kořenů rovnice.

5. Určete kořeny dané rovnice a ověřte jejich správnost zkouškou. Nejdříve se zbavíme zlomků tak, že vynásobíme obě strany rovnice nejmenším společným násobkem jmenovatelů, tedy číslem 6. Poté upravíme obě strany rovnice. Převedeme neznámou na jednu stranu a číslo na druhou. Vydělíme koeficientem u neznámé a získáme kořen rovnice. Provedeme zkoušku. Určíme množinu kořenů rovnice.

6. Vypočtěte danou rovnici a nalezený kořen ověřte zkouškou. Nejdříve obě strany rovnice upravíme. Po úpravě je jasné, že kvadratický člen se odečte (je na obou stranách stejný). Převedeme neznámou na jednu stranu a číslo na druhou stranu rovnice. Obě strany rovnice vydělíme koeficientem u neznámé a získáme kořen rovnice. Správnost řešení ověříme zkouškou. Určíme množinu kořenů rovnice.

7. Urči kořeny dané rovnice a ověř svůj postup zkouškou. Nejdříve upravíme levou a pravou stranu rovnice. Po úpravě vidíme, že jsou obě strany rovnice stejné, což vede k faktu, že rovnice má nekonečně mnoho řešení. Zkoušku provedeme tak, že si vybereme libovolné číslo, např. x = 0 nebo x = 1. Určíme množinu kořenů rovnice.

8. Zjisti kořeny rovnice a dokaž jejich platnost zkouškou. Jako první krok zvolme vynásobení obou stran rovnice společným násobkem jmenovatelů zlomků, čímž se zlomků zbavíme. Následně může upravit levou a pravou stranu rovnice. Po úpravě mizí neznámá z obou stran rovnice, zatímco čísla zůstávají, což znamená, že úloha nemá řešení. Zkoušku nemá smysl řešit.

9. Úkol závěrem • Urči kořeny daných rovnic a dokaž jejich platnost zkouškou, má–li její užití smysl: • a) • b) • c)

10. Zdroje • Literatura: • CHARVÁT, Jura; ZHOUF, Jaroslav; BOČEK, Leo. Matematika pro gymnázia: Rovnice a nerovnice. 4. vydání. Praha: Prometheus, 2010, 223 s. ISBN 987-80-7196-362-2.