Teorie elektromagnetického pole Maxwellovy rovnice v integrálním tvaru

1. Teorie elektromagnetického pole • Maxwellovy rovnice v integrálním tvaru 1) 2) 3) 4) 5)

2. Z MR v integrálním tvaru jsou pomocí Stokesovy a Gauss-Ostrogradského věty odvozeny tvary diferenciální. Ze Stokesovy věty plyne, že integrál daného vektoru po uzavřené křivce je roven plošnému integrálu z rotace uvažovaného vektoru. Z Gauss-Ostrogradského věty pak plyne, že plošný integrál daného vektoru přes uzavřenou plochu je roven objemovému integrálu z divergence daného vektoru. • Identicky pak odvození druhé MR v diferenciálním tvaru

3. Z Gauss-Ostrogradského věty pak plyne, že plošný integrál daného vektoru přes uzavřenou plochu je roven objemovému integrálu z divergence daného vektoru. • Identicky pak 4. MR a “5. MR“

4. Teorie elektromagnetického pole • Maxwellovy rovnice v diferenciáním tvaru 1) 2) 3) 4) 5)

5. Odvození vlnových rovnic Uvažujeme-li, že válcové či rovinné vlnění má harmonický průběh, je výhodné převést vektory na fázory vektorů.

6. Elektricky vodivé prostředí Pokud budeme uvažovat vodivé prostředí, můžeme člen s  v rovnici zanedbat jelikož pro frekvence užívané při indukčních ohřevech platí Následující rovnicí je definována hloubka vniku naindukovaných proudů.

7. Elektricky nevodivé prostředí pak V nevodivém prostředí přechází rovnice na následující tvar. Rovnice definuje vztah platný pro rychlost světla ve vakuu. Vztah definuje obecně rychlost šíření elektromagnetických vln v nevodivém prostředí Vztah pak definuje vlnovou délku v závislosti na rychlosti a frekvenci emag. vlnění.

8. Odvození rovnic elektrodynamických potenciálů • Při popisu elektromagnetického pole pomocí elektrodynamického (magnetického vektorového) potenciálu na hranici dvou oblastí (prostředí) platí. Materiálové vztahy

9. Určení podmínek na rozhraní Obvykle celý počítaný model sestává z více oblastí s různými materiálovými vlastnostmi. Sousedí-li pak spolu dvě oblasti s odlišnými materiálovými vlastnostmi, nelze jejich hranice považovat za regulární body a neplatí na nich odvozené diferenciální rovnice. Pro takovéto hranice platí

12. Odvození rovnic elektrodynamického potenciálu • Při definici potenciálových veličin je výhodné vyjít ze čtvrté Maxwellovy rovnice. Tato rovnice konstatuje, že vektorové pole magnetické indukce je nezřídlové. Pro jeho popis použijeme vektorový potenciál A, který definuje následující vztah.

13. Jelikož má výraz v závorce nulovou rotaci, lze ho vyjádřit jako gradient skalárního potenciálu . Dále budu předpokládat, že ρ = 0 v celém prostoru a použiji Coulumbovu kalibrační podmínku divA=0, pak.

14. Ačkoliv se uvedená rovnice nechá ještě dále upravit, při řešení s nelineární permeabilitou je nejvýhodnější vycházet z naposledy uvedeného tvaru rovnice. Dále pak lze předchozí rovnici upravit.

15. Pro kvazi-stacionární pole s konstantní permeabilitou platí Pro stacionární pole s konstantní permeabilitou platí • Zvláštní případy 1D polí jednoduše řešitelných analyticky • 1D stacionární pole v kartézském souřadném systému

16. 1D stacionární pole v cylindrickém souřadném systému (válcový vodič) • 1D stacionární pole v cylindrickém souřadném systému pro osově symetrické uspořádání

17. Rozložení Jouleových ztrát Spočteme-li rozložení vektoru A v prostoru a čase ve všech oblastech počítaného modelu, požadujeme obvykle u modelů indukčních ohřevů získat z těchto hodnot rozložení Jouleových ztrát. Ty získáme ze vzorce Pro izotropní materiál můžeme psát kde E získáme z výrazu Dosazením dostaneme

18. Určení okrajových podmínek Dirichletova okrajová podmínka Ta udává přímo požadovanou velikost počítané veličiny v každém bodě hranice . A…neznámá hodnota vektorového potenciálu A…zadaná hodnota vektorového potenciálu pro body hranice  Dirichletova podmínka určuje i derivaci vektorového potenciálu v kterémkoli směru tečném k hranici , a tím i normálovou složku rotace A, což je normálová složka magnetické indukce. Pomocí Dirichletovy podmínky lze tedy zadat požadovanou hodnotu Bn. Zadáme-li například A konstantní na určité části hranice, je Bn na této části nulové. Toho lze výhodně využít především u symetrických modelů, je-li hranice totožná se siločárou.

