1 / 35

BAB I I

BAB I I. 2. 1 Bidang Bilangan dan Grafik Persamaan. Definisi . Himpunan semua pasangan terurut bil . riil dinamakan bidang bilangan , dan bidang bilangan dinyatakan dg R 2 . Setiap pasangan terurut ( x,y ) dinamakan titik di dalam bidang bilangan. Sumbu mendatar : sumbu -x

tana-guerra
Download Presentation

BAB I I

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. BAB II 2.1 BidangBilangandanGrafikPersamaan Universitas Jenderal Achmad Yani

  2. Definisi. • Himpunansemuapasanganterurutbil. riildinamakanbidangbilangan, danbidangbilangandinyatakan dg R2. Setiappasanganterurut (x,y) dinamakantitikdidalambidangbilangan. • Sumbumendatar:sumbu-x • Sumbutegak: sumbu-y. • Keduasumbu dsbsumbukoordinat. • Perpotongansumbu: titikasal O:(0,0). • Titik P(x1,y1): pasanganterurut x1dan y1. • Jarak P kesumbu-y : x1, dsbabsis P • Jarak P kesumbu-x : y1, dsb ordinatP. • Keduasumbukoordinatmembagibidangatasempatbagian yang dinamakankuadran. Universitas Jenderal Achmad Yani

  3. Definisi • Grafiksuatupersamaandi R2adalahhimpunansemuatitik (x,y) di R2 yang bilangankoordinatnyamemenuhipersamaantersebut. • Grafiksuatupersamaandisebutjugatempatkedudukanataukurvadaripersamaantersebut. Contoh. Sketsagrafikpersamaan: (x – 2y + 3 ) ( y – x2 ) = 0 UniversitasJenderalAchmadYani

  4. y = x-2  Cth. Gambarsketsgrafikpersamaan : y = x-2  Jawab: untuk x < 2: y =2-x untuk x  2: y = x-2 Universitas Jenderal Achmad Yani

  5. Teorema. ( UjiKesimetrian ) f(x,- y) = f(x, y) Grafikpersamaanakan: • simetriterhadapsumbu-x  • simetriterhadapsumbu-y  • simetriterhadaptitikasal f(-x,y) = f(x,y) f(-x, -y) = f(x,y) Universitas Jenderal Achmad Yani

  6. Contoh • Grafikpersamaan y = x2simetriterhadapsumbu-y, • Grafikpersamaan y = x3simetriterhadaptitikasal, • Grafikpersaman y2 – x = 0 simetriterhadapsumbu-x. f(x,y) : y = x² f(-x,y) :y = (-x)²= x² : f(x,y) Simetrithdpsb-y Simetri thdp sb-x Universitas Jenderal Achmad Yani

  7. 1.8 RumusJarak, Titik Tengah, danLingkaran Teorema. ( Jarak ) Jaraktitik P:(x1,y1) dan Q:(x2,y2) ditentukanoleh : PQ = Titik Tengah ruasgaris PQ adalah T : (xt , yt ) = Contoh. Buktikanbhwsegitiga dg titiksudut P:(3,-6), Q: (8,- 2), dan R: (-1,-1) adalahsuatusegitigasiku-siku. Universitas Jenderal Achmad Yani

  8. Jawab: P:(3,-6), Q: (8,- 2), dan R: (-1,-1) Jarak dua titik merupakan panjang sisi segitiga. Universitas Jenderal Achmad Yani

  9. Persamaangarismelaluiduatitik P:(x1,y1) dan Q:(x2,y2) ? Definisi. Jikagaris g melaluiduatitik P(x1,y1) dan Q(x2,y2) yang tidaksejajardg sumbu-y, makakemiringangaris g , dinyata-kan dg m, ditentukanoleh: m = …. (1.9.1) Kemiringangaris = tanjakan, slope, garistangen, ataugradiengaris. Misalkanαsudut yang dibentukgarisdengansumbu-x positif Gradien: m = tan α Universitas Jenderal Achmad Yani

