1 / 42

LOGIKA 7. Előadás

LOGIKA 7. Előadás. Kocsisné Dr. Szilágyi Gyöngyi. Elérehetőség : aszt.inf.elte.hu /~szilagyi / szilagyi@ aszt.inf.elte.hu Fogadó óra: hétfő 10-12 2.620 szoba Jegyzet: Pásztorné Varga Katalin, Várterész Magda: A MATEMATIKAI LOGIKA ALKALMAZÁSSZEMLÉLETŰ TÁRGYALÁSA

ting
Download Presentation

LOGIKA 7. Előadás

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. LOGIKA 7. Előadás Kocsisné Dr. Szilágyi Gyöngyi

  2. Elérehetőség: • aszt.inf.elte.hu/~szilagyi/ • szilagyi@aszt.inf.elte.hu Fogadó óra: hétfő 10-12 2.620 szoba Jegyzet: Pásztorné Varga Katalin, Várterész Magda: A MATEMATIKAI LOGIKA ALKALMAZÁSSZEMLÉLETŰ TÁRGYALÁSA http://www.tankonyvtar.hu/hu/tartalom/tamop425/0046_a_matematikai_logika_alkalmazasszemleletu_targyalasa/adatok.html TECHNIKAI ADATOK

  3. Bevezetés A 0. rendű logika (Itéletkalkulus) • Szintaxis • Szemantika • 0. rendű logikai törvények (kielégíthető, kielégíthetetlen, azonosan igaz) • Szemantikus következmény • Normálformák • Automatikus tételbizonyítás (szemantikus, szintaktikus) Az 1. rendű logika (Predikátumkalkulus) • Szintaxis • Szemantika • 1. rendű logikai törvények (kielégíthető, kielégíthetetlen, azonosan igaz) • Szemantikus következmény • Szintaktikus megközelítés ( Rezolúció) TEMATIKA

  4. Az 1. rendű logika (Predikátumkalkulus) • Szintaxis • abc, term, formula, szintaktikai definíció, • egyértelmű elemzés, szerkezeti indukció és rekurzió • Műveletek hatásköre, változó előfordulás-változó-formula minősítése • Logikai összettetség • Alapkifejezés, prímformula, prímkomponens • Változó átnevezés, Termhelyettesítés • Szemantika • Interpretáció (abc elemei: logikán kívüli rész) • változó kiértékelés(  ) •  L-értékelés (term és formula) • Term és formula értéktáblája • Quine-féle táblázat • Kielégíthetőség: kielégíthető, kielégíthetetlen, logikailag igaz, tautológia • 1. rendű logikai törvények • Szemantikus következmény • Szintaktikus megközelítés ( Rezolúció) TEMATIKA

  5. NYELV = ABC + SZINTAXIS + SZEMANTIKA Abc Logikai rész: • , , , , , ,  • Indivídum változók (X, Y, …) – megszámlálhatóan végtelen, adott fajtájúak • Elválasztó jelek („(„ „)”) • (ítélet változók) Logikán kívüli rész: • Függvény, predikátum és konstans szimbólumok • Elemfajták halmaza Abc

  6. A nyelv ábécéjének értelmezése (interpretációja - modellezése).   • Az ítéletlogika ábécéjében csak az ítéletváltozókat kell interpretálni. • Az ítéletváltozók befutják az állítások halmazát. • Ha megmondjuk melyik ítéletváltozó melyik állítást jelenti, akkor a változó igazságértékét megadtuk. • Ennek rögzítését interpretációnak nevezzük: Emlékeztető: Formula • minden ítéletváltozó ( Vv)  JFF • ha AJFF akkor AJFF • ha A,BJFF akkor (A○B)JFF minden formula előáll az előző három eset véges sokszori alkalmazásával. Egyszerű állításÖsszetett állítás interpretáció Boole-értékelés { i , h } { i , h } Formula jelentése mindig igazságérték! SZEMANTIKA: Zérusrendben

  7. 1. Interpretáció (I) + 2. változó kiértékelés (  ) + 3.  L-értékelés (I + -n alapuló) Szemantika: 1 rendben