19. Neumanova okrajová podmínka Ta zadává derivaci A podle vnější normály hranice. f…požadovaná hodnota derivace dle vnější normály Neumannova podmínka určuje velikost tečné složky vektoru B. Položíme-li Neumannovu podmínku rovnou nule, bude mít vektor B(,t) směr normály k hranici. Toho lze opět s výhodou využít při zadávání symetrie, např. víme-li, že siločáry budou hranicí procházet v kolmém směru.

20. Počáteční podmínka • Řešíme-li rovnice kvazistacionárního či nestacionárního pole je nutné zadat hodnoty A v řešeném modelu v počátečním čase. Obvykle je tato počáteční podmínka uvažována jako homogenní a nulová. Uvažujeme-li nestacionární pole je také nutné zadat počáteční rychlost změny A. I tato podmínka se ob vykle zadává nulová.

22. Ukázka vstupních dat relativní permeability pokud to okolnosti vyžadují. V případě obzvláště vysokých nároků na výpočet je možné definovat příslušné závislosti pro každou teplotu zvlášť (tzv. teplotně závislé BH křivky).

23. Aproximace průběhu relativní permeability Nahrazení ¼ kružnice či elipspy Nahrazení po-částech lineárním průběhem 3) Z ohledem na rozsah teplot volit lineární průběh funkce popisující požadovanou závislost.

24. Aproximace průběhu relativní permeability 4) Nahrazení polynomem

25. Odvození Fourier-Kirchhoffovy rovnice (speciální případ energetické rovnice) Při odvození budeme vycházet z Energetické rovnice. V tomto případně je výhodné použít Einsteinovu sumarizační konvekci a pro operátor derivování podle k-té souřadnice bude použit symbol . člen popisující rychlost výměny energie člen popisující disipaci, přeměnu kinetická energie na teplo člen popisující difuzi, odvod nebo přívod tepla povrchem do okolí popisuje produkci, tedy teplo, které se vyvine na úkor jiného druhu energie

26. Odvození Fourier-Kirchhoffovy rovnice provedeme za následujících předpokladů a zjednodušujících podmínek: budeme se pohybovat v pevném skupenství látek, proto nemusíme uvažovat viskozitu, budeme uvažovat konstantní tlak, konstantní měrnou tepelnou kapacitu a ohřívané součásti se nebudou pohybovat.

27. Při uvažování konstantní tepelné vodivosti , pak můžeme provést další zjednodušení. qv = wj při indukčních ohřevech tento člen zohledňuje Jouleovy ztráty

28. Podmínky na rozhraní Podmínky na dokonale tepelně vodivém rozhraní dvou materiálů s různými materiálovými parametry vyjadřují, že teploty na obou stranách rozhraní jsou stejné a že rozdíl toků energie k rozhraní a od rozhraní je roven plošné hustotě energie vznikající na rozhraní za jednotku času. Má-li rozhraní konečnou vodivost a nevzniká na něm tepelná energie, pak pro toto rozhraní platí podmínky n…jednotkový normálový vektor mající směr do prostředí 2 q…plošná hustota energie, která vznikne na rozhraní za jednotku času [Wm-2] Na ose symetrie platí …součinitel přestupu tepla prouděním [Wm-2K-1]

29. Okrajové podmínky • Dirichletova okrajová podmínka • Tato podmínka se používá tam, kde předem známe hodnotu teploty na hranici . Její tvar • Neumannova okrajová podmínka je vyjádřena následující rovnicí Neumannova podmínka se používá všude tam, kde předem známe velikost toku energie přes hranici . Velice často se tato podmínka zadává na osách symetrie, na kterých je nulový tok přes hranici. • Newtonova okrajová podmínka její tvar ukazuje následující rovnice Tato podmínka se používá k modelování konvekce. Používá se tedy na rozhraních pevné fáze s kapalinou či plynem. Součinitel přestupu tepla je funkcí geometrie a vlastností povrchu pevného tělesa a vlastností kapaliny, tj. především viskozity, rychlosti a způsobu proudění a samozřejmě tepelných vlastností kapaliny. V matematických modelech je často nutno respektovat teplotní závislost . U indukčních ohřevů bývá přestup tepla prouděním (závisí na rozdílu prvých mocnin teploty) často významný při nižších teplotách, při vyšších převládá přestup tepla sáláním (závisí na rozdílu čtvrtých mocnin teploty). Uvedené neplatí obecně, při posouzení jednotlivých případů velmi závisí na charakteristickém rozměru pro sdílení tepla.

