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ELEMENTS DE MECANIQUE DES SOLIDES DEFORMABLES

. . . . Math. Contenu du cours. Elments de calcul des tenseurs (1-2). I-2. Calcul statique Equilibre (2-4). Proprits mcaniques des matriaux. Concept de Poutre. Scurit Etats Limites. Traction Compression Flexion Torsion Cisaillement Combinaisons. Dformation lastique des poutres. I-

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    1. ELEMENTS DE MECANIQUE DES SOLIDES DEFORMABLES AM Habraken - JP Jaspart 2011 2012

    2. Contenu du cours Eléments de calcul des tenseurs (1-2) I-2

    3. I-3 Eléments de calcul des tenseurs

    4. I-4 Eléments de calcul des tenseurs X y z x1 X2 X 3 indice varie de 1 à 3X y z x1 X2 X 3 indice varie de 1 à 3

    5. I-5 Symboles dans la notation dEinstein Kronecker delta: Symbole de permutation : Eléments de calcul des tenseurs

    6. I-6 Scalaire Un scalaire s est un être mathématique à une seule composante  (30) et invariant lors d’un changement de repère exemples: masse, volume, température, énergie, ... Eléments de calcul des tenseurs

    7. I-7 Vecteur un vecteur V est un être mathématique à 31 composantes qui, lors d’un changement de repère: se transforme selon la formule un vecteur V est un être mathématique qui, à toute direction de l’espace n associe un salaire Vn au moyen d’une expression linéaire et homogène en les cosinus directeurs nj de cette direction: exemples: force, vitesse, accélération, flux de chaleur Eléments de calcul des tenseurs La première éq n’est pas une nouvelle définition vu que cij = ei epj je meultiplie cette définition par epj et j’y suis…La première éq n’est pas une nouvelle définition vu que cij = ei epj je meultiplie cette définition par epj et j’y suis…

    8. I-8 Un tenseur du 2ème ordre Un tenseur du 2ème ordre est une entité mathématique à 32 composantes qui, lors d’un changement de repère se transforment selon les formules: Un tenseur du 2ème ordre est une entité mathématique qui à toute direction n de l’espace, associe un vecteur Tn au moyen d’une expression linéaire et homogène en les cosinus directeurs nj de cette direction: avec et donc Eléments de calcul des tenseurs T j c’est une ligneT j c’est une ligne

    9. I-9 Champs de tenseurs (voir vos cours de mécanique, de physique) Opérateur dérivée Opérateur double dérivée Opérateur Laplacian Elément de calcul des tenseurs

    10. I-10 Etude des vecteurs Addition Produit scalaire Module Divergence Exercice tableau div d’un champ constant 0 un mvt de corps rigide n est surement pas divergent, div de (x 0 0 ) de (X Y 0) de (X Y Z ) vaut 1 2 3 et c’est vrai que c’est de + en + divergeantExercice tableau div d’un champ constant 0 un mvt de corps rigide n est surement pas divergent, div de (x 0 0 ) de (X Y 0) de (X Y Z ) vaut 1 2 3 et c’est vrai que c’est de + en + divergeant

    11. I-11 Produit vectoriel Rotationnel Etude des vecteurs Produit vectoriel 1ere coord je cache colonne 1 et determinant de ce qui reste et ainsi de suite sauf que pour la colonne du milieu on ajoute un – et que cela marche avec le e =0 dés que 2 indices = +1 si indice dans ordre OK et -1 sinon Le rot des champ essayé bloc rigide ou (X 0 0 ou (X Y 0) ou (X Y Z ) vaut 0 0 0 mais (-y x 0) qui tourne ne vaut pas 0 mais + 2… Produit vectoriel 1ere coord je cache colonne 1 et determinant de ce qui reste et ainsi de suite sauf que pour la colonne du milieu on ajoute un – et que cela marche avec le e =0 dés que 2 indices = +1 si indice dans ordre OK et -1 sinon Le rot des champ essayé bloc rigide ou (X 0 0 ou (X Y 0) ou (X Y Z ) vaut 0 0 0 mais (-y x 0) qui tourne ne vaut pas 0 mais + 2…

    12. I-12 Représentation géométrique du tenseur symétrique A Croix des valeurs principales Etude des tenseurs du second ordre

    13. I-13 Forme spectrale du tenseur A Etude des tenseurs du second ordre

    14. I-14 Calcul des fonctions d’un tenseur symétrique A Etude des tenseurs du second ordre Les puissance entière permettent de représenter sin a… or les produits entiers de A avec vect propre 1 fois vecteur propre 2 = 0 ? fct s’applique sur les valeurs propres etc.Les puissance entière permettent de représenter sin a… or les produits entiers de A avec vect propre 1 fois vecteur propre 2 = 0 ? fct s’applique sur les valeurs propres etc.

