Interpoliavimas Principai

1. z2 z ?z0 ?z’0 z1 z3 x1 x2 x3 x0 x’0 x Interpoliavimas - tai nežinomų reikšmių nustatymas pagal žinomas kaimynines reikšmes Lotyniškai inter reiškia tarp, tarpe, o polire – suderinti Logiška manyti, kadangi taškas x’0 yraatstumo tarp x2 ir x3 viduryje, tai ir jo z’0 reikšmė bus ½(z2+z3), o z0 bus artimesnė z1 nei z2, kadangi x0 arčiau x1 nei x2. Interpoliavimas Principai

2. Pasirinkta interpoliavimo schemagali nulemti rezultatą, interpoliavimo schema priklauso nuo žinių ir prielaidų, daromų apie nagrinėjamo reiškinio erdvines savybes Įvairių interpoliavimo schemų įtaka gaunamiems rezultatams Interpoliavimas Principai

3. Bendriausiu atveju taško reikšmės interpoliavimo formulė yra: čia: z - bet kuriame taške su koordinatėmis x0 ir y0 apskaičiuoto taško reikšmė; wi - duomenų taško reikšmės svertas; zi – reikšmė duomenų taške i, kurio koordinatės xi ir yi. n – interpoliavimo procese naudojamų duomenų taškų skaičius, n=1, 2, …n. Interpoliavimas Principai

4. INTERPOLIAVIMO SCHEMOS: Deterministinės: • Polinomai • SPLINE • Atstumo Statistinės: • KRIGING Pagal paieškos tipą: • Kintamo analizės lango dydžio, bet pastovaus pradinių • duomenų skaičiaus; • Pastovaus analizės lango dydžio, bet kintančio pradinių • duomenų skaičiaus. Interpoliavimas Principai

5. Y y’0 z0 z’0 y0 t1 x’0 x0 X Globalios ir lokalios interpoliavimo schemos Dviejų pakopų interpoliavimas pagal netaisyklingai išdėstytus duomenų taškus Interpoliavimas Principai

6. TYSENO POLIGONAI Nesant kitos informacijos geriausia taškui suteikti reikšmę, matavimais nustatytą arčiausiai dmin yra minimalus atstumas tarp bet kokio taško (x0,y0) ir duomenų taškų Interpoliavimas Interpoliavimo algoritmai

7. Ù m v å å f = i j ( x ) c x y ij = = 0 0 i j POLINOMINĖ INTERPOLIACIJA: Pagrindinė polinominės interpoliacijos formulė: ci yra polinomo koeficientai, o v – polinomo laipsnis. Pirmo laipsnio polinomo išraiška: Jei operuojame duomenimis, turinčiais x ir y koordinates, bendroji formulė įgauna pavidalą: o atitinkamai pirmo ir antro laipsnio polinomų Interpoliavimas Interpoliavimo algoritmai

8. POLINOMINĖ INTERPOLIACIJA: a) Įvairaus laipsnio polinomai; b) Dvimačiai (x,y) pirmo ir trečio laipsnio polinomai Interpoliavimas Interpoliavimo algoritmai

9. f’(x) x1 x2 x6 x8 x3 x4 x5 x7 x9 INTERPOLAVIMAS ATSKIROSE ZONOSE Interpoliavimas Interpoliavimo algoritmai

10. f(L+1) f’(x) f(L) xL xL+1 TIESINĖ INTERPOLIACIJA Tiesinė interpoliacija – tai zoninė pirmo laipsnio polinomo interpoliacija, kur jungtys tarp gretimų zonų sutampa su duomenų taško padėtimi Interpoliavimo formulė zonoje [xL;xL+1] yra: Interpoliavimas Interpoliavimo algoritmai

11. 2 3 1 x5 x1 x2 x4 x6 x3 1 2 3 KUBINĖ (3-ČIO LAIPSNIO POLINOMO) INTERPOLIACIJA Siekiant išvengti staigių šuolių tarp zonų, interpoliavimo rezultatui formuoti galime tenaudoti tik centrines kreivių dalis arba apskaičiuoti persidengiančių kreivių vidurkius Interpoliavimas Interpoliavimo algoritmai

12. KUBINĖ (3-ČIO LAIPSNIO POLINOMO) INTERPOLIACIJA Interpoliavimas Interpoliavimo algoritmai

13. d SLENKANTIS VIDURKIS Apskaičiuojamas vidurkis pagal m duomenų taškų, kurie atribojami apskritimo su spinduliu d. Ši reikšmė suteikiama apskritimo centro taškui. Po apskritimas pastumiamas atstumu x, surandamas vidurkis pagal jau kitus taškus ir t.t. Interpoliavimas Interpoliavimo algoritmai