  10. Dari sifatketunggalangradien, diperoleh: • Akibat Persamaangarisdengangradien m danmelaluititik A:(a,b) adalah: • Teorema. • Pers. garisygmelaluiduatitik P(x1,y1) dan Q(x2,y2) adalah • …. (*) Universitas Jenderal Achmad Yani

  11. Cth. 1 Tentukanpersamaangaris yang melaluititik (6, -3 ) dan ( -2, 3). Jawab: Cth. 2 Tentukanpersamaangaris yang melaluititik (6, -3 ) danmembentuksudut ¼π radian dengansumbu-x positif. Jawab: Universitas Jenderal Achmad Yani

  12. Bentuk Lain Persamaan Garis Lurus PersamaanAx + By + C = 0 , dimana A,B, dan C konstanta; A dan B tidakkeduanyanol, adalahpersamaangarislurus Ax + By + C = 0  By = – A x – C  y = (– A/B) x – (C/B) Jika x = 0, maka y = -C/B → garismelaluititikM: (0, - C/B) → titikpotong dg sb-y Jika y = 0, maka x = -C/A → garismelaluititikN: (- C/A, 0) → titikpotong dg sb-x UniversitasJenderalAchmadYani

  13. Hubunganduagaris Misalkangarisgdanl mempunyaigradienmasing-masingmgdanml gsejajarl ↔ mg = ml • gtegaklurusl ↔ mg .ml = - 1 Universitas Jenderal Achmad Yani

  14. Cth.4 Denganmenggunakankemiringangaris, buktikanbhwkeempattitik A: (6,2), B: (8,6), C: (4,8), dan D: (2,4) titiksudutsuatupersegipanjang. Cth.5 Garisg dengan pers. 2x + 3y – 5 = 0. Tentukansuatu pers. garis yang tegaklurus garis gdanmelaluititik A:( - 1, 3) Petunjuk: Tunjukkan bahwa gradien garis dari sisi yang berhadapan sama (sejajar) Kemudian tunjukkan bahwa sudut persegi adalah siku-siku Misal garis yang dicari: garis l . Karena keduanya tegak lurus, maka: Universitas Jenderal Achmad Yani

  15. Persamaan Lingkaran Lingkaranadalahhimpunansemuatitikdibidang yang berjaraktetap(sama) darisuatutitiktetap. Titiktetaptersebutdinamakanpusatdanjarak yang tetapdinamakanjari-jarilingkaran. Misalkan C: (a,b) menyatakanpusatlingkarandanr sebagaijari-jarilingkaran, makauntuksebarangtitik P(x,y) padalingkaranberlaku: Jarak P dan C = jari-jarilingk.  PC = r Persamaan lingkaran dengan pusat C:(a,b) dan jejari r Universitas Jenderal Achmad Yani

  16. Denganmenjabarkanpersamaansebelumnyadiperoleh: ( x – a )2 + ( y – b )2 = r2 x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2  x2 + y2– 2ax – 2by + (a2 + b2 - r2) = 0  x2 + y2 + Ax + By + C = 0 Menghasilkan : A = -2a atau a = - ½ A , B = -2b atau b = - ½ B , dan C = a2 + b2 - r2atau r = = Teorema. Persamaan x2 + y2 + Ax + By + C = 0 adalahperssamaan lingkaran dengan pusatC:(- ½ A, - ½ B) danjari-jari r = Universitas Jenderal Achmad Yani

  17. Cth. 6 • Persamaan x2 + y2 + 6x – 2y – 15 = 0 adalahpersamaanlingkarandenganpusat C : ( - 3 , 1 ) danjari-jari r = 5 . Petunjuk: Gunakan rumus pada teorema sebelumnya • Tentukan pers.lingkaran yang melaluititik (4,5), (3,-2), dan (1,-4). • Jawab: Misalkan persamaan lingkaran: x2 + y2 + Ax + By + C = 0 Melalui (4, 5) ==> 14 + 25 + 4A + 5B + C = 0 .... (1) Melalui (3, -2) ==> 9 + 4 + 3A – 2B + C = 0 .... (2) Melalui (1, -4) ==> 1 + 16 + A – 4B + C = 0 .... (3) • Dari ketiga persamaan, dengan eliminasi atau substitusi • diperoleh A, B, dan C, sehingga persamaan lingkaran adalah: • x2 + y2 + 7x - 5y - 44 = 0 Universitas Jenderal Achmad Yani

