SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET KEMIJSKOG INŽENJERSTVA I TEHNOLOGIJE ZAVOD ZA MATEMATIKU

1. SVEUČILIŠTE U ZAGREBUFAKULTET KEMIJSKOG INŽENJERSTVA I TEHNOLOGIJEZAVOD ZA MATEMATIKU Uvod u matematičke metode u inženjerstvu SEMINARSKI RAD Fraktali STUDENTICE: Vanja Kelava Nikolina Kolić Marija Mitrevski Kristina Poljak VODITELJI: Dr. sc. Ivica Gusić Dr. sc. Miroslav Jerković Zagreb, 2013.

2. SADRŽAJ: 1. FRAKTALI 1.1. Povijest fraktala 1.2. Podjela fraktala 1.3. Primjena 1.4. Fraktali u prirodi 1.5. Matematička konstrukcija fraktala 2. ZAKLJUČAK 3. LITERATURA

3. 1. FRAKTALI • Fraktali su geometrijski objekti čija je fraktalna dimenzija strogo veća od topološke dimenzije • Drugim riječima, to su objekti koji daju jednaku razinu detalja neovisno o razlučivosti koju koristimo • Fraktale je moguće uvećavati beskonačno mnogo, a da se pri svakom novom povećanju vide neki detalji koji prije povećanja nisu bili vidljivi i da količina novih detalja uvijek bude otprilike jednaka

4. Osnovna svojstva fraktala: • Samosličnost- svojstvo objekta da sliči sam sebi bez obzira koji dio promatrali i koliko ga puta uvećavali • Oblikovanje iteracijom - fraktalne slike nastaju iteracijom; upornim uzastopnim ponavljanjem nekog računskog ili geometrijskog postupka • Fraktali su, dakle, slike nastale ponovljenim matematičkim računom ili geometrijskom konstrukcijom • Na slici je prikazano kako nastaje Kochova krivulja ili krivulja snježne pahuljice -uzme se ravna crta zadane duljine, dužina se podijeli na tri dijela pa se srednji dio zamijeni dvjema jednakim dužinama, koje jedna s drugom zatvaraju kut od 600 • Isti postupak se ponovi još jednom, pa još jednom, i tako dalje, u nedogled

5. Još jedan jednostavan primjer trokut Sierpinskog: kreće se od trokuta (nulta iteracija) koji se zamijeni trima trokutima upola manje duljine stranice (prva iteracija) i sa svakim se trokutom postupak ponovi (druga iteracija), i tako u beskonačnost • Fraktalna dimenzija - vrijednost koja nam daje uvid u to u kojoj mjeri neki fraktal ispunjava prostor u kojem se nalazi • Za razliku od fraktalne dimenzije euklidska dimenzija koristi se kako bi se izrazila linija (jedna dimenzija), površina (dvije dimenzije) i prostor (tri dimenzije) te može biti bilo koji prirodan broj ili nula: 0,1,2,3,4,5… • Nasuprot tome fraktalna dimenzija se koristi kako bi se izrazila gustoća kojom objekt ispunjava prostor odnosno koliko se novih dijelova pojavljuje pri povećanju rezolucije • Fraktalna dimenzija nije cijeli broj i u pravilu je veća od euklidske dimenzije

6. 1 dimenzija: N dužina, svaka je duljine r: Nr1=1 • 2 dimenzije: N kvadrata, svaki je površine r2: Nr2=1 • 3 dimenzije: N kocaka, svaka je volumena r3: Nr3=1

7. Gdje je: N- broj novih kopija objekta promatrano nakon uvećanja 1/r- faktor uvećanja D- fraktalna dimenzija • Fraktalna se dimenzija općenito može definirati kao: Npr., kada bi računali koliku dimenziju ima prvi trokut sačinjen od tri manja, crvena trokuta, uočili bi da su za dobivanje većeg trokuta potrebna tri manja slična trokuta pa je N=3. Međutim, ako promatramo stranice uočit ćemo da su se multiplicirale samo dva puta pa je 1/r=2. - dakle dimenzija kod fraktala nije nužno cijeli broj.

8. Nekoliko primjera kako se računa fraktalna dimenzija: Jedinična dužina razdijeljena je na 3 jednake manje dužine. Svaka je dugačka 1/3 jednične dužine: r=1/3, N=4, dimenzija ovog fraktala: D=ln(4)/ln(3)=1.26

9. Jedinična dužina razdijeljena je na 4 jednake manje dužine. Svaka je dugačka 1/4 jednične dužine: r=1/4, N=8, dimenzija ovog fraktala: D=ln(8)/ln(4)=1.5 Jedinična dužina razdijeljena je na 3 jednake dužine (r=1/3)i svaka se zamjenjuje uzorkomod 9 manjih dužina:N=9. Dimenzija ovog fraktala: D=ln(9)/ln(3)=2Kod ovog fraktala, za razliku od prethodna dva,kada 1/r teži u beskonačnostfraktal potpuno prekriva ravninu, D=2.