30. Okrajové podmínky IV. druhu • Jako okrajové podmínky IV. druhuse obvykle označují podmínky respektující přestup tepla radiací. Ze Stefan-Boltzmannova zákona plyne, že tepelný tok odvedený radiací je úměrný rozdílu čtvrtých mocnin teplot na povrchu tělesa a okolí a konstantě radiačních ztrát je zahrnut vliv geometrie tělesa a vlastností povrchu. Například lesklý kov bude vyzařovat do okolí méně energie, než nelesklý materiál. Konstanta se obvykle vyjadřuje jako součin emisivity a Stefan-Boltzmannovy konstanty. Okrajová podmínka pak má tvar c… Stefan-Boltzmannova konstanta c =5,6697.10-8 Wm-2K-4 …emisivita [-] Text… teplota okolních ploch Tgass… teplota uvažované tekutiny (nejčastěji teplota okolního vzduchu) Přestup tepla radiací je rozhodující při vyšších teplotách. U indukčních ohřevů, jako jsou ohřevy pro kalení, ohříváme těleso z nízkých na relativně vysoké teploty. Proto je velmi často zapotřebí respektovat přestup tepla jak konvekcí, tak radiací. Okrajová podmínka má pak tvar • Smíšená okrajová podmínka

31. Respektování konvekce a sálání Obdobně jako u respektování materiálových parametrů je možné definovat v závislosti na změně různých parametrů (nejčastěji teploty povrchu) i součinitel přestupu tepla prouděním a stupeň černosti. V případě složitějších modelů z hlediska proudění (např. při turbulentním proudění) je pak vhodnější řešit pomocí CFD analýzy, kdy se vyhneme nutnosti zadávat součinitel přestupu tepla prouděním, jehož obecné určení je velice obtížné jelikož závisí na příliš mnoha parametrech. Nejčastěji se proto vychází ze zkušenosti a tabulek pro různé způsoby ohřevů.

32. Počáteční podmínka U nestacionárního teplotního pole je nutné zadat počáteční podmínku T0... počáteční rozložení teploty v oblasti . Ohříváme-li těleso z ustálené teploty, zadáváme tuto podmínku obvykle homogenní a rovnou teplotě okolí. Mnohdy však je tato podmínka nehomogenní a daná rozložením teploty na konci předcházejícího technologického procesu.

33. 4.3 Termoelastické pole 4.3.1 Teorie pružnosti, základní pojmy a zákony Elastická deformace je taková deformace tělesa, kdy se tvar tělesa po odstranění působení vnějších sil vrátí do původního stavu (do stavu, ve kterém se nacházelo před působením vnějších sil na těleso). Plastická deformace (trvalá deformace) je taková deformace, kdy se tvar tělesa po odstranění působení vnějších sil nevrátí do původního stavu (do stavu, ve kterém se nacházelo před působením vnějších sil). Deformace (prodloužení) je bezrozměrný parametr popisující deformaci tělesa. Působí-li na těleso vnější síla (tah, tlak), pak toto těleso změní svůj tvar. Toto je možno vyjádřit jako podíl změny polohy bodu umístěného do rohu elementu při působení vnějších sil a původní délky elementu: ε ≡ dl/l dl… délka, o kterou se těleso prodlouží l… původní délka tělesa ε… vektor deformace

34. Napětí Pro pevná tělesa je napětí vyjádřeno silou působící na plochu tělesa: =F/S F… síla působící na těleso S… plocha tělesa, na kterou síla působí Hookeův zákon, zákon vyjadřující vztah mezi napětím a jím způsobenou deformací [napětí]=E[deformace] E … modul pružnosti v tahu neboli Youngův modul. Modul pružnosti závisí již pouze na vlastnostech materiálu tělesa, a nikoli na jeho rozměrech. Modul pružnosti je závislý nateplotě - s rostoucí teplotou klesá. Dosazením do definicí pro napětí a deformaci můžeme napsat: F/S=E dl/l

35. Hookův zákon je platný pro elastické materiály. Modul pružnosti ve smyku - značený jako μ se nazývá též tuhost, daná vztahem: µ=E/(2(1+v)) v… Poissonovo číslo E… Youngův modul pružnosti Poissonovo čísloν vyjadřuje poměr příčné a podélné deformace elastického tělesa. Je možno ho vyjádřit vztahem: v=E11/22 E… Youngův modul pružnosti ε11… deformace tělesa v příčném směru σ22… napětí působící na těleso v podélném směru Poissonovo číslo lze též vyjádřit použitím Lamého konstant λ a μ: v=λ/(2(λ+μ))=λ/(2K- λ))=(3K-2 μ)/(2(3K+μ)) K… Lamého konstanta „bulk modul“