14. w c b a d0 d SLENKANTIS SVERTINIS VIDURKIS, ATVIRKŠČIAI PROPORCINGO ATSTUMO SCHEMOS Interpoliavime svarbesni tie duomenų taškai, kurie yra arčiau vertinamo taško čia: m- duomenų taškų skaičius analizuojamame lange Dažniausia naudojamos svertų funkcijos: Svarbu parinkti tokią svertų funkciją, kad wk taptų lygus 0, kai pasiekiamos analizės lango ribos (d0): Interpoliavimas Interpoliavimo algoritmai

15. SLENKANTIS SVERTINIS VIDURKIS, ATVIRKŠČIAI PROPORCINGO ATSTUMO SCHEMOS • Pagrindiniai slenkančio vidurkio shemų minusai palyginus su anksčiau nagrinėtomis schemomis šie: Analizės lange nėra leidžiami nuolydžio pokyčiai, priešingai nei 3-čio laipsnio polinomo schemose; Turi būti pasirenkamas analizės lango dydis. Per mažas lango dydis gali įtakoti, kad liks plotų, kuriems reikšmės interpoliuotos nebus, per didelis sumažina atvirkščiai proporcingą taško svertui atstumo įtaką; Svertų funkcijų pasirinkimas sunkiai reglamentuojamas. Interpoliavimas Interpoliavimo algoritmai

16. STATISTINIAI INTERPOLIAVIMO METODAI • Deterministinės interpoliavimo schemos turi šiuos trūkumus: Nėra atsižvelgiama į duomenų erdvinės koreliacijos ypatybes. Į atstumą žvelgiama ne iš statistinių pozicijų, jis traktuojamas kaip geometrinis atstumas. Deterministiniai metodai neleidžia įvertinti interpoliavimo patikimumo. Statistiniai interpoliavimo metodai pirmiausia pradėti taikyti geologijoje bei kalnakasyboje, tačiau teorinį pagrindą – pusvariacijos ir koreliogramų analizę – pasiūlė miškininkystės srityje dirbę mokslininkai – A. Langsaeter (1926) ir B. Matern (1947). Interpoliavimas Interpoliavimo algoritmai

17. STATISTINIAI INTERPOLIAVIMO METODAI Erdvinė koreliacija Pagrindinis interpoliavimo principas yra prielaida, kad rodiklių reikšmės artimesnės esant mažesniems atstumui tarp jų padėties (Pirmas Toblerio geografijos dėsnis) Pagrindinis autokoreliacijos matas geostatistikoje yra Morano I statistika: čia wij- erdvinių svertų matrica, charakterizuojanti objekto aplinką. Kaip ir įprastinis koreliacijos koeficientas, I=1 reiškia maksimalią teigiamą koreliaciją, I=-1 – maksimalią neigiamą koreliaciją ir I=0 – koreliacijos nebūvimą.

18. STATISTINIAI INTERPOLIAVIMO METODAI Morano I statistika gali būti apskaičiuojama visiems galimiems atstumams (paprastai atstumų intervalams) tarp konkretaus nagrinėjamo objekto taškų reikšmių. Koreliograma parodo ar koreliacijos koeficientas priklauso nuo atstumo tarp taškų. Jei TAIP, tai yra prasmės bandyti interpoliuoti paviršių naudojant statistinius metodus

19. STATISTINIAI INTERPOLIAVIMO METODAI Kitas erdvinės autokoreliacijos įvertinimo būdas - taip vadinamas pusvariacijos (semi-variance) metodas. Pusvariacija yra objektų (taškai, gręžiniai bandiniams paimti ir pan.) erdvinės tarpusavio priklausomybės matas, išreiškiamas: čia: m – taškų porų skaičius atstume h; Z(xi) – rodiklio reikšmė taške i; Z(xi+h) – rodiklio reikšmė atstumu h nuo i. Interpoliavimas Interpoliavimo algoritmai

20. a c1a b c1b c0a h0 haa hab h STATISTINIAI INTERPOLIAVIMO METODAI Slenkstis yra ta pusvariacijos reikšmė, kurią pasiekus pusvariograma nebekyla, o slenksčionuotoliu čia suprantmas tas atstumas tarp taškų, kuriam esant pasiekiamas slenkstis. Rodiklių reikšmės nebekoreliuoja, kai atstumai tarp taškų didesni už slenksčionuotolį. Hipotetinės pusvariogramos: a – smėlio procentas dirvoje, b – gruntinio vandens gylis. ha - slenksčionuotolis, c1 – slenkstis, c0 – atsitiktinė pusvariacija Interpoliavimas Interpoliavimo algoritmai