  8. Nyelv szignaturája: <P1, P2, …, Pn; F1, F2, …, Fk; m1,…, mn;mn+1…, mn+k , k1, k2, …, kq> I Struktúra szignaturája: <U, R1, R2, …, Rn; M1, M2, …, Mk;m1,…, mn; mn+1…, mn+k c1, c2, …, cq>  x,y, ... Individum változók A formalizált egyyfajtájúnyelv szignaturájaés a matematikai struktúra szignaturájaközötti kapcsolat. 1. Interpretáció : szignaturák

  9. 1. Interpretáció (I) + 2. változó kiértékelés (  ) + 3.  L-értékelés (I + -n alapuló) Szemantika: 1 rendben

  10. Definíció: : változó kiértékelés(  ) : VU, ahol V: indivíduum változók halmaza, U: univerzum |x|I, jelöli: az U univerzumbeli (x) individuumot V U u2 x  2. Változó kiértékelés: indivíduum változók u1 y

  11. 1. Interpretáció (I) + 2. változó kiértékelés (  ) + 3.  L-értékelés (I +  -n alapuló) Szemantika: 1 rendben

  12. A L-értékelés Egy olyan leképezés, amely egy formulához hozzárendeli annak jelentését: {i,h}. A formula valamely L(Vv) = <Tp, Pr , Fn, Kn, > formalizált nyelven íródott 1. lépés. Választunk egy S = <U, R, M, C> matematikai struktúrát, amelynek a típusa megegyezik az L nyelv típusával 2. lépés.  a logikán kívüli szimbólumokat a megfelelő relációkkal illetve műveletekkel azonosítjuk (I) 3. lépés.  Kiértékeljük a formulában szereplő termeket, a nem kötött változóinak az összes lehetséges  változókiértékelése mellett 4. lépés.  Kiértékeljük a formulát a nem kötött változóinak az összes lehetséges  változókiértékelése mellett L-értékelés: Informális (I, )

  13. Definíció: Termek  = I, L-értékelése 1. xsindividuumváltozó: |xs|I, a (x)U ( egy változókiértékelés) c konstansszimbólum: |c|I, az U-beli cI elem. 2. |f(t1, t2, ..., tn)| I, = fI (|t1| I, , |t2| I, , ..., |tn|I, )  L-értékelés (term)

  14. Példa: logikai nyelvstruktúra nyelve I: L= (=, P1, P2 ; a, b, f1, f2) S= N ( =, <, > ; 0, 1, +, * ) (2, 2, 2 ; 0, 0, 2, 2 ) (2, 2, 2 ; 0, 0, 2, 2 ) •  = I, Term interpretációja: t = (f1(x, f2(x,y)))  = f1 (x, f2 (x,y)) = + ( x, * (x ,y)) = x+ x*y  L-értékelés (Példa: term)

  15. Definíció: Formulák  =I,L-értékelése 1. |P(t1, t2, ..., tn))|I,= i, ha (|t1|I, , |t2|I, , ..., |tn|I,)PI , ahol PI jelöli a PI relációigazhalmazát. 2. |A|I, =|A|I, |AB|I, = |A|I, |B|I, |AB|I, = |A|I, |B|I, |AB|I, = |A|I, |B|I, 3. |xA|I,= i, ha |A|I,*= i minden * x variánsára |xA|I, = i, ha |A|I,*= i legalább egy * x variánsára (A a formula törzse/mátrixa)  L-értékelés (formula)

  16. Példa: Kvantormentes formula interpretációja:  =I, • (P1(t, f1(y, f2(x,y))))= P1 (t, (f1(y, f2(x,y))) )= • P1 (t, f1 (y, f2 (x,y)))= • < (+ (x,* (x,y)),+(y,*(x,y)) = • < ( x+ x*y, y+ x*y) = • (x+ x*y)<( y+ x*y)  L-értékelés (kvantormentes formula)

  17. Egzisztenciális formula interpretálása:  =I, • (x P1(a, f1(x,x))) =i, ha (P1(a, f1(x,x))) (x/u)=i legalább egy uU • ebben az interpretációban, ha 0<(x+x) = i legalább egy uN • Mivel az x=1-re a formula törzse i, ezért a x(0<(x+x)) formula is i. • Univerzális formula interpretálása:  =I, (xP1(a, f1(b,x))) = i, ha (P1(a, f1(b,x))) (x/u)=i minden uU Mivel minden egészre a formula törzse i, ezért a x(0<(1+x)) formula értéke i.  L-értékelés (kvantált formula)

