Historia liczby

2. Nazwa szkoły:Zespół Szkół w MosinieID grupy:98/67_MF_G1Opiekun grupy:mgr Joanna KonaraKompetencja:zajęcia projektowe, komp. mat-fizTemat projektu:Historia liczby.Semestr/rok szkolnyLato 2011/2012

3. Historia liczby

4. Systemy pierwotne

5. Maszyna pierwotnych zdolna była operować tylko liczbami całkowitymi od 0 do 5. Ręka jako maszyna do liczenia

6. Wynalazek cyfr

7. Wynalezienie cyfr zaczęło się ponad 5000 lat temu. Dzięki wynalezieniu pisma oraz cyfr można było w sposób ujednolicony pisać dowolne liczby.

8. System grecki

9. Grecy rozwinęli w starożytności wspaniałą kulturę, którą podziwiamy do dzisiaj. Uczeni greccy zajmowali się różnymi naukami, znacznie ją wzbogacając. Matematycy odkrywali własności liczb i figur. Twierdzenia słynnych uczonych greckich są do dzisiaj prawdziwe i stosowane.

10. Grecy byli jedną z pierwszych kultur, która zastosowała w praktyce system zapisu słów oparty na alfabecie. Liczebniki greckie oznaczane były kolejnymi literami alfabetu.

12. Ich alfabet miał tylko 24 litery, a potrzeba było 27, wskrzesili więc trzy litery semickiego pochodzenia, a mianowicie: diagamma (Ϝ) lub waw(Ϛ), koph (Ϟ) oraz sampi (Ϡ), i używali ich do oznaczenia liczb 6, 90 i 900.

13. Kolejne liczby tworzone były przez dodawanie odpowiednich liczebników.Ten system pozwala zapisywać liczby od 1 do 999. Z większymi wartościami Grecy poradzili sobie, stosując cyfry młodsze od 1 do 9 z dodatkowym znakiem: ι (jota), który umieszczano przed liczebnikiem jako indeks górny lub dolny, który oznaczał pomnożenie przez 1000.

14. Dla większych liczb Grecy stosowali miriadę, która miała wartość 10000. Symbolem miriady był znak M, nad którym umieszczano liczbę od 1 do 9999 oznaczającą konieczność pomnożenia tej liczby przez miriadę, czyli 10000.W III wieku n.e. Diofantos używał kropki do zaznaczenia, że poprzedzające ją liczby należy pomnożyć przez 10000.

15. System rzymski

16. RZYMSKI SYSTEM ZAPISYWANIA LICZB Pierwotny rzymski system zapisywania liczb był prosty, ale dość niewygodny. Rzymianie zapisywali bowiem liczby za pomocą tylko pionowych kresek. Wprowadzono więc dla oznaczenia ważnych liczb znaki.

17. ZNAKI W systemie rzymskim posługujemy się znakami: I, V, X, L, C, D, M, gdzie: I = 1,  V = 5,   X = 10,   L = 50,   C = 100,  D = 500,     M = 1000.

18. System rzymski zapisywania liczb jest systemem addytywnym, czyli wartość danej liczby określa się na podstawie sumy wartości jej znaków cyfrowych. Wyjątki od tej zasady to liczby: 4, 9, 40, 90, 400 i 900, do opisu których używa się odejmowania. Np.. 400 ≠ CCCC 90 ≠ LXXXX 400 = CD 90 = XC WYJĄTKI

19. Podczas zapisywania liczb w systemie rzymskim należy dążyć zawsze do tego, aby używać jak najmniejszej liczby znaków. ZASADY

20. 1. Obok siebie mogą stać co najwyżej trzy znaki spośród: I, X, C lub M.Np.. XXX, nie XXXX

21. 2. Obok siebie nie mogą stać dwa znaki: V, L, D.Np.. LL

22. 3. Nie może być dwóch znaków oznaczających liczby mniejsze bezpośrednio przed znakiem oznaczającym liczbę większą.Np.. XXC

23. 4. Znakami poprzedzającymi znak oznaczający większą liczbę mogą być tylko znaki: I, X, C.Np.. VL

24. Prostsza notacja i wynalazek zera

25. Element neutralny dodawania; najmniejsza nieujemna liczba. To, czy zero jest uznawane za liczbę naturalną, jest kwestią umowy – czasem włącza się, a czasem wyklucza się je z tego zbioru. Zero nie jest ani liczbą pierwszą, ani liczbą złożoną. Pierwszy raz symbol ten został użyty przez matematyków hinduskich jako oznaczenie braku czegoś. W większości kalendarzy nie ma roku zerowego. Rok przed 1 rokiem naszej ery nazywany jest 1 rokiem przed naszą erą. Wynalazek zera