21. STATISTINIAI INTERPOLIAVIMO METODAI Slenksčio nuotolio reikšmė svarbi projektuojant atrankos schemą detalioms reiškinio studijoms. Duomenų taškai turi būti išdėstomi ne toliau kaip 2/3 ha vienas nuo kito. Jei naudojame slenkančio vidurkio ar panašias interpoliavimo schemas, slenksčio nuotolis gali būti naudojamas nustatyti analizės lango dydžiui. Slenkstis, arba slenksčio reikšmė gali būti suprantama kaip duomenų rinkinio stochastinės dispersijos dydis. Ji lygi erdvinė pusvariacija (c1-c0 intervalas) plius c0 (atsitiktinė pusvariacija, jei tokia egzistuoja). Kai kuriais atvejais pusvariogramose negalima išskirti slenksčio Interpoliavimas Interpoliavimo algoritmai

22. STATISTINIAI INTERPOLIAVIMO METODAI • Pusvariacija gali būti nelygi 0 esant h=0, t.y. gali egzistuoti tam • tikra atsitiktinė pusvariacija. To priežastis: • Visuose reiškinio matavimuose sutinkamas tam • tikras “triukšmo” komponentas. • Sakykime, jei matuojame iškritusių kritulių kiekį, tai net • pakankamai arti esančiuose davikliuose gali būti užfiksuojami • skirtumai, įtakoti vėjo turbulencijos debesyse ir kelyje link žemės • paviršiaus. Dirvos drėgnumas gali įvairuoti ir dėl skirtingo • biologinio poveikio (daugiau sliekų urvų, šaknų ir pan.). • Įvairios matavimų paklaidos. • Laiko įtaka. • Dažnai rodiklis gali natūraliai kisti ir gali būti neįmanoma visus • matavimus atlikti vienu momentu. • Praktiškai yra labai sunku užfiksuoti atsitiktinę pusvariaciją. • Tam turi būti parenkami duomenų taškai, išdėstyti labai arti • vienas nuo kito. Interpoliavimas Interpoliavimo algoritmai

23. STATISTINIAI INTERPOLIAVIMO METODAI Kai kuriais atvejais nėra nagrinėjamo reiškinio reikšmių erdvinės priklausomybės, c1-c0=0. Tai rodo, kad negalima naudoti statistinius reiškinio interpoliavimo metodus Reiškinio anizotropija Interpoliavimas Interpoliavimo algoritmai

24. STATISTINIAI INTERPOLIAVIMO METODAI • KRIGING interpoliavimas • Metodą sukūrė Pietų Afrikos kalnakasybos inžinierius • D.G. Krige. (Beje, tai buvo jo magistro darbas!!!). Kriging • algoritmas minimizuoja interpoliavimo klaidų dispersiją, • interpoliuotų reikšmių sisteminę paklaidą stengiasi gauti lygią 0 • ir svertų skaičiavime naudoja paprasčiausią tiesės funkciją. • Jis grindžiamas svertinio slenkančio vidurkio funkcija Interpoliavimas Interpoliavimo algoritmai

25. STATISTINIAI INTERPOLIAVIMO METODAI • Pagrindinis Kriging skiriamasis bruožas nuo • deterministinių interpoliavimo schemų tas, • kad svertai nustatomi iš sumodeliuotos • pusvariogramos Pusvariacijai modeliuoti naudojamos įvairios funkcijos – sferos, eksponentinė, tiesės, Gauss ir kt. Dažniausia rekomenduojama sferos lygtis kai 0<h<ha =c0+c1, kai h>=ha Interpoliavimas Interpoliavimo algoritmai

26. esant atitinkamam atstumui (h)= STATISTINIAI INTERPOLIAVIMO METODAI Pavyzdžiui, jei c0 (atsitiktinė pusvariacija) = 40; c1 (slenkstis) = 35; ha (slenksčio nuotolis) = 180 tai, esant bet kokiam atstumui h tarp 2 taškų, pusvariacija bus surandama pagal sferos modelį: Interpoliavimas Interpoliavimo algoritmai

27. STATISTINIAI INTERPOLIAVIMO METODAI Pagrindinės paprastojo Kriging formulės Ši lygčių sistema spendžiama naudojant matricų algebrą Interpoliavimas Interpoliavimo algoritmai

28. STATISTINIAI INTERPOLIAVIMO METODAI Kriging metodo praktinė realizacija gana sudėtinga. Funkcijos pusvariogramai išlyginti pasirinkimas gali įtakoti interpoliavimo rezultatus, o kriterijų, kaip geriau ją parinkti nėra. Paprastai tai atliekama studijuojant pusvariogramas, dažnai naudojant taip vadinamą bandymų-klaidų metodą. Kriging algoritmas ignoruoja staigius reikšmių šuolius, kas gana dažnai sutinkama gamtoje. Algoritmas realizuotas daugelyje GIS ir kitų programinių paketų, kas gali sukelti dažno jo netinkamo panaudojimo pavojų. Daugelis uždavinių, nereikalaujančių ypatingo tikslumo, turėtų būti sprendžiami naudojant paprastesnius deterministinius metodus. Interpoliavimas Interpoliavimo algoritmai