Analisa Numerik

1. Analisa Numerik Integrasi Numerik

2. Review Ide Pemakaian Polinom Interpolasi Review ide pemakaian polinom interpolasi dlm. menaksir turunan dan integrasi : f(x) diketahui, tetapi sulit dioperasikan (turunkan, integrasi). f(x) tdk. diketahui, tetapi harga f(x) pd. titik x0, x1, ..., xk diketahui. Jk. L adalah operator pengganti turunan atau integrasi, mk. penaksiran harga turunan atau integrasi secara umum berbentuk : Proses penggantian L(f) dng. L(Pk) disebut diskritisasi, disebut kesalahan diskritisasi. 2

3. Review Ide Pemakaian Polinom Interpolasi Masalah ketelitian, sulit dicapai karena : Terbatasnya panjang word suatu komputer. Hilangnya digit signifikan pada saat dua nilai yang hampir sama dikurangi. Jd. ada h optimum, dimana utk. 3

4. Aturan Dasar [a, b] dibagi-bagi menjadi N interval (tidak perlu sama). a = x0 < x1 < x2 < ... <xn = b Misal : Pi, k(x) (i = 1, ..., N) adalah polinom interpolasi utk. f(x) pd. interval (xi-1, xi). Catatan : Utk. kemudahan pembahasan, dimisalkan xi–xi-1 sama xi = a + ih, i = 0, ..., N, h = (b-a)/N Notasi fs = f(a + sh), mk. fi = f(xi), i = 0, ..., N

5. Aturan-Aturan Dasar di mana I(Pk) = A0f(x0) + A1f(x1) + ... + Akf(xk) [jumlah berbobot Ai] xi, f(xi) i = 0, ..., k diketahui : Ai dpt. dihitung dng. Ai = I(li), li = polinom Langrange ke-i. k = 0, x0 = a  Aturan Segi Empat f(x) 5

6. Aturan-Aturan Dasar k = 0, x0 = (a+b)/2  Aturan Titik Tengah k = 1, x0 = a, x1 = b  Aturan Trapesium k = 2, x0 = a, x1 = (a+b)/2, x2 = b  Aturan Simpson f(x) f(x) f(x) 6

7. Aturan-Aturan Dasar k = 3, x0 = x1 = a, x2 = x3 = b  Aturan Trapesium Terkoreksi f(x) 7

8. Aturan Gabungan (Composite Rules) Aturan segiempat 8

9. Aturan Gabungan (Composite Rules) • Aturan Simpson f(x)

10. Aturan Gabungan (Composite Rules) • Aturan Trapesium Dng. cara yg. sama diperoleh • Aturan Titik Tengah f(x) f(x)

11. Aturan Gabungan (Composite Rules) • Aturan Trapesium Terkoreksi f(x)

12. Contoh • Dng. memakai aturan trapesium gabungan, tentukan N sehingga teliti sampai 6 digits Jwb. : Errornya adalah –f’’()N-2/12 ,  ∈ (a, b) Batas atas errornya adalah :  max |f’’(x)| pd. [0, 1] terjadi pada x = 0 atau x = 0, 1

13. Metoda Adaptif Quadrature • Adaptif  lebar sub interval ditentukan oleh perilaku lokal integralnya (fungsinya). • Besar interval keseluruhan tidak harus sama. • Cocok utk. menghitung I(f) dlm. ketelitian tertentu dng. penghitungan fungsi lebih sedikit jika subinterval ditentukan dengan baik. • Perhatikan aturan trapesium gabungan di mana a = x0 < x1 < ... < xN = b tidak perlu berjarak sama. Besar error tergantung Jd. jika f’’(x) ‘kecil’, maka pakai interval ‘besar’. jika f’’(x) ‘besar’, maka pakai interval ‘kecil’.

14. Adaptive Quadrature Berdasarkan Aturan Simpson h xi xi+1 xi + h/2 • Diberikan f(x) pada [a, b] dan bilangan kecil  > 0. Cari p (aproksimasi) terhadap di mana |P – I| ≤  dng. memakai penghitungan fungsi sesedikit mungkin. • Misal : xi+1 – xi = h Dng. subinterval ini hitung Si pendekatan dari Ii Si = h/6 {f(xi) + 4f(xi + h/2) + f(xi+1)}

15. Adaptive Quadrature Berdasarkan Aturan Simpson h xi+1 xi xi + h/4 xi + h/2 xi + 3h/4 Hitung pendekatan dari Ii • Dng. memakai Error Simpson diperoleh :

16. Adaptive Quadrature Berdasarkan Aturan Simpson • Jk. [a, b] ada N interval maka errornya memenuhi lalu :

17. Contoh • Contoh Dengan memakai adaptive quadrature yg. berdasarkan aturan Simpson, cari aproksimasi (pendekatan) thd. integral : dng. ketelitian kesalahan  = 0.0005 (harga sebenarnya I = 2/3). Jawab : [0, 1]  [0, ½] dan [½, 1] pada [½, 1], h = ½ ok

18. Contoh pada [0, ½] [0, ½]  [0, ¼] dan [¼, ½]