    15. I-15 Intégration par parties (intégrale de volume)

    16. I-16 Intégration par parties

    17. I-17 Intégration par parties (intégrale de surface)

    18. I-18 Coordonnées cylindriques

    19. I-19 Exemple Problème axisymétrique

    20. I-20 Coordonnées sphériques

    21. I-21 Exemple Problème sphérique

    22. I-22 Coordonnées curvilignes

    23. I-23 Cas des coordonnées cylindriques

    24. I-24 Cas des coordonnées cylindriques

    25. I-25 vecteur: Coordonnées cartésiennes V = Vi ei Coordonnées curvilignes V = V? e? tenseur: Coordonnées cartésiennes Tijk... Coordonnées curvilignes T???... Coordonnées curvilignes

    26. I-26 Opérateurs différentiels

    27. I-27 Coordonnées cylindriques Opérateurs différentiels

    28. I-28 Coordonnées sphériques Opérateurs différentiels

    29. I-29 Opérateurs différentiels

    30. I-30 Coordonnées cylindriques: gr=1 ; g?=r ; gz=1 Coordonnées sphériques: gr=1 ; g?=r sin? ; g? =r Opérateurs différentiels

    31. I-31 Problèmes plans (2 D) Indices latins: i = 1,2 Indices grec: ? = a,b Coordonnées cylindriques ou polaires r,q Croix des valeurs principales limitée à 2 branches

    32. Chapter I Elements of tensor calculus End

    33. Chapitre II Statique des solides déformables

    34. Force Grandeur physique -Direction -Sens -Intensité Tenseur d’ordre 1, Vecteur Unité: Newton N souvent des kN soit 1000N II-34 1 petit bonhomme qui tire sur un Pieux un clou qu’on enfonce un coup de poing … une masse de 1kg exerce une force de 10 N réfléchir prendre mon poids de vannerie Ordre de grandeur en tête 1k sucre 10N votre poids 580N 1 tonne 10 000N 10kN donc une presse de 40 tonnes c’est une presse de 400KN 1 petit bonhomme qui tire sur un Pieux un clou qu’on enfonce un coup de poing … une masse de 1kg exerce une force de 10 N réfléchir prendre mon poids de vannerie Ordre de grandeur en tête 1k sucre 10N votre poids 580N 1 tonne 10 000N 10kN donc une presse de 40 tonnes c’est une presse de 400KN

    35. Moment d’une force Réaction ingénieur Force en B, Moment par rapport à A ? II-35

    36. Moment d’une force Force en B, Moment par rapport à A ? vecteur M II-36

    37. II-37 Moment d’une Force Par rapport à l’origine O des axes

    38. II-38 Moment d’une Force Par rapport à l’axe est un scalaire Projection sur l’axe du moment par rapport à un point de

    39. II-39 Moment d’une Force Si est l’axe On retrouve les composantes du moment par rapport à l’origine

    40. II-40 Moment d’une Force Si est l’axe

    41. II-41 Moment d’une Force

    42. II-42 Moment d’une Force

    43. Moment d’un couple = Couple Soient Direction // Sens opposé Même intensité F Couple II-43

    44. Moment d’un couple Couple II-44

    45. Cours de mécanique du solide déformable Etude d’un corps solide sous l’action de sollicitations diverses Sollicitations exprimées par des formules mathématiques II-45

    46. Cours de mécanique du solide déformable La matière est continue Vide entre, dans Atome Molécule On regarde les choses de loin Approche macroscopique II-46

    47. Force sur un volume Volume soumis à un champ de forces Soit O à l’intérieur de II-47

    48. II-48 Chargements ou sollicitations exercées sur des solides

    49. Force sur une surface Surface soumise à un champ de forces Soit O sur cette surface II-49

    50. II-50 Chargements ou sollicitations exercées sur des solides Mon pied fait 160 cm² mes 2 pieds 32000 mm² Mon poids 580 N ?0,464 Mpa 1 cube d’1 m³ fait 1 tonne ou 10KN sur 10KN/m² 0,01 MpaMon pied fait 160 cm² mes 2 pieds 32000 mm² Mon poids 580 N ?0,464 Mpa 1 cube d’1 m³ fait 1 tonne ou 10KN sur 10KN/m² 0,01 Mpa

    51. II-51 Chargements ou sollicitations exercées sur des solides

    52. II-52 Sollicitation d’un solide Bâtiment sur le sol à grand distance OK si effet sur la colline mais pas sur la fondation locale contact de la roue d’un train sur une rail pour le talus c’est une charge concentrée pour l’usure de la rail pas OK (voir chap 7)Bâtiment sur le sol à grand distance OK si effet sur la colline mais pas sur la fondation locale contact de la roue d’un train sur une rail pour le talus c’est une charge concentrée pour l’usure de la rail pas OK (voir chap 7)

    53. II-53 Sollicitation d’un solide

    54. II-54 Equilibre global d’un solide

    55. II-55 Equilibre global d’un solide

    56. II-56 Equilibre global d’un solide LivreLivre

    57. II-57 Equilibre global d’un solide

    58. II-58 Réactions d’appui Exemple Bâtiment pont barrageExemple Bâtiment pont barrage

    59. II-59 Réactions d’appui Exemple Bâtiment pont barrageExemple Bâtiment pont barrage

    60. II-60 Réactions d’appui Exemple Bâtiment pont barrageExemple Bâtiment pont barrage

    61. II-61 Réaction d’appui

    62. Calcul de l’équilibre Connu Charges appliquées Poids propre Pression du vent, de l’eau …. Inconnu Réactions d’appui II-62

    63. Calcul de l’équilibre 6 équations d’équilibre 6 inconnues : solide isostatique >6 inconnues: solide hyperstatique <6 inconnues: solide hypostatique II-63

    64. II-64 Calcul de l’équilibre: principe de la coupe

    65. II-65 Calcul de l’équilibre: principe de la coupe

    66. II-66 Calcul de l’équilibre: principe de la coupe

    67. II-67 Calcul de l’équilibre: principe de la coupe

    68. II-68 Calcul de l’équilibre: principe de la coupe

    69. II-69 Calcul de l’équilibre: principe de la coupe Forces interne en comic sans tm et les autres c est des variables FIN DE LA LECON 3 Forces interne en comic sans tm et les autres c est des variables FIN DE LA LECON 3

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