• 570 likes • 1.51k Views
Ukuran Statistika. Ukuran Penyebaran Julius Nursyamsi. Pendahuluan. Ukuran penyebaran Suatu ukuran baik parameter atau statistik untuk mengetahui seberapa besar penyimpangan data dengan nilai rata – rata hitungnya Ukuran penyebaran mencakup data Ungrouped data Data yang belum dikelompokan
E N D
Ukuran Statistika Ukuran Penyebaran Julius Nursyamsi
Pendahuluan Ukuran penyebaran Suatu ukuran baik parameter atau statistik untuk mengetahui seberapa besar penyimpangan data dengan nilai rata – rata hitungnya Ukuran penyebaran mencakup data Ungrouped data Data yang belum dikelompokan Grouped data Data yang telah dikelompokan ; Tabel distribusi frekuensi
Ukuran Penyebaran • Ukuran penyebaran: • Range • Deviasi • Rata – rata • Varian • Deviasi standar • Range inter-kuartil • Deviasi kuartil • Ukuran kecondongan dan keruncingan
Ukuran Penyebaran Untuk Data Tidak Dikelompokan • Range – Jarak • Merupakan perbedaan antara nilai terbesar dan terkecil dalam suatu kelompok data baik data populasi atau sampel • Rumusan Range Range = Nilai terbesar – nilai terkecil Range = 840 – 530 = 310
Deviasi Rata – rata Populasi • Rata – rata hitung dari nilai mutlak deviasi antara nilai data pengamatan dengan rata-rata hitungnya • Rumusan Deviasi rata –rata ( MD) ∑|x - x| MD = N X = Nilai data pengamatan X = Rata – rata hitung N = Jumlah data
Contoh Deviasi Rata - Rata MD = = ∑|x - X| / n = 8.84 / 5 = 1.768
Varians dan Standar Deviasi Populasi • Varians • Rata – rata hitung deviasi kuadrat setiap data terhadap rata – rata hitungnya • Rumus varians populasi µ = (∑ X) / N (X - µ )2 2= N X = Nilai data pengamatan µ = Nilai rata – rata hitung N = Jumlah total data
Contoh Kasus Varians (X - µ )2 17.372 2 = = = 3.4744 N 5
Standar deviasi Akar kuadrat dari varians dan menunjukan standar penyimpangan data terhadap nilai rata-ratanya Rumus standar deviasi Standar Deviasi (X - µ )2 = N = ² atau
Contoh Kasus Standar Deviasi Nilai varians : (X - µ )2 17.372 2 = = = 3.4744 N 5 Nilai standar deviasi : = 3.4744 = 1.864 Nilai penyimpangan sebesar 1.864
Varians dan Standar Deviasi Sampel • Varians • Standar deviasi (x - x )2 s 2= n -1 S = s²
Contoh Kasus Sampel Varians : ∑(x – X)² s² = n – 1 s² = 824260 / 9 s² = 91584.44 Standar deviasi : S = s² S = 91584.44 S = 302.63
Ukuran Penyebaran Untuk Data dikelompokan • Range – Jarak • Merupakan selisih antara batas atas dari kelas tertinggi dengan batas bawah dari kelas terendah • Rumusan Range Range = Batas atas kelas tertinggi – nilai terkecil
Contoh Range Batas atas Kelas terendah Batas atas Kelas tertinggi Range : = 9754 – 215 = 9539
Deviasi Rata - Rata • Rumus deviasi rata - rata f. |x - x| MD = n Rata – rata hitung data dikelompokan x = ( f.x) / n
Contoh Kasus MD = (∑f.|x - X|) / n = 442.08 / 50 = 8.8416
Varians Standar deviasi Varians dan Standar Deviasi data di kelompokan f. (x - x )2 s 2= n -1 S = s²
Contoh Kasus Varians : s²= (∑f.|x - X|²)/ n – 1 = 6194.88 / 49 = 126.4261 Standar deviasi : S = s² = 126.4261 = 11.2439
Mengubah ukuran penyebaran menjadi persentase atau ukuran relatif Penggunaan ukuran relatif memberikan manfaat : Data mempunyai satuan penguikuran yang berbeda Data mempunyai satuan ukuran yang sama Ukuran Penyebaran Relatif
Ukuran Penyebaran Relatif • Koefisien range • Koefisien deviasi rata-rata • Koefisien deviasi standar
Pengukuran penyebaran dengan menggunakan range secara relatif Rumusan : KR = ( (la – Lb) / (La + Lb) ) x 100 % Koefisien Range La : Batas atas data atau kelas tertinggi Lb : Batas bawah data atau kelas terendah
