Padintegraalbeschrijving van de FFLO- toestand in een spin- gepolariseerd Fermi gas

1. Padintegraalbeschrijving Padintegraalbeschrijving van de FFLO-toestand in een spin-gepolariseerd Fermi gas FFLO-toestand spin-gepolariseerd Fermi gas Jeroen Devreese, SergheiKlimin, MichielWouters en Jacques Tempère

2. Overzicht • Inleiding: ultrakoudegassen • Situering van het onderzoek • Padintegraalbeschrijving • Resultaten • Conclusies

3. 1. Inleiding: ultrakoudegassen Bose en Fermi gassen Optische roosters BEC-BCS crossover Spin-onevenwicht

4. 1.1 Bose- en Fermi gassen

5. 1000 K 100 K 10 K 1 K 0.1 K 0.01 K 1 mK 0.1 mK 0.01 mK 1 K 0.1 K 0.01 K 1 nK 1) A) Bose gassen 1) Klassiek: Verzamelingbotsendedeeltjes 2) 2) Deeltje = golfpakket met spreidingdp en dx 3) Heisenberg: Golffunctiesbeginnenteoverlappen 3) 4)Macroscopischebezetting van de grondtoestand + fasecoherentie => Bose-Einstein condensaat 4)

6. A) Bose gassen Zozieteen BEC eruit • Bose-Einstein condensaatvertoont superfluïde eigenschappen • Superfluïditeit = combinatie van eigenschappen • Vloeistof/gas stroomtwrijvingsloos • Irrotationeel => vortices http://www.colorado.edu/physics/2000/bec/what_it_looks_like.html

7. B) Fermi gassen • Pauli principe: macroscopischebezettinggrondtoestandonmogelijk Bose gas Fermi gas

8. B) Fermi gassen • Pauli principe: macroscopischebezettinggrondtoestandonmogelijk Twee-components Fermi gas Bose gas Andrew G. Truscott, et al.Science 291, 2570 (2001) ‘spin-op’ ‘spin-neer’

9. B) Fermi gassen • Cooperpaar = spin-op + spin-neer ≈ boson Hoe kanerdaneencondensaatwordengevormd? • Condensaatvan Cooperparen = superfluïde BCS (Bardeen-Cooper-Schrieffer) superfluïde toestand

10. 1.2 Koudegassenalskwantumsimulator

11. A) Voordelen van koudegassen • Controleerbaar door experimentator • Temperatuur en dichtheid • Dimensie en geometrie (Optische roosters) • Interactiesterkte (Feshbach resonantie) • Spin-onevenwicht • Geendefecten, onzuiverheden, Coulomb interactie… => Quasi-perfectesimulatie van theoretischemodellen

12. B) Optische roosters • Twee laserbundelsinterfereren en vormenstaande golf => periodischepotentiaal • Analogie met kristalrooster Echtkristal Optisch rooster Artificiëlekristallengemaakt door laserlicht

13. B) Optische roosters • Aanpassen van de dimensie van het systeem I. Bloch, Nature Phys. 1, 23 (2005).

14. C) Controleinteractiesterkte • Feshbach resonantie: • veranderen extern magneetveld => verandertverstrooiingslengte • verstrooiingslengtekarakteriseert het interactieproces

15. Positieveverstrooiingslengte Negatieveverstrooiingslengte BEC-BCS crossover • Cooper-paren • Gelokaliseerd in impulsruimte • Atomaire “moleculen” • Ruimtelijkgelokaliseerd M. Zwierleinet. al, Nature 435, 1047 (2005).

16. D) Spin-onevenwicht • Meer ‘spin-op’ dan ‘spin-neer’ (of omgekeerd) • Welk effect heeftdit op de superfluïde toestand? • In de limietPolarisatie = 1 => geen paring mogelijk • Dus: bijzekerePkritisch superfluïde-> normaaltransitie ?

17. Overzicht • Bosonen -> BEC • Fermionen -> Cooperparen -> BEC • Koudegassen • Enorminstelbaar: • Dimensie en geometrie (1) • Interactiesterkte (2) • Spin-onevenwicht (3) (1)Optische roosters: lichtkristallen (2)Feshbach resonantie -> BEC-BCS crossover (3)Spin-onevenwicht: verstoort superfluïde paringsmechanisme

18. 2. Situering van het onderzoek Wat is FFLO? Doel van het onderzoek

19. 2.1 Wat is de FFLO toestand?

20. A) BCS vs FFLO k↑ + k↓ = 0 • BCS • FFLO k-k k↑ + k↓ = Q > 0 k-k+Q Kan dezetoestand de grondtoestand van een Fermi gas met spin-onevenwichtvormen?