26. Postać wykładnicza to zapis liczy bezpośrednio w formie iloczynu postaci : M*10 do potęgi E Gdzie: M jest mantysą znormalizowaną do przedziału (1,10) E jest wykładnikiem całkowitym Notacja wykładnicza to uproszczony zapis bardzo dużych i bardzo małych liczb. Prostsza notacja

27. System babilonski

28. Babilońskich znaków używano w Mezopotamii około 5000 lat temu. Zachowały się do naszych czasów na glinianych tabliczkach. Wśród tych tablic uczeni znaleźli sporo tablic, na których wypisana jest cała wiedza matematyczna Babilonii. Babilończycy pisali pismem klinowym. Liter klinowych było dużo, ale znaków cyfrowych było niewiele. Babilończycy, którzy byli sławni za swoje słynne obserwacje astronomiczne i obliczenia, korzystali z pozycyjnego systemu sześćdziesiątkowego (systemu liczbowego o podstawie 60), który towarzyszy nam jeszcze dziś. Zapis liczby całkowitej w systemie babilońskim ma postać:ai-1ai-2 ... a2a1a0   =   ai-1 · 60i-1 + ai-2 · 60i-2 + ... + a2 · 602 + a1 · 601 + a0 · 600 System babiloński

29. System babiloński może wydawać się skomplikowany, jednak w rzeczywistości Babilończycy potrzebowali tylko dwóch symboli - dla oznaczenia jedności i dziesiątek. Znak oznaczał jedności, znak oznaczał dziesiątki. Ich cyfry były zbudowane właśnie z tych dwóch znaków Liczby babilońskie

30. System indyjski

31. System liczbowy Indii tworzył podstawę obecnie stosowanych europejskich systemów liczbowych. Jednakże nie przeszły one bezpośrednio z Indii do Europy, lecz najpierw znalazły zastosowanie w cywilizacjach arabskich oraz islamskich i dopiero od nich zawitały w Europie. System indyjski

32. Zagadnienie to nie jest jednak proste, gdyż Arabowie w XI wieku używali co najmniej trzy różne rodzaje systemów arytmetycznych, tj.: - system bazujący na liczeniu na palcach z liczbami zapisywanymi wyłącznie przy pomocy słów - system sześćdziesiętny - arytmetyka indyjska z pozycyjnymi ułamkami dziesiętnymi

33. Ówcześni studenci i uczniowie posługiwali się symbolami indyjskimi w swoich pracach, natomiast kupcy i handlowcy nadal posługiwali się arytmetyką palcową przez cały wiek X.

34. Liczby były reprezentowane przez litery, ale nie w porządku alfabetycznym. System ten nazywał się huruf al jumal, co oznacza „litery do kalkulacji”, lub również ab jad, które to litery oznaczają pierwsze cztery liczby (1 = a, 2 = b, j = 3, d = 4).

35. System majów

36. MAJOWIE Na terytorium dzisiejszego Meksyku, Gwatemali, Salwadoru i Hondurasu rozwinęła się cywilizacja Majów. Zajmowali się oni przede wszystkim uprawą kukurydzy, a ziemię użyźniali za pomocą popiołów powstających po wypalaniu lasów. Nie znali koła i posługiwali się kamiennymi narzędziami. Nie używali także metalowych narzędzi, ani nie hodowali zwierząt jucznych oraz pociągowych. Mimo to cywilizacja majów pozostawiła po sobie niezwykłe osiągnięcia.

37. MAJOWIE

38. OSIĄGNIĘCIA MAJÓW We współczesnej nauce Majowie zyskali przydomek Greków Nowego Świata. Jest to wynikiem ich osiągnięć, które do dziw budzą podziw. Od I tysiąclecia n.e. posługiwali się własnym pismem hieroglificznym. Dzięki temu utrwalili swoje dokonania i stworzyli wiele dzieł z zakresu matematyki, religii i astrologii. Z zachowania zapisów można dowiedzieć się, że na podstawie ruchu gwiazd ustalili długość roku słonecznego. Ich obliczenia były dużo dokładniejsze niż te, które stosowano w kalendarzu juliańskim, używanym wówczas w Europie.

