IZGRADNJA POJMOVA U POČETNOJ NASTAVI MATEMATIKE

1. IZGRADNJA POJMOVA U POČETNOJNASTAVI MATEMATIKE

2. GRAĐA MATEMATIKE • Matematika je znanost koja je izgrađena na zakonima i principima logike • aksiomatska građa: polazi od osnovnih pojmova koje ne definiramo i ne opisujemo, već ih smatramo intuitivno poznatima • O tim pojmovima postavljamo neke osnovne tvrdnje – aksiome, koje ne dokazujemo ni ne provjeravamo već ih uzimamo ‘a priori’ poznatima • Osnovni pojam u matematici ne mora biti isto što i osnovni pojam u nastavi matematike. Što je dob učenika niža, to je razlika izraženija • Osnovni su pojmovi za nastavu matematike geometrijska 3D tijela, a točka je izvedeni pojam; u matematici su geometrijska tijela složeni objekti, a točka koja je jednodimenzionalna je osnovni pojam.

3. Iz osnovnih se pojmova dalje definicijama izgrađuju novi matematički pojmovi • U definiciji razlikujemo pojam koji se definira „definiendum“, od pojma pomoću kojeg se definira „definiens“ • O novim se pojmovima izriču neke tvrdnje – teoremi, čija se istinitost obavezno dokazuje iz aksioma i prethodno dokazanih teorema • Iz pojedinih teorema mogu se dobivati manje tvrdnje – korolari čija istinitost slijedi direktno iz istinitosti teorema.

4. MATEMATIČKI POJAM • Pojam je misao o biti nekog stvarnog ili zamišljenog predmeta, dok je činjenica iskustveno utvrđeni objektivno postojeći odnos među predmetima, predmet ili podatak.

5. U matematici se pretežno usvajaju pojmovi, za razliku od drugih predmeta u kojima se pretežno usvajaju činjenice • Važniji matematički pojmovi su na primjer brojevi, operacije s brojevima, puno, malo, dugo, kratko, okruglo, ravno, zaobljeno; relacije-više, manje, jednako, dulje, kraće, jednake duljine,…

6. SVOJSTVA (OBILJEŽJA) OBJEKTA • svaki objekt ima svojstva – ta su svojstva često matematički pojmovi • kvalitativna i kvantitativna svojstva • pretpostavka formiranja matematičkog pojma je sposobnost razlikovanja objekta od svojstva objekta. • kvalitativna svojstva; boja, oblik, veličina, miris … kvantitativna: brojnost, više, manje…

7. POJAM BROJA • učenik može usvajati pojam prirodnog broja uočavajući objekte – skupove, i razumijevajući svojstvo tih objekata – brojnost elemenata u njima • Puno je teže shvatiti razliku između skupa i njegovog pojma brojnosti, nego razliku između skupa i njegovih kvalitativnih obilježja kao što su boja, oblik, raspored elemenata i sl. • kvalitativna se svojstva upoznaju perceptivnim putem, a brojnost isključivo misaonim aktivnostima. Učitelj treba provjeriti raspolažu li svi učenici sposobnošću razlikovanja objekta od njegova svojstva

8. FAZE INTELEKTUALNOG (KOGNITIVNOG) RAZVOJA DJETETA • Pri učenju matematike treba voditi računa o psihološkom utemeljenju procesa učenja i usvajanja osnovnih matematičkih pojmova jer o tome ovisi metodičko oblikovanje nastavnog procesa • Što je intelektualna razvijenost učenika manja, to je razina metodičke prerade sadržaja veća • Intelektualni razvoj odvija se u etapama, koje jedna drugu slijede u nepromjenjivom redoslijedu, ali svako je dijete specifično u pogledu trajanja (i početku) pojedine etape. • J. Piaget pokazao je da dijete prolazi kroz niz faza u kojima usvajaju mnoge pojmove načinom karakterističnim za dano razdoblje

9. PIAGETOVE RAZVOJNE FAZE • 1. senzorno-motoričko razdoblje (od rođenja do 18 mj) = dijete upoznaje svijet promatranjem, osjećanjem, diranjem i sl. Predmet postoji jedino ako ga može vidjeti i dodirnuti. (dijeli se na stadij refleksa-novorođrnčad; stadij percepcije- male bebe koje promatraju i slušaju…, stadij senzo-motoričke inteligencije-manipuliraju objektima iz okoline, dodiruju ih…) • 2.intuitivno razdoblje (od 18 mj. do 7g.) = pojava govora, dijete uočava sličnosti i razlike među predmetima, ali je uvjereno da je svijet onakav kako ga vidi i osjeća. Sedam razbacanih kuglica za dijete je više nego ako su skupljene na hrpu. Viđenje svijeta je egocentrično.