Contoh Koefisien Range KR : = (La – Lb) / (La + Lb) = (69 – 16 ) / (69 + 16) = 53 / 85 = 0.6235 x 100 % = 62.35 % La : Kelas tertinggi = 69 Lb : Kelas terendah = 16
Koefisien Deviasi Rata - Rata • Koefisien deviasi rata – rata • Ukuran penyebaran dengan menggunakan deviasi rata-rata relatif terhadap nilai rata-ratanya atau persentase dari deviasi rata-rata terhadap nilai rata-ratanya • Rumus : KMD = [ MD / x ] x 100% MD = Deviasi rata - rata X = Nilai rata – rata data
Contoh Kasus • Data dikelompokan : • MD = 8.8416 • X = 33.68 Koefisiendeviasi rata – rata : KMD = [ 8.8416 / 33.68 ] x 100 % = 0.2625 x 100 % = 26.25 %
Koefisien Standar Deviasi • Koefisien standar deviasi • Ukuran penyebaran yang menggunakan standar deviasi relatif terhadap nilai rata-rata yang dinyatakan sebagai persentase • Rumus KSD = [ s / x ] x 100 % S = Standar deviasi X = Nilai rata – rata data
Contoh Kasus • Data dikelompokan • Standar deviasi = 11.2439 • Rata – Rata hitung (x) = 33.68 • Nilai koefisien stnadar deviasi KSD = [ s / x ] x 100 % = [ 11.2439 / 33.68 ] x 100% = 0.3338 x 100 % = 33.38 %
Ukuran Kecondongan - Skewness • Ukuran kecondongan – kemencengan • Kurva tidak simetris • Pada kurva distribusi frekuensi diketahui dari posisi modus, rata-rata dan media • Pendekatan : Jika • Rata-rata = median = modus : Simetris • Rata-rata < median < modus : Menceng ke kiri • Rata-rata > median > modus : Menceng ke kanan
Koefisien Skewness • Sk = [µ - Mo ] / atau = 3.[µ - Md] / Contoh kasus data dikelompokan µ = 33.68 Mo = 18 Md = 32 = 11.2439 Sk = [33.68- 18 ] / 11.2439 Sk = 15.68 / 11.2439 Sk = 1.394 µ = Nilai rata – rata hitung Mo = Nilai modus Md = Nilai median = Standar deviasi Sk = {3. [ 33.68 – 32]} 11.2439 Sk = 5.04 / 11.2439 Sk = 0.4482
Ukuran Keruncingan - Kurtosis • Keruncingan disebut juga ketinggian kurva • Pada distribusi frekuensi di bagi dalam tiga bagian : • Leptokurtis = Sangat runcing • Mesokurtis = Keruncingan sedang • Platykurtis = Kurva datar
Koefisien Kurtosis • Bentuk kurva keruncingan – kurtosis • Mesokurtik 4 = 3 • Leptokurtik 4 > 3 • Platikurtik 4 < 3 • Koefisien kurtosis (data tidak dikelompokan) 4 = Nilai data 1/n ∑(x - )4 4
Koefisien Kurtosis 1/n ∑ f. (X - )4 4 Jumlah Frekuensi Nilai rata – rata hitung Standar deviasi Nilai tengah kelas Koefisien kurtosis (data dikelompokan) 4 =
Rata – Rata Geometrik • Digunakan untuk menghitung rata-rata laju pertumbuhan – Growth rate • Rumus : G = n (x1 . x2 . x3 . … xn ) G = [log x1 + log x2 +… log xn] n G = Antilog (log G)
Contoh • Data pertumbuhan suku bunga selama 5 hari, yaitu 1.5, 2.3, 3.4, 1.2, 2.5 % • Tingkat pertumbuhan : G = [log 1.5 + log 2.3 +log 3.4 + log 1.2 + log 2.5 ] / 5 G = [ 0.176 + 0.361 + 0.531 + 0.079 + 0.397] / 5 G = 1.5464 / 5 = 0.30928 G = antilog 0.30928 = 2.03
Ukuran Penyebaran Lain • Range Inter-Kuartil • Jarak inter-kuartil = K3 – K1 • Jika : • Inter-kuartil : Nilainya lebih kecil ; Bahwa data dalam sampel dan populasi lebih mengelompok ke nilai rata-rata hitung (seragam) • Inter-kuartil : lebih besar ; Kurang seragam
Ukuran Penyebaran Lain • Deviasi Kuartil • Setengah jarak antara kuartil ke 3 dan kuartil ke 1 • Rumusan Deviasi kuartil – DK DK = [ K3 – K1 ] / 2 • Jika • DK lebih kecil ; Rata – rata data lebih mewakili keseluruhan data
Ukuran Penyebaran Lain • Jarak persentil • Selisih antara persentil ke 90 dengan persentil ke 10 • Rumusan jarak persentil - JP JP = P90 – P10 • Jika JP lebih besar • Bahwa nilai deviasi lebih besar