39. Ruiny świątyni Słońca i pałacu w Plenque Uxmal – miasto Majów

40. OSIĄGNIĘCIA MAJÓW Ponad to wprowadzili do wymyślonego przez siebie systemu liczenia cyfrę zero. Na tle innych ludów Ameryki wyróżniały ich także wspaniałe malarstwo oraz architektura. Majowie nie utworzyli nigdy jednolitego imperium. Ich kraj podzielony był na kilka niezależnych miast-państw, toczących ze sobą walki i zawierających krótkotrwałe sojusze. Właśnie z powodu takiej organizacji państwa Majów oraz dzięki ich znaczącym osiągnięciom w dziedzinie nauki i sztuki niektórzy uczeni lud ten nazywają Grekami Ameryki.

41. LICZBY MAJÓW Majowie zapisywali liczby w postaci kombinacji kropek i kresek. Odpowiednio pogrupowane stanowiły (wraz z zerem) podstawowy zestaw cyfr od 0 do 19. Liczby od 1 do 4 zaznaczane były odpowiednią ilością kropek, liczba 5 poziomą kreską, liczby od 6 do 9 poziomą kreską z odpowiednią ilością kropek nad kreską, 10 oznaczano dwiema kreskami (jedna nad drugą), 11-14 dwiema kreskami ze stosowną liczbą kropek u góry, 15 trzema kreskami i wreszcie 16-19 trzema kreskami wraz z odpowiednia liczbą kropek u góry. Nowością nie jest tu rozbudowywanie zapisów „na tę samą modłę” , ale stworzenie liczb naprawdę dużych.

42. CYFRY MAJÓW

43. PRZYKŁADY WIĘKSZYCH LICZB

44. ZASADY Rozliczenie w powyższej tabeli wskazuje odstępstwo od systemu dwudziestkowego przy tworzeniu wyższych rzędów. Trzymając się ściśle zasad systemu dwudziestkowego, jednostka wyższego rzędu tun powinna wynosić 20 x uinal = 400, a nie 18 x uinal = 360. Miało to związek z kalendarzem Majów, który liczył sobie 18 miesięcy 20-dniowych oraz 5 dni dodatkowych. ,,Cyfry'' od 0 do 19 umieszczane były w odpowiednich rzędach wielkości. Zapis dokonywany był nie w kierunku poziomym (jak u większości narodów), lecz w kierunku pionowym z góry do dołu, w ten sposób, że najwyższe rzędy znajdowały się u góry, a najniższy (jednostek) na dole.

45. PRZYKŁAD Rok 1974 w zapisie Majów (jako liczba, bo Majowie posługiwali się innym kalendarzem - mieli swój własny początek ery) wyglądałby następująco: 5 x 360 = 1800 8 x 20 = 160 14 x 1 = 14 --------------------------- = 1974

46. PRZYKŁAD Rok 1839 miałby dwa warianty zapisu: 5 x 360 = 1800 4 x 360 = 1440 1 x 20 = 20 19 x 20 = 380 19 x 1 = 19 19 x 1 = 19 ---------------------- = 1839 ----------------------- = 1839

47. System egipski

48. Egipski system zapisywania liczb opierał się na liczbie 10 jako na podstawie, lecz nie był to system pozycyjny. Do oznaczania kolejnych potęg liczby 10 istniały specjalne znaki – hieroglify. System egipski

49. Znak dla 100 przedstawiał zwinięty liść palmy, zwiniętą linię do • mierzenia albo - jak niektórzy twierdzą - laskę kapłańską. • Znak dla 1000 przedstawiał kwiat lotosu, symbol Nilu. • Znakiem 10 000 jest wskazujący palec, a 100 000 - żaba. • Liczba 1 000 000 w ich pojęciu była czymś tak wielkim, jak ilość żab w błotach Nilu po jego wylewach. • Znak dla 1 000 00 przedstawia postać z podniesionymi rękoma. Jest to najprawdopodobniej obraz boga podtrzymującego sklepienie niebieskie jako symbol "wszystkiego". • Liczbę 10 000 000 oznaczano podkreślając koło. System egipski

50. Znak dla 100 przedstawiał zwinięty liść palmy, zwiniętą linię do • mierzenia albo - jak niektórzy twierdzą - laskę kapłańską. • Znak dla 1000 przedstawiał kwiat lotosu, symbol Nilu. • Znakiem 10 000 jest wskazujący palec, a 100 000 - żaba. • Liczba 1 000 000 w ich pojęciu była czymś tak wielkim, jak ilość żab w błotach Nilu po jego wylewach. • Znak dla 1 000 00 przedstawia postać z podniesionymi rękoma. Jest to najprawdopodobniej obraz boga podtrzymującego sklepienie niebieskie jako symbol "wszystkiego". • Liczbę 10 000 000 oznaczano podkreślając koło. System egipski