36. Mez pružnosti Většina hmotných těles, na které působí vnější síly do určité meze, se po odstranění vnější síly vrátí do původního stavu (tvaru). Velikost této meze je závislá na druhu materiálu, ze kterého je těleso zhotoveno. Tato mez se nazývá mezí pružnosti (mezí kluzu, yield point). Po překročení meze pružnosti dochází k plastické deformaci materiálu, při které vznikají trvalé změny v atomové nebo molekulové struktuře materiálu. Tahový diagram

37. Deformační pole při indukčním ohřevu je popsáno Lamého diferenciální rovnicí (λ+μ)grad(div u)+μΔu-(3λ+2μ)αT gradT+f=0 λ … Lamého konstanta μ … Lamého konstanta u... vektor posuvů f... vektor vnitřní objemové síly Potřebné materiálové parametry, při tepelné deformaci (indukční ohřev): … Teplotní roztažnost [K-1] E… Youngův modul pružnosti [Pa] v… Poissonovo číslo [-] Okrajová podmínka u = f(t,x,y,z), např.: u(y=0) = 0

38. Počítačové modelování (simulace) 2D a 3D sdružených úloh Co je počítačová (PC) simulace? pomocí PC a specializovaného programu řešení fyzikální úlohy V čem spočívá PC simulace? ve vytvoření virtuálního modelu řešeného problému, jeho diskretizaci a za použití některé numerické metody (nejč. MKP) provést výpočet Alternativy k PC simulaci? analytický výpočet, experiment Kdy použít PC simulaci? pokud nelze analyticky dosáhnout dostatečně přesného výsledku (především pokud je model příliš složitý) náklady na experimentální výzkum jsou příliš vysoké Kdy zvolit 2D či 3D simulaci? 2D je-li skutečná geometrie nějakým způsobem symetrická či velmi jednoduchá 3D pokud je model příliš složitý

39. Počítačové modelování (simulace) 2D a 3D sdružených úloh Co je sdružená úloha? o sdruženou úlohu jde, pokud je při výpočtu řešeno více fyzikálních polí Typy sdružených úloh? slabě, kvazi (po částech) a silně sdružená, výběr záleží na tom, jak se pole vzájemně ovlivňují během fyzikálního děje Výhody? názorná prezentace rozložení fyzikálních polí při řešení různých fyzikálních úkolů Nevýhody? jelikož jsou PC simulace založené na numerických metodách bude výsledek obsahovat numerickou chybu pokud nebude model správně nadefinován získáme naprosto nesprávný výsledek

40. Postup řešení indukčního ohřevu v numerickém programu (RillFEM) Volba řešeného problému (typ úlohy, frekvence a časový krok) Zadání geometrie a okrajových podmínek Volba materiálů Přiřazení materiálů oblastem (geometrii) a zadání počátečních podmínek Řešení Zobrazování vypočtených veličin (rozložení jednotlivých polí)

41. Dirichletova okrajová podmínka pro elektromag. pole udává přímo požadovanou velikost počáteční velikost v každém bodě hranice  Počáteční podmínka pro elektromagnetické pole vložení proudu do oblasti Ω3 Okrajová podmínka pro teplotní pole určuje proudění na okrajích obruče Počáteční podmínka pro teplotní pole určuje počáteční teplotu v modelu Okrajová podmínka pro termoelastické pole určuje počáteční teplotu v modelu

42. Volba stupně sdruženosti: - za jakým účelem je modelování prováděno - jaké materiály budou použity a jakým způsobem budou měnit jejich materiálové vlastnosti - v jakém rozmezí teplot budu provádět modelování V podstatě při jakémkoliv typu sdruženého problému je možné respektovat všechny jeho aspekty (volba stupně sdruženosti, volba materiálových parametrů, velikost elementu, okrajové podmínky, časový krok teplotního pole, apod.), ovšem čím komplikovanější model bude (preciznější z fyzikálního hlediska) k tím větší chybě z důvodu numerického řešení může dojít, nehledě na nároky na použitý HW a SW a výpočetní čas, což významně ovlivňuje finanční náročnost řešení. Proto je nutné volit co nejjednodušší způsob řešení, ovšem tak aby byla zachována dostatečná přesnost. Nejlepší kontrolou spolehlivosti získaných dat je jejich verifikace na reálném modelu. U modelů, kde to možné není se mi velmi osvědčilo posouzení z hlediska přenášeného výkonu do vsázky.

43. Algoritmus řešení Po částech sdružený elektromagneticko-teplotní problém

44. Model kvazi-sdruženého problému