Rovnice a nerovnice

1. Rovnice a nerovnice Grafické řešení lineárních rovnic VY_32_INOVACE_M1r0103 Mgr. Jakub Němec

2. Grafické řešení lineárních rovnic • Kořen lineárních rovnic jsme se naučili hledat pomocí výpočtů v minulé lekci. Početní řešení však není jediným možným. Každou lineární rovnici lze totiž vyřešit graficky. • Grafické řešení lineárních rovnic se opírá o fakt, že grafem každé lineární rovnice je přímka, která se dá zapsat ve tvaru , což nápadně připomíná zápis lineární rovnice . • Pro grafické řešení rovnic není podmínka nutná, jak si za chvíli ukážeme, ale řešení je tak mnohdy pohodlnější. Řešitel si musí zvolit svůj „oblíbený“ postup sám.

3. Řešte graficky danou rovnici. Nejdříve upravíme rovnici do tvaru . Z úpravy je zřejmé, že kořenem rovnice bude číslo -2. Grafické řešení získáme tak, že sestrojíme graf funkce a zjistíme, ve kterém místě protíná osu x. Jak určit graf lineární funkce? Vybereme si dvě hodnotu pro souřadnici x, získáme pro ně hodnotu y dosazením do rovnice. Hodnoty x a y jsou souřadnice bodů. Stačí nám získat dva body, které spojíme a získáme graf funkce.

4. Jiný postup pro grafické řešení je takový, že nám stačí upravit obě strany rovnice do tvaru a pro obě získané funkce najdeme graf v soustavě souřadnic. X-ová souřadnice jejich průsečíku je náš hledaný kořen. Samozřejmě je kořen roven číslu -2.

5. Řešte graficky danou rovnici. Nejdříve upravíme rovnici do tvaru . Pro získanou funkci sestavíme graf. Průsečík grafu s osou x je náš hledaný kořen. Kořen rovnice je tedy číslo 1.

6. Alternativním postupem je úprava obou stran rovnice do tvaru a určit jejich průsečík. Nejdříve upravíme rovnici. Poté najdeme grafy pro funkce levé a pravé strany. X-ová souřadnice grafů, a tedy i hledaný kořen rovnice, je v bodě 1.

7. Určete graficky kořen dané rovnice. Upravíme rovnici do tvaru . Z úpravy lze pozorovat, že rovnice má nekonečně mnoho řešení. Jak toto řešení graficky dokázat? Tvar v podstatě znamená konstantní funkce , což znamená, že průsečík s osou x je ve všech jejích bodech.

8. Druhou možností, jak určit kořeny rovnice, je upravit obě strany na tvar . Je zřejmé, že obě strany rovnice jsou shodné, grafy tedy vytvoří shodné přímky. Shodné přímky mají nekonečně mnoho průsečíků, které se zobrazí na celou osu x. Rovnice má tedy nekonečně mnoho kořenů.

9. Určete graficky kořen dané rovnice. Upravíme si obě strany rovnice do tvaru . Z úpravy je zřejmé, že rovnice nemá žádný reálný kořen. Graficky se tato skutečnost dokazuje tak, že grafy levé a pravé strany rovnice budou rovnoběžné, nemají tedy žádný společný bod.

10. Úkol závěrem • Graficky urči kořeny daných rovnic: • a) • b) • c)

11. Zdroje • Literatura: • CHARVÁT, Jura; ZHOUF, Jaroslav; BOČEK, Leo. Matematika pro gymnázia: Rovnice a nerovnice. 4. vydání. Praha: Prometheus, 2010, 223 s. ISBN 987-80-7196-362-2. • Pro přípravu obrázků byly použity programy Malování (součást operačního systému Windows) a Funkce 2.01 (freeware licence).