10. 1.1. Povijest fraktala • Dokumentirani prikaz fraktala nalazimo već 1525. u "Priručniku za slikanje" Albrechta Dürera, gdje opisuje uzorke nastale korištenjem pentagona • U 17. stoljeću Leibniz je definirao ponavljanje samosličnosti, međutim uzeo je u obzir da samo linija može biti sebi slična • Tek je 1872. Karl Weierstrass dao primjer funkcije kojom je definirao samosličnost. Međutim definicija je bila odveć apstraktna pa je Helge von Koch 1904. godine dao geometrijsku interpretaciju slične funkcije, koja je danas poznata kao "Kochova pahuljica“ • Nedugo kasnije, 1915. je Waclaw Sierpinski kreirao svoj uzorak fraktala pomoću trokuta;Iz tog razdoblja dolaze nam još cijeli nizovi skupova fraktalnog prikaza poput onih Henria Poincaréa, Felixa Kleina, Pierrea Fatoua, Gastona Julie i Georga Cantora

11. Nakon niza istraživanja i mjerenja dužine Britanske obale, temeljenih na ranijem radu Lewisa Fry Richardsona, Benoit Mandelbrot napokon 1975. skovao riječ fraktal i definirao njeno značenje, te svoje otkriće potkrijepo je atraktivnim računalnim prikazima, koji su i danas najčešća predodžba fraktala

12. 1.2.Podjela fraktala • Prema stupnju samosličnosti A)Potpuno samoslični fraktali - fraktali koji sadrže kopije sebe koje su slične cijelom fraktalu. Primjeri su svi geometrijski fraktali, npr. trokut Sierpinskog, Kochova krivulja, Hilbertova krivulja, Cantorov skup itd.

13. Nastajanje Hilbertove krivulje • Nulta i prva iteracija su zadane takve kakve jesu. • Druga se iteracija tvori tako da se u prvoj iteraciji pronađe svaki segment sličan krivulji iz nulte iteracije i zamijeni se cijelom prvom iteracijom.

14. Daljnja se konstrukcija može shvatiti na dva načina, iako je rezultat potpuno isti: • n-tu iteraciju dobijemo ako u iteraciji br. n-1 svaki segment sličan krivulji iz nulte iteracije zamijenimo cijelom prvom iteracijom • n-tu iteraciju dobijemo ako u iteraciji br. n-1 svaki segment sličan krivulji iz iteracije br.n-2 zamijenimo cijelom iteracijom br. n-1 • Hilbertova krivulja nastaje nakon beskonačno mnogo iteracija

15. Kvazi samoslični fraktali- fraktali koji sadrže male kopije sebe koje nisu slične cijelom fraktalu, nego se pojavljuju u iskrivljenom obliku. Npr. Mandelbrotov i Julijev skup sl.

16. Statistička samosličnost- fraktal ne sadrži kopije samog sebe, ali neke njegove osobine (npr. fraktalna dimenzija) ostaju iste pri različitim mjerilima • Tipičan je primjer Perlinov šum

17. Postupak na primjeru jednodimenzionalne funkcije (Perlinov šum) • Prvu funkciju konstruiramo tako da na određenom segmentu apscise odredimo pet jednako udaljenih točaka i pripišemo im slučajno izabrane vrijednosti između primjerice -128 i 128 te interpoliramo ostale točke odabranim postupkom, u ovom slučaju kosinusnom interpolacijom (laički: "lijepo" spojimo odabranih pet točaka): • Drugu funkciju konstruiramo na isti način, samo što odabiremo devet točaka (uključujući i pet iz prošle funkcije) i pripisujemo im slučajne vrijednosti u intervalu [-64, 64]. Sada imamo (približno) dvostruko više točaka, a amplituda je dvostruko manja:

18. Nastavljamo na isti način, sa 17 točaka u intervalu [-32 i 32]: • 33 točke, vrijednosti u intervalu [-16, 16]: • 65 točaka, interval [-8, 8] (ovdje točke nisu naglašene jer ih je previše): • Naposlijetku jednostavno zbrojimo sve te funkcije dobivajući planinoliku strukturu zvanu Perlinov šum:

19. Prema načinu nastanka • Sustavi iteriranih funkcija(geometrijski fraktali) - nastaju kopiranjem te homotetijom, rotiranjem i/ili translatiranjem kopije te mogućim zamjenjivanjem nekog elementa kopijom • Fraktali definirani rekurzivnim relacijama (algebarski fraktali) - određeni su rekurzivnom matematičkom formulom koja određuje pripada li određena točka prostora (npr. kompleksne ravnine) skupu ili ne • Slučajni fraktali(stohastični fraktali) - nastaju crtanjem grafova nekih stohastičnih procesa, npr. Brownovog gibanja. Posjeduju najmanji stupanj samosličnosti i nalazimo ih često u prirodi (obale, drveće, oblaci, munje…) 

20. 1.3.Primjena • Primjer primjene fraktala u računalnoj grafici jest stvaranje terena, posebice planina- tvori tako da se horizontalno položenom trokutu svaki vrh povisi ili snizi za slučajno odabranu vrijednost • Tako dobivenom trokutu spoje se polovišta stranica te se tako dobivaju četiri nova trokuta, srednjem od njih (omeđen trima dužinama koje spajaju polovišta stranica prvotnog trokuta) povisimo ili snizimo vrhove kao i početnom trokutu, ali koristimo dvostruko manje vrijednosti i postupak sada ponovimo za sva četiri trokuta • Planine se mogu napraviti i na drugi način, pomoću Perlinovog šuma.