10. PIAGETOVE RAZVOJNE FAZE • 3. konkretno-operacijsko razdoblje (od 7 do 12g.) = sve češća primjena logike u stvarnim i zamišljenim situacijama. Dijete je sposobno logički misliti, ali uz uvjet da se mišljenje potkrepljuje perceptivnim podacima. Operativno mišljenje može ispravno funkcionirati samo ako se zasniva na aktivnostima s konkretnim objektima. Počinje shvaćati invarijantnost (nepromjenjivost) svojstava veličina i objekata (brojnost skupa se ne mijenja ako promijenimo raspored elemenata u skupu). Počinje stvarati tranzitivne zaključke (ako je A=B i B=C onda je A=C) • 4. formalno-operacijsko razdoblje (od 12g.) = sposobnost dokazivanja apstraktnih postavki i zaključivanje isključivo na temelju logike

11. TEMELJNE AKTIVNOSTI ZA USVAJANJE MATEMATIČKIH POJMOVA • Da bi dijete usvajalo početne matematičke sadržaje treba biti sposobno vršiti neke matematičke aktivnosti neophodne za usvajanje matematičkih pojmova • temeljne aktivnosti: razvijaju se i prije djetetova polaska u školu, a učitelj ih koristi da izgradi nove matematičke pojmove.

12. PRIDRUŽIVANJE • povezivanje dva objekta prema nekom zajedničkom svojstvu • objektu pridružuje isti objekt; objektu pridružuje riječ; objektu pridružuje objekt s istim svojstvom… • U pridruživanju je potrebno izabrati predmete (iskustva) s traženim svojstvom, a odbaciti one koji ga nemaju. • Npr. ovaj je predmet zelen, a ovaj ne; ovaj predmet ima oblik kvadra, a ovaj ne; ovi skupovi imaju jednako elemenata, ovi štapići imaju jednaku duljinu… • Pridruživanjem djeca uče pravilno upotrebljavati (matematički) jezik.

13. RAZVRSTAVANJE • aktivnost u kojoj se neki skup rastavlja na podskupove sa zajedničkim svojstvima (boja, veličina, oblik, brojnost i sl.) • složenija od pridruživanja iako se sve aktivnosti pridruživanja mogu proširiti na razvrstavanje. • važno je razumjeti načelo po kojem se predmeti razvrstavaju. • Npr. predmete nekog skupa treba razvrstati po jednom ili više svojstava

14. SPARIVANJE • pridruživanje „jedan na jedan“ - funkcija • koriti se kod kvantitativnih usporedbi (čega ima više, studenata ili stolica?) • aktivnost važna za razumijevanje brojeva • Uspoređujući dva skupa ne moramo brojati njihove elemente, već ih sparujemo.

15. NIZANJE • uvođenje reda (redoslijeda) među elemente nekog skupa • Izgrađuju se pojmovi prvi, do, ispred, iza, između, posljednji i sl. • uočava se uzorak po kojem se elementi nižu (pravilnosti ponavljanja, od najvećeg prema najmanjem…)

16. USVAJANJE APSTRAKTNIH MATEMATIČKIH SADRŽAJA • Matematika je apstraktna znanost, njeni su pojmovi apstraktni. • maleno dijete upoznaje svijet tako da gleda, osjeća i ispituje fizičke predmete. Uskoro počinje prepoznavati riječi kojima te predmete označavamo (izgovorena riječ je apstrakcija stvarnosti), a kasnije počinje prepoznavati i slike tih predmeta. Na kraju prepoznaje pismene znakove kojima ih prikazujemo (npr. napisanu riječ koja predstavlja pojam ili simbol) • Slično se razvijaju i djetetova matematička iskustva

17. SLIJED USVAJANA MATEMATIČKIH POJMOVA • I – iskustvo fizičkih predmeta • G – govorni jezik kojim opisuje iskustvo • S – slike koje prikazuju iskustvo • Z – pisani znakovi koji prikazuju iskustvo • Svako učenje matematike u nižim razredima mora krenuti od I – iskustva i G – govornog jezika. Tek poslije dolaze slike S (u udžbeniku) i učenje znakova Z. • Usvajanje apstraktnih sadržaja odvija se u I-G-S-Z slijedu.