  18. Egy 1. rendű formula primformulái • az atomi formulák ( p(t1, ..., tn) ) és a • kvantált formulák Egy 1. rendű formula primkomponenseia formula azon primformulái, amelyekből a formula logikai összekötőjelek segítségével épül fel. Példa: P(X) prímformula, de csak akkor prímkomponens, ha magában szerepel a formulában: P(X)  Q(X) -ben: P(X) prímkomponens is xP(x)  Q(X) -ben: P(X) nem prímkomponens, csak prímformula Az igazságtáblában (0. rendű logika) az első sorba az állításváltozók (ezek a formula prímkomponensei) és a formula kerülnek. A változók alá igazságértékeiket írjuk. A formula alatt a megfelelő helyettesítési értékek találhatók. Term és formula értéktáblája: Ismétlés

  19. Egy 1. rendű formula értéktáblájábanaz első sorba • a szabad indivíduumváltozók • a primkomponensek és a • formula kerülne. Mivel a primformulák több esetben paraméteres állítások, ezért az interpretációban az indivíduum változók kiértékelése után válnak állításokká. Ezért az értéktábla első sorába még a formulában lévő indivíduum változókat is felsoroljuk a primformulák elé. • Az indivíduum változók alá azok lehetséges kiértékelései kerülnek • Aprimformulák alá a megfelelő helyettesítési értékek kerülnek • A formula alatt a prímformulák értékeinek megfelelő helyettesítési értékek találhatók. Term és formula értéktáblája

  20. ADOTT INTERPRETÁCIÓBAN EGY ADOTT VÁLTOZÓKIÉRTÉKELÉS ESETÉN NÉZI A FORMULA ÉRTÉKÉT Példa A formulaxP(x)yQ(w,y)P(v)zQ(w,z) A primkomponensek: xP(x), y(Q(w,y), P(v), zQ(w,z)). A szabad indivíduumváltozók: v, w. Legyen az interpretáló struktúra: U={1, 2, 3}, P={1,3} Q={(1,2),(1,3), (2,1), (2,2), 2,3)}, Ekkor (xP(x)) = h, a többiek paraméteres állítások Az értéktábla: Term és formula értéktáblája

  21. A PRIMKOMPONENSEK ÖSSZES LEHETSÉGES ÉRTÉKÉT NÉZI Példa A formulaxP(x)yQ(w,y)P(v)zQ(w,z) A primkomponensek: xP(x), y(Q(w,y), P(v), zQ(w,z)). A Quine tábla: Formula Quine táblája

  22. Definíció: Kielégíthetőség Definíció: Kielégíthetetlenség Azt mondjuk, hogy G formula, illetve F formulahalmaz kielégíthetetlen (nem kielégíthető),ha L-hez nincs olyan I interpretáció, hogy I= G illetve, hogy I= F. • Más szóval egy G formula kielégíthetetlen ha minden interpretációban a G értéktáblájának minden sorában G helyettesítési értéke h(amis). • Az F formulahalmaz kielégíthetetlen, ha az F közös érték táblájában minden sorban van legalább egy eleme F-nek, amelynek a helyettesítési értéke h(amis). Kielégíthetőség

  23. Definíció: Logikailag igaz formula Logikailag igaz formula

  24. Definíció: Tautológia Azt mondjuk, hogy egy G formula tautológia, ha G Quine táblájában a prímkomponensekhez rendelhető összes lehetséges igazságérték hozzárendelés esetén a formula helyettesítési értéke i. Jelölés: =0A TÉTEL: Definíció: Logikai ekvivalencia Az A és B elsőrendű formulák logikailag ekvivalensek ha A=B és B=A. Tautológia, Logikailag igaz

  25. Logikailag igaz, tautológia

  26. DEFINICIÓ: Logikai vagy szemantikus következmény Azt mondjuk, hogy a G formula logikai (szemantikus) következménye az Fformulahalmaznak, ha minden olyan I interpretációra amelyre I= F a I= G is fennáll. Jelölés: F= G. TÉTEL F-nek szemantikus következménye G, akkor és csak akkor, ha az F  {G} kielégíthetetlen Eldöntésprobléma: tetszőleges 1.rendű formulahalmazról eldönteni, hogy kielégíthetetlen-e Eldöntésprobléma