21. Pomoću sustava iteriranih funkcija u tri dimenzije moguće je kreirati raznoliko raslinje – grmove, drveće, busene trave i sl. Ako isto napravimo u trodimenzionalnom sustavu te na kraj svake "grančice" dodamo list, rezultati mogu biti zapanjujuće slični stvarnim pojavama u prirodi.

22. Fraktali se koriste još i u kompresiji podataka- od manje važnih primjena tu je (naravno, vrlo ograničeno) predviđanje nekih stohastičkih procesa kao što su potresi, slaganje snopova optičkih vlakana, oponašanje rada neuronskih mreža za razvoj umjetne inteligencije itd. • Za male uređaje kao što su mobiteli proizvode se antene u obliku fraktala koje zbog toga mogu koristiti širok spektar frekvencija ne zauzimajući mnogo mjesta • Uzorak za vojnu kamuflažnu odjeću koristi fraktalnu strukturu koja se nigdje ne ponavlja te se stoga mnogo teže zamjećuje u prirodi, gdje ništa nije matematički pravilno • Provode se istraživanja za liječenje aritmije srca, gdje srce kuca u kaotičnom režimu • Naposlijetku, neke su fraktalne strukture izrazito lijepe te se prezentiraju kao umjetnička djela

23. 1.4.Fraktali u prirodi • Često se kao primjer spominje posebna vrsta brokule te paprat • Med kristalizira u fraktalne oblike, a drveće je, kao i paprat, po svojoj prirodi fraktalnih svojstava (deblo se grana na grane koje se granaju na grančice) • Mandelbrot je koristio primjer obale mora kao fraktal – uvale sliče zaljevima, rtovi poluotocima • Primjer je sustav krvnih žila, koje u principu imaju istu strukturu kao i drveće • DNK se namata dajući fraktalnu strukturu

24. 1.5.Matematička konstrukcija fraktala • Primjenjuje se takozvana procedura IFS (iterated function sheme) za koju je potrebno imati: inicijator (I), generator (G) te m sličnosti (Sk, k=1, 2,..,m) koje prevode inicijator u generator odnosno: • Potom se formira niz skupova En na slijedeći način: • gdje je F fraktalni skup koji dobivamo na kraju, a za dovoljno veliki broj n vrijedi da je F ≈En

25. 1) IFS za Cantorov skup inicijator je I=[0,1] 0_________________1 generator je: E1=G= 0______1/3 2/3_______1 • Definiramo: • gdje su :

26. E2= 0______1/9 2/9______1/3 2/3_____7/9 8/9_____1 E3= 0_1/272/27_1/9 2/9_7/27 8/27_1/3 2/3_19/27 20/27_7/98/9_25/726/27_1 • Na kraju Cantorov skup F zadovoljava: F = S1(F) U S2(F) pri čemu jeF ≈En za dovoljno veliki n

27. 2) IFS za Kochovu krivulju inicijator je I = [0,1] - generator G je : • Definiramo: • gdje su: • Na kraju Kochina krivulja F zadovoljava: F = S1(F) U S2(F) U S3(F) U S4(F)pri čemu jeF ≈ En za dovoljno veliki n

28. Prve tri iteracije Kochove krivulje

29. 2.ZAKLJUČAK: • Fraktali su objekti koji daju jednaku razinu detalja neovisno o razlučivosti koju koristimo, a njihova osnovna svojstva su samo-sličnost, fraktalna dimenzija i oblikovanje iteracijom • Moguća je njihova podjela prema stupnju samosličnosti i prema načinu nastanka • U programu Matlab napravljena su dva programa koja prikazuju četiri stupnja iteracije rekurzivnim algoritmom, uključujući i nulti, za Hilbertovu i Kochovu krivulju • Pokretanjem programa inicijator se iterativno transformira u generator na temelju svojstava sličnosti koja čuvaju oblike, a mijenjaju položaj i veličinu kutova, te nastaju fraktali.

30. Ispis MATLAB-ovog command window-a za pokrenuti program za Hilbertovu krivulju: 0., 1., 2., 3. i 4. iteracija

31. Ispis MATLAB-ovog command window-a za pokrenuti program za Kochovu krivulju:

32. 3. LITERATURA 1) M. Pašić, Uvod u matematičku teoriju kaosa za inženjere, Skripta FER, Zagreb, 2005. (96.-97.) 2) http://hr.wikipedia.org/wiki/Fraktal, 22.5.2013. 3) http://zvjezdarnica.com/znanost/nas-planet/teorija-kaosa-novi-pogled-na-svijet/157, 22.5.2013. 4)http://m2matlabdb.ma.tum.de/files.jsp?MC_ID=5&SC_ID=13