Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa Mestrado em Educação: Didáctica da Matemática

1. Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa Mestrado em Educação: Didáctica da Matemática Normas sociomatemáticas, argumentação e autonomia em Matemática Alexandra Simões Isilda Marques Professor Doutor João Pedro da Ponte Fundamentos da Didáctica da Matemática 15 de Dezembro de 2005

2. Normas sociomatemáticas, argumentação e autonomia em Matemática Acontecimentos empíricos Perspectivas teóricas Objectivo “… compreender como os alunos desenvolvem crenças e valores matemáticos específicos e, consequentemente, como se tornam intelectualmente autónomos em Matemática.” Relação Reflexiva

3. Normas sociomatemáticas, argumentação e autonomia em Matemática Normas sociais • Explicação • Justificação • Argumentação Normas sociomatemáticas • Compreensão normativa do que é considerado uma solução: • - matematicamente diferente • - matematicamente sofisticada • - matematicamente eficaz • - matematicamente elegante • Compreensão do que é considerado como uma explicação e justificação matemática aceitável

4. Normas sociomatemáticas, argumentação e autonomia em Matemática O processo de desenvolver normas sociomatemáticas Diferença matemática Exemplo 1 … Professor: Está certo. Alguém adicionou de modo diferente? Sim? … Professor: Ok! José? Diferente? … Professor: Ok! É quase semelhante a - (dirigindo-se ao outro aluno) Sim? Diferente? • Comentário • O professor não justifica ao aluno porque é que a sua explicação é semelhante às anteriormente apresentadas. Logo, leva os alunos a desenvolver as suas próprias interpretações acerca “do que é diferente”. • Os alunos interiorizaram que o professor legitimou somente as soluções diferentes, promovendo assim situações matematicamente significativas.

5. Normas sociomatemáticas, argumentação e autonomia em Matemática Exemplo 2 … Dennis: (Protestando) Sr. K., isso é a mesma coisa que eu disse. • Comentário • Esta intervenção contribui para: • a negociação do significado de diferença matemática • mostrar que o aluno entende que não é apropriado apresentar uma explicação que repete outra já descrita. • perceber que alguns alunos adquiriram a noção de quando é apropriado contribuir para a discussão. Solução sofisticada / eficaz Exemplo 3 Professor: Certo! Entendem o que ela [disse]. Eu gosto disso!... … Professor: … Isso é bom. Comentário - As expressões do professor influenciam os alunos a tornarem-se conscientes de formas mais avançadas de actividade matemática (pensamento individual e o discurso matemático). - A valorização da resposta de um aluno implicou que as soluções apresentadas por outros alunos se tornassem mais sofisticadas.

6. Normas sociomatemáticas, argumentação e autonomia em Matemática A influência das normas sociomatemáticas Oportunidades de aprendizagem Explicação e justificação aceitáveis O aluno passa a distinguir entre as explicações que descrevem procedimentos e as que descrevem acções com objectos matemáticos, tornando-se capaz de tomar as explicações como objectos de reflexão.

7. Normas sociomatemáticas, argumentação e autonomia em Matemática Exemplo 5 Sob as instruções de Travonda, o professor escreve: Travonda: Eu disse, um mais um é dois, e 3 mais 2 são 5. 12 +13 Exemplo 4 Professor: Há seis? Certo. Seis. Está certo turma? (o professor continua a questionar apesar da aluna ter respondido correctamente) … Donna: (protestando com o professor) Eu disse seis, mas você disse, “Não”. … Professor: Donna. Eu não consigo que tu digas que o teu nome é Mary. Assim, deverias ter dito, “Mr. K. Seis. E eu posso provar-lhe isto”. Eu tentei ensinar-te isso. Comentário A aluna mudou várias vezes a sua resposta com base na sua interpretação da situação social em vez do raciocínio matemático. Comentário - A explicação da aluna foi de natureza procedimental. - Dois alunos apresentaram explicações complementares que descrevem acções sobre objectos matemáticos (estabelecendo norma sociomatemática). - O professor legitimou a negociação contínua de que é uma explicação aceitável. (Está certo. É 25)

8. Normas sociomatemáticas, argumentação e autonomia em Matemática Explicações como objectos de reflexão Quando a explicação é mais adequada para os outros do que para o próprio, esta passa a ser um objecto de reflexão o que implica uma compreensão mais profunda da mesma. Exemplo 6 (perto do fim do ano lectivo) … Jameel: … Como pode ela saber, se você mostra dois. Como pode a outra pessoa ver….? Como pode ela saber …? Tony: Porque elas conseguem ver isso. Rick: Não, nós não conseguimos. Nós não conseguimos ver isso. Comentário: O material disponível para a explicação não era o “mesmo” para os alunos que conseguiam visualizá-lo directamente e para os outros que só tinham acesso à imagem projectada. - A intervenção do aluno centra-se na adequabilidade e clareza da explicação. - Existem alunos que somente conseguem resolver a questão com materiais manipuláveis e outros que não necessitam deste material. - O alunos tornou a explicação um objecto de reflexão para os outros alunos da turma assim como para si próprio.

9. Normas sociomatemáticas, argumentação e autonomia em Matemática Autonomia intelectual • Um aluno intelectualmente autónomo: • possui consciência das suas capacidades intelectuais utilizando-as para tomar decisões e fazer julgamentos matemáticos; • poderá assumir algumas das responsabilidades do professor; • distingue uma solução diferente, uma solução perspicaz, uma solução eficaz e uma explicação aceitável. Reflexão “Um aluno autónomo tem as respostas correctas, não porque alguém lhe mostrou, mas porque as encontrou. Não queremos educar crianças como em experiências de laboratório, como os ratos são condicionados…”. Estará o aluno “livre” para construir os seus próprios significados quando na interacção na sala de aula está perante um professor com crenças e valores próprios? O que é que se pode considerar uma solução matematicamente elegante? Que dinâmica criamos na sala de aula de forma a tornarmos os nossos alunos intelectualmente autónomos?