  18. HUBUNGAN LINGKARAN DAN GARIS Berpotonganpadaduatitik: D > 0 Berpotonganpadasatutitik (Garismenyinggunglingkaran): D = 0 Tidakberpotongan (Garis di luarlingkaran): D < 0 Universitas Jenderal Achmad Yani

  19. 2.2 Persamaan dan Pertidaksamaan 2.3 Nilai Mutlak (Absolute) Universitas Jenderal Achmad Yani

  20. 2.2 Persamaandan PertidaksamaanA. Persamaan • Persamaanadalahkalimatterbukaygmengandung minimal satuvariabelygmelibatkanpernyataan “samadengan”. Misalnya: x2 - 4 = 0 Nilaitertentuvariabel x yang membuatkalimatbernilaibenardsbpenyelesaianatauakar pers. Misalnya, x = 2 atau x = - 2 adalahakar daripersamaan x2 – 4 =0. Universitas Jenderal Achmad Yani

  21. Cth.Persamaan • Persamaan Linear. BentukumumPL: ax + b = 0 … (1) Penyelesaian (akar)nya : x = - b/a • PersamaanKuadrat • BU Pers.kuadrat: ax2 + bx + c = 0 … (2) • dimanaa,b, dan c konstantariildan a≠0. • Penyelesaian/akar-akarnya: • , dimana: D = b2 - 4ac. • PersamaanDerajat-n BU Pers.Derajat-n : axn +an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0 dimana: ai , i=1,2,3, …,n konstantariildan an ≠ 0 Universitas Jenderal Achmad Yani

  22. SifatAkarPersamaanKuadrat Jikax1dan x2akar-akarPK: ax2+ bx + c = 0, makaberlaku: Cth:Tentukanpenyelesaian pers. : 2x2 – 7x +5 = 0 Universitas Jenderal Achmad Yani

  23. B. Pertidaksamaan. • Pertidaksamaanadalahkalimatterbukadg minimal satuvariabelygmengandungsalahsatutandaberikut: lebihbesardari( > ) , lebihkecildari( < ) , lebihbesaratausamadengan(  ), atau lebihkecilatausamadengan(  ). • BentukUmum: • dimana P(x) dan Q(x) merupakanfungsipolinomderajat- n. • atau • tanda > digantiolehtanda : < , ≥ , ≤ Universitas Jenderal Achmad Yani

  24. Cara menentukanpenyelesaianpertidaksamaan. Untukmempermudahpemahaman, kitadiskusikanmelaluicontohberikutini. Prosedurdanprosespenyelesaianpertaksamaanmengacukepadacontohtersebut. Menentukansolusi: TandaPertidaksamaan: ≥ Pembilang: P(x) Penyebut: Q(x) Universitas Jenderal Achmad Yani

  25. Langkah-1: • Faktorkanpembilang P(x) danpenyebut Q(x) dalambentukperkalianfaktorlinear, dantentukanpembuatnolfaktor. Iniuntukmenentukanakarataupembuatnolpembilangdanpenyebut.Dalamhaltidakdapatdifaktorkanmenjadifaktor linear berartibentuknyaadalahkuadratdandefinit(definitpositifataunegatif). P(x) = (x-1)(x2-2x-3)(x2-9) = (x-1)(x-3)(x+1)(x-3)(x+3) = (x-1)(x+1)(x-3)2(x+3) • Q(x) = (4-x2)(2-x)2 • = (2-x)(2+x)(2-x)2 • = (2-x)3(2+x). • Pembuatnolfaktor-faktortersebutadalah: { - 3, - 2, - 1, 1, 2, 3 } • Faktorberderajatganjiladalah: (x-1), (x+1), (2+x), (2-x), dan (x+3) • Faktorberderajatgenapadalah: (x-3) Universitas Jenderal Achmad Yani