  27. 1. ÉRTÉKTÁBLÁVAL F= G, ha minden olyan interpretáló struktúrában, ahol az F, G közös értéktáblájában minden olyan sorban, ahol az F elemeinek helyettesítési értéke i(gaz), a G helyettesítési értéke is i(gaz). 2. REZOLÚCIÓVAL F  {G} kielégíthetetlenségének bizonyításával. Eldöntésprobléma megoldás

  28. Az F1F2...FnG elsőrendű formulát logikailag ekvivalens módon át kell írni elsőrendű klózok konjunkciójává. Elsőrendű klóz: xy(P(x)Q(x,f(y)) kifejtése U={a,b,c} felett alapklózok konjunkciójává: (P(a)Q(a,f(a)) (P(a)Q(a,f(b)) (P(a)Q(a,f(c)) (P(b)Q(b,f(a)) (P(b)Q(b,f(b)) (P(b)Q(b,f(c)) (P(c)Q(b,f(a)) (P(c)Q(b,f(b)) (P(c)Q(b,f(c)) Lépések: 1. Prenex alakra hozás 2. Skolem alakra hozás 3. Klózokra bontás (K: Klózhalmaz) 4. A Herbrand univerzum és Bázis: a klózhalmazalapelőfordulásainak generálása 5. Herbrand tétele alapján pontosan akkor vezethető le az üres klóz, ha K kielégíthetetlen 6. Az alaprezolúció segítségével az üres klóz levezetése Alaprezolúció

  29. Definíció: Prenex formula Egy B=Q1x1Q2x2…QsxsA formulát prenex formulának nevezünk, ha az A formula kvantormentes. A formula Q1x1Q2x2…Qsxs részét a formula prefixumának, az A részét a formula magjának vagy mátrixának nevezik. Prenex-konjunktívnormálformájú illetve prenex-diszjunktív normálformájú egy prenex formula, ha a magja KNF illetve DNF. • Megmutatjuk, hogy tetszőleges elsőrendű formula átalakítható prenex formulává. • Ehhez megadunk néhány, a kvantorokra vonatkozó azonosságot, • majd egy algoritmust, amely biztosítja tetszőleges formula prenex formulává alakítását az említett azonos átalakítások felhasználásával. 1. Prenex alakra hozás

  30. Általános De Morgan – szabályok: 1. ¬xA=x¬A 2. ¬xA=x¬A Kvantorkiemelésiszabályok: (A[x] jelentése, x szerepel A-ban) 1. xA[x]˄B=x(A[x]˄B), 2. xA[x]˅B=x(A[x]˅B) 3. xA[x]˄B=x(A[x]˄B), 4. xA[x]˅B=x(A[x]˅B) 5. xA[x]˄xB[x]=x(A[x]˄B[x]), a ˅ műveletre nem áll fenn. 6. xA[x]˅xB[x]=x(A[x]˅B[x]), az ˄ műveletre nem áll fenn. 7. Q1xA[x]˄Q2xB[x]=Q1xQ2y(A[x]˄B[x/y]) y nem szerepelt 8. Q1xA[x]˅Q2xB[x]=Q1xQ2y(A[x]˅B[x/y]) a formulában 1. Prenex alakra hozás

  31. Algoritmustetszőleges formula prenex alakra való átírására • A formulában szereplő logikai összekötőjelek átírása ¬, ˄, ˅ logikai műveletekre. • A De Morgan- és az általános De Morgan- szabályok alkalmazása addig, amíg a ¬ hatásköre minden esetben atomi formula nem lesz. • A kvantorkiemelési szabályok alkalmazása addig, amíg az összes kvantor a formula elé nem kerül. 1. Prenex alakra hozás

  32. Definíció: Skolem – formulának Egy prenex formulát Skolem – formulának nevezünk, ha a prefixumában csak univerzális kvantorok szerepelnek és a formula magja konjunktív normálformájú. Megjegyzés: Egy olyan prenex formulához amelyben Qj a legkisebb indexű egzisztenciális kvantor, vagyis a formula alakja x1...xj-1xjQj+1xj+1…QnxnA=x1…xj-1xjB, konstruálhatunk egy olyan f(x1,x2,…,xj-1) függvényt, amely az interpretáló struktúrában az (x1,x2,…,xj-1) változók által felvett minden értékkombinációhoz hozzárendel egy értéket azok közül, amelyeket az xj helyébe helyettesítve a B igaz lesz. Ezt a függvényt Skolem függvénynek nevezzük. 2. Skolem alakra hozás