21. B) Waarom FFLO? Fermi gas ky Fermi energie kF ∆ kx

22. B) Waarom FFLO? Paarvormingmogelijk Q FFLO-mechanisme Superfluïde Fermi gas→ Normaal Fermi gas

23. B) Waarom FFLO? (+) Erkunnenterugmeer Cooper parenwordengevormd (-) Het kost extra energie

24. 2.2 Doel van het onderzoek

25. De FFLO toestandwerdnognietexperimenteelwaargenomen • Theoretisch: neemtslechtsminiemdeel van het BCS-BEC fasediagram in • Idee: voegeen 1D periodischepotentiaal toe aan het systeem • → Experiment: optisch rooster • Centraledoel: Bestudeer effect van dezepotentiaal op FFLO toestand

26. 3. Padintegraalbeschrijving Afleiden van de vrijeenergie

27. 3.1 Overzicht • Doel: afleiden van de vrijeenergieΩ Temperatuur Chemischepotentialen Volume op basis van de toestandssom Inverse temperatuur

28. 3.2 De toestandssom • In padintegraalvorm Som over alle “configuraties” van ψ “Gewicht” van de configuraties Continue versie Discrete versie Ψx,τ τ x

29. 3.2 De toestandssom • In padintegraalvorm Som over alle “configuraties” van ψ “Gewicht” van de configuraties Fermionischevelden => Grassmannvariabelen

30. 3.2 De toestandssom • In padintegraalvorm Som over alle “configuraties” van ψ “Gewicht” van de configuraties ééndeeltjesdeel twee deeltjesdeel = interactie-term

31. 3.2 De toestandssom • In padintegraalvorm Som over alle “configuraties” van ψ “Gewicht” van de configuraties Kinetischeenergie Externepotentiaal Chemischepotentiaal Contactpotentiaal Interactiesterkte

32. 3.3 Hubbard-Stratonovich • De vierdeordeinteractie-term splitsen in tweedeordetermen=>bosonisch (hulp)veld

33. 3.4 Eendubbelepadintegraal • De partitiesomwordt nu eendubbelepadintegraal Bosonen Fermionen Met alsactie 4deorde→2deorde => Actiediagonaal in positie/tijdrepresentatie

34. 3.5 Fourier transformatie • De partitiesomna Fourier transformatiewordt Met alsactie Energiedispersie Niet-diagonaal

35. 3.6 Zadelpuntbenadering Neemenkel de meestbijdragende term meeuit de bosonischepadintegraal We kiezen het zadelpuntzodat FFLO (Q>0)kanwordenbeschreven => Twee variationele parameters: Δ en Q

36. 3.7 De Vrijeenergie • Nu is de bosonischepadintegraalverwijderd en rest erenkelnogeenGaussischepadintegraal over fermionischevelden: Ditlevertdaneenuitdrukkingvoor de partitiesom en dusookvoor de vrijeenergie:

37. 4. Resultaten Fasediagrammen van de grondtoestand Het BCS en FFLO paringsmechanisme

38. 4.1 Grondtoestandbepalen Vrijeenergieminimaliserennaarvariationele parameters, voorgegevenwaarden van de thermodynamischevariabelen Enkel BCS (Q=0): 1D probleem • BCS: Δ>0 • Normaal: Δ=0 BCS -> Normaal

39. 4.1 Grondtoestandbepalen Vrijeenergieminimaliserennaarvariationele parameters, voorgegevenwaarden van de thermodynamischevariabelen BCS/FFLO: 2D probleem BCS -> FFLO -> Normaal • BCS: Δ>0 Q=0 • FFLO: Δ>0 Q>0 • Normaal: Δ=0

40. 4.1 Grondtoestandbepalen Normaal FFLO ζ BCS μ

41. 4.2 Fasediagrambijgekendechemischepotentiaal • De vorige procedure herhalenvoorverschillendewaarden van μ en ζgeeft:

42. 4.2 Fasediagrambijgekendechemischepotentiaal • Nu willen we een 1D periodischepotentiaalinvoegen => Dispersieveranderen 3D 3D + 1D potentiaal bandbreedte Golfvector van de potentiaal

43. 4.2 Fasediagrambijgekendechemischepotentiaal Vrijdeeltje Deeltje in periodischepotentiaal 2δ QL 0 -QL

44. 4.2 Fasediagrambijgekendechemischepotentiaal • De vorige procedure herhalenvoorverschillendewaarden van μ en ζgeeft:

45. 4.3 Fasediagrambijgekendedichtheid • Transformatietussenchemischepotentialen en dichtheid/polarisatie => Toepassen op elk punt in μ,ζ - fasediagram

46. 4.3 Fasediagram bij gekende dichtheid ζ P n (kFas)-1 μ

47. 4.3 Fasediagrambijgekendedichtheid Zonder 1D potentiaal

48. 4.3 Fasediagrambijgekendedichtheid Met 1D potentiaal 1 2 3 4 FFLO BCS Toenemendedichtheid

49. 4.4 Het paringsmechanisme Gebied 1 • Enkelbodemenergieband is gevuld • Dispersie met potentiaal is in goedebenaderingkwadratisch Grootte van het FFLO gebied is ongeveergelijk met of zonderpotentiaal

50. 4.4 Het paringsmechanisme Gebied 2 • Energieband is gevuld maar nietvolledig • Dispersie met potentiaal ‘vlaktaf’ t.o.v. vrijedispersie Optimalegrootte van het FFLO gebied Afvlakkendispersieresulteert in kleinereenergiekostomimpuls Q tegeven