  26. Langkah-2: • Nyatakanpembuatnolfaktortsbpadagarisbilangandg ketentuan: Jikatandapertidaksamaanmemuattanda“samadengan” makapembuatnolpembilangdinyatakantertutupdanpembuatnolpenyebutdinyatakanterbuka; Jikatandapertidaksamaansoaltidakmemuatsamadengan ( > atau < ) makasemuatandapembuatnoldinyatakanterbuka, yang berartitidakikut. • Kemudiantentukansalahsatutandabagiandenganmelakukanujiolehsalahsatunilai x yang diambilsembarangpadabagianitu. (x-1)(x+1)(x-3)2(x+3) X=10 (2-x)3(2+x). UniversitasJenderalAchmadYani

  27. Langkah-3: • Tentukantandabagian lain secaraberurutandaritandabagian yang telahditentukansebelumnya, denganketentuanberikut : Jikamelewatipembuatnoldarifaktorberderajatganjilmakatandaberubahdaritandasebelumnyadanjikamelewatipembuatnoldarifaktor yang berpangkatgenapmakatandanyatetapdaritandasebelumnya. Universitas Jenderal Achmad Yani

  28. Langkah-4: Arsirdaerahpenyelesaiankemudianterjemahkandalambentukhimpunan, denganketentuanberikut: • Arsirdaerahpositifjikatandasoalpertidaksamaanatau > dan • Arsirdaerahnegatifjikatandapertidaksamaansoaladalahatau < . Dalamcontohini, arsirdaerahbertanda(+)karenasoalpertidaksamaanbertanda “  0 “. HP = { x/ x  -3atau -2 < x  -1 atau 1  x < 2 atau x = 3 } Universitas Jenderal Achmad Yani

  29. Cth. Tentukansolusidari: SoalLatihan Tentukanpenyelesaiandaripertidaksamaan Buatlahilustrasinyapadagarisbilanganriil. • 3 – 2x  9 + 4x 2. 3. Universitas Jenderal Achmad Yani

  30. 2.3NilaiMutlak Secarageometri, Nilaimutlakataunilaiabsolutdaribilanganriil x didefinisikansebagaijarakdari x terhadap 0. Berartinilaimutlakdarisetiapbil. selalubernilaitaknegatif. Notasiyang digunakanadalah: Iniberarti: 4= 4 , - 4= - (- 4) = 4 , 0= 0 Universitas Jenderal Achmad Yani

  31. Sifat-SifatNilaiMutlak. Misalkanx dan y bilanganriildan a bilanganriilpositif, maka: • -x x x • x2 = x2 • x y=xy 4. x / y= x/y , asalkany≠ 0 5. x + yx+y 6. xy x2 y2 Universitas Jenderal Achmad Yani

  32. 7. x< a  - a < x < a danx a  - a  x a 8. x > a  x < - a ataux > a danx a  x  - a atau x  a Universitas Jenderal Achmad Yani

  33. Contoh. Tentukanpenyelesaiandari :  x + 1 > 4 Jawab: Cara 1 : Menggunakansifat 8, diperoleh: • x + 1 > 4 x + 1 < - 4 ataux + 1 > 4 x < - 5 atau x > 3 JadiHP = { x/ x < - 5 atau x > 3 } Universitas Jenderal Achmad Yani

  34. Cara 2: Menggunakansifat 2 dan 6, diperoleh:  x + 1 > 4  (x + 1)2> (4)2  x2 + 2x + 1 > 16  x2 + 2x – 15 > 0  (x-3) (x+5) > 0 Pembuatnolfaktor : pnf = { - 5 , 3 } Ujidengan x = 10, maka tanda: f(10) = (+)(+) = (+) Jadi HP = { x/ x < - 5 atau x > 3 } Universitas Jenderal Achmad Yani

  35. Contoh. Tentukanpenyelesaiandari: Jawab: Pembuatnolpembilang: { 4/3 , 3 } Pembuatnolpenyebut : { 2 } ( + ) ( + ) ( - ) ( - ) Jikadiujidengan x = 5, maka Tanda f(5) = 4/3 2 3 Jadi HP = { x/ x  4/3 atau x  3 } Universitas Jenderal Achmad Yani

More Related