  33. Megadunk egy algoritmust, amellyel tetszőleges prenex formulához meg lehet konstruálni egy vele logikailag ekvivalens Skolem-formulát. AlgoritmusSkolem-formula előállítására. • A prenex formula legyen Q1x1Q2x2…QsxsA. • Megkeressük az első egzisztenciális kvantort. • Ha ilyen nincs, akkor a formula Skolem-formula. Az algoritmus befejeződik. • Legyen az első egzisztenciális kvantor az j-edik. Válasszunk egy olyan f függvényszimbólumot, amely nem szerepel a nyelvben és jelöljük f(x1,x2,…,xj-1)-el a Skolem függvényt. Az új formulát úgy kapjuk meg, hogy elhagyjuk a xjkvantort és a B-ben elvégezzük az (xj/f(x1,x2,…,xj-1)) helyettesítést. • A kapott formulával következik az 1. lépés. Tétel: Legyen B prenex formula és BSN a B alapján előállított Skolem-formula. A B formula logikailag ekvivalens a BSN formulával. 2. Skolem alakra hozás

  34. Mivel a Skolem forma magja KNF, ezért könnyen klózokra bontható az ˄ műveletek mentés történő szétvágás segítségével Példa. A formula: xyz((P(x,y)→¬P(y,x))˄(P(x,z)˅P(z,y))) – átírás ¬, ˄, ˅-ra xyz((¬P(x,y)˅¬P(y,x))˄(P(x,z)˅P(z,y))) – prenex-konjunktív forma Skolem-formába való átírása. z-re Skolem függvény bevezetése: xy((¬P(x,y)˅¬P(y,x)) ˄ (P(x,f(x,y))˅P(f(x,y),y)))) A kapott elsőrendű klózhalmaz: K={¬P(x,y)˅¬P(y,x) , P(x,f(x,y))˅P(f(x,y),y)} 3. Klózókra bontás

  35. Egy adott, elsőrendű klózhalmazhoz egyértelműen hozzárendelhető univerzum konstrukciója J. Herbrand nevéhez fűződik Definíció: Herbrand-univerzum • Legyen K egy elsőrendű klózhalmaz. • Legyen H a K-ban szereplő konstansok halmaza. • Ha K-ban nincs konstans, akkor H={a}, ahol az a egy fiktív konstans. • Legyen i=0,1,…-re H=HF, ahol F az összes olyan f(t,t,...,t) termek halmaza, amelyekre az f függvényszimbólum szerepel K-ban és tjHi, (j=1,2,...,n). Hi-ta K i-edrendűkonstansai halmazának, a H-t a K Herbrand-univerzumának nevezzük. Megjegyzés: A definícióból következik, hogy H legfeljebb megszámlálható számosságú lehet. 4. Herbrand Univerzum

  36. Példa 1. K={P(x)˅Q(x), R(y), T(z)˅Q(z)} H0={a}, mivel K-ban nincs konstans. H0=H1=...=H={a}, H véges számosságú, mivel K-ban nincs függvényszimbólum. Példa 2. K={P(a), P(x)˅P(f(x))} H0={a}, ahol a K-beli egyetlen konstans az a. H1={a, f(a)} H2={a, f(a), f(f(a))} ... H={a, f(a),f(f(a)),f(f(f(a))), ...} H megszámlálható számoságú. 4. Herbrand Univerzum

  37. Definíció: Herbrand-bázis Legyen K egy elsőrendű klózhalmaz. A K Herbrand-bázisánaknevezzük a K-beli literálokban szereplő atomi formulák H feletti összes alapelőfordulását. Példa. Legyen K={P(x), Q(f(y))˅R(y)} klózhalmaz. K Herbrand-univerzuma: H={a,f(a),f(f(a)),f(f(f(a))),...} K Herbrand-bázisa: {P(a),Q(f(a)),R(a),P(f(a)),Q(f(f(a))),R(f(a)),...}. 4. Herbrand Bázis

  38. TÉTEL: Herbrand-tétel Egy K elsőrendű klózhalmaz akkor és csak akkor kielégíthetetlen, ha a K klózaialapelőfordulásainak van véges kielégíthetetlen K’ részhalmaza. Példa1. Legyen K={P(x), ¬P(f(a))}. A K kielégíthetetlen, mivel K’={P(f(a)), ¬P(f(a))} egy véges kielégíthetetlen részhalmaza K alapklózainak. Példa 2. A K={¬P(x)˅Q(f(x),x), P(g(b)), ¬Q(y,z)} kielégíthetetlen, mert K’={¬P(g(b))˅Q(f(g(b)), g(b)), P(g(b)), ¬Q(f(g(b)), g(b))} egy véges kielégíthetetlen részhalmaza K alapklózainak. Ezek az alapklózok az (x/g(b), y/f(g(b)), z/g(b)) helyettesítéssel álltak elő. 5. Herbrand tétele

  39. A rezolúciós kalkulusra több, a Herbrand-tételeket felhasználó számítógépes implementáció ismert. • Az ítéletlogikai rezolúciós kalkulust, valamint az alapklózhalmazon definiált alaprezolúciós kalkulust egyformán lehet végrehajtani. • Egy elsőrendű K klózhalmazból való rezolúciós levezetés egy olyan véges k1, k2, ..., kn elsőrendű klózsorozat, ahol minden j=1, 2, ..., n-re 1. vagy kj K 2. vagy van olyan 1s,tj, hogy kj a ks, ktklózpár elsőrendű rezolvense. • Az elsőrendű logikában a probléma abban rejlik, hogy a Herbrand univerzum feletti alapatomok célszerű generálási sorrendjére nincs stratégia, és így a műveletszám becslése lehetetlen. • A nulladrendű rezolúciós elvben a rezolvensképzés feltétele az volt, hogy két C1, C2klózban pontosan egy azonos alapú, de ellenkezően negált literál (egy komlemens pár) forduljon elő. • Azokra a klózokra, amelyek nem tartalmaznak változót, a döntés egyszerű. • Azonban a változót tartalmazó klózok esetén a helyzet komplikáltabb. 6. Alaprezolúció

  40. Példa Tekintsük például a következő két klózt: C1=P(x)˅Q(x) C2=¬P(f(y))˅R(y) Látszólag nincs olyan literál C1-ben, amely komplementere lenne a C2 valamelyik literáljának. Ha viszont előállítjuk a Herbrand-univerzum feletti alapelőfordulástokat, akkor az x/f(a), y/a helyettesítések mellett előálló P(f(a))˅Q(f(a)), ¬P(f(a))˅R(a) alapklózokbana P(f(a)), ¬P(f(a)) ilyen komplemens pár. 6. Alaprezolúció

  41. Példa alaprezolúcióra Előállítjuk az első rendű klózok magjainak összes alappéldányát és az alapklózok halmazán ítéletlogikai rezolúcióval levezetjük az üres klózt. Az elsőrendű klózhalmaz: {xy(P(x)Q(x,f(y))), zv(P(g(z))P(v)), uQ(g(u),u)} H univerzum: a, g(a), f(a), g(f(a)), g(g(a)), f(f(a)), f(g(a)), …(A klózhalmaz leíró nyelvének összes alaptermje) Alapklózok: alaprezolúcióaz ítletlogikai megfelelő levezetés 1. Q(g(f(a)), f(a))u/f(a) 1. X 2. P(g(f(a)))Q(g(f(a)),f(a)) x/g(f(a)), y/a 2. YX 3. P(g(f(a))) 3. Y 4. P(g(f(a))) z/f(a), v/ g(f(a)) 4. Y 5.  5.  6. Alaprezolúció

  42. Az elsőrendű rezolúcióban a rezolvens képzésnél az illesztő helyettesítéssel dolgozunk, és az alapján próbáljuk levezetni az üres klózt. Példa Elsőrendű rezolúciós levezetés a {xy(P(x)Q(x,f(y))), zv(P(g(z))P(v)), uQ(g(u),u)} klózhalmazból. 1. P(x)Q(x,f(y)) K 2. Q(g(u),u) K u / f(y), x/g(f(y)), 3. P(g(f(y))) rez(1,2) 4. P(g(z))P(v) K faktorizálás (v/g(z)) z/f(y), ) 5.  1. Rendű rezolúció

More Related