1 / 108

MATEMATIKA EKONOMI

MATEMATIKA EKONOMI. yenny_khairina@yahoo.com. FUNGSI. JENIS-JENIS FUNGSI. FUNGSI. FUNGSI NON ALJABAR ATAU TRANSSEDEN. FUNGSI ALJABAR. FUNGSI IRRASIONAL. FUNGSI RASIONAL. FUNGSI EKSPONEN FUNGSI LOGARITMA FUNGSI TRIGONOMETRI FUNGSI HIPERBOL. FUNGSI POLINOM FUNGSI LINIER

vanida
Download Presentation

MATEMATIKA EKONOMI

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. MATEMATIKA EKONOMI yenny_khairina@yahoo.com

  2. FUNGSI

  3. JENIS-JENIS FUNGSI FUNGSI FUNGSI NON ALJABAR ATAU TRANSSEDEN FUNGSI ALJABAR FUNGSI IRRASIONAL FUNGSI RASIONAL FUNGSI EKSPONEN FUNGSI LOGARITMA FUNGSI TRIGONOMETRI FUNGSI HIPERBOL FUNGSI POLINOM FUNGSI LINIER FUNGSI KUADRAT FUNGSI KUBIK FUNGSI BIKUADRAT FUNGSI PANGKAT

  4. FUNGSI IRRASIONAL : Y = ( 1 + 2X – 3X2 + 4X3 + … + 12X11) 1/11 FUNGSI POLINOM : Y = 1 + 2X – 3X2 + 4X3 + …+ 12X11 FUNGSI LINIER : Y = 1 + 2X FUNGSI KUADRAT : Y = 1 + 2X – 3X2 FUNGSI KUBIK : Y = 1 + 2X – 3X2 + 4X3 FUNGSI PANGKAT : Y = X n , n = bulatpositif FUNGSI EKSPONEN : Y = 2 X FUNGSI LOGARITMA : Y = n Log X FUNGSI HIPERBOLA : Y = X n , n = riilnegatif

  5. PENERAPAN FUNGSI LINIER Fungsi linier merupakansuatufungsi yang sangatseringdigunakanolehparaahliekonomidanbisnisdalammenganalisadanmemecahkanmasalah-masalahekonomi. Hal inidikarenakanbahwakebanyakanmasalahekonomidanbisnisdapatdisederhanakanatauditerjemahkankedalam model yang berbentuk linier.

  6. Beberapapenerapanfungsi linier dalambidangekonomidanbisnisantara lain : a. Fungsipermintaan, fungsipenawarandankeseimbanganpasar b. KeseimbanganPasarduaMacamProduk c. PengaruhPajakdanSubsiditerhadapKeseimbanganPasar. d. Fungsibiaya, fungsipendapatandanAnalisisPulangPokok(BEP=Break Even Point) e. FungsiKonsumsidan Tabungan f. Model PenentuanPendapatanNasional

  7. Y Y X X KEMIRINGAN DAN TITIK POTONG SUMBU 0 0 (a) Kemiringan positif (b) Kemiringan negatif Y Y Kemiringan (slope) darifungsi linier dengansatuvariabelbebas X adalahsamadenganperubahandalamvariabelterikat (dependent) dibagidenganperubahandalamvariabelbebas (independent). Dan biasanyadilambangkandenganhurufm. Jadi, ΔY Y2 – Y1 Kemiringan = m = atau ΔX X2 – X1 X X 0 0 (c) Kemiringan nol (d) Kemiringan tak tentu

  8. BENTUK UMUM FUNGSI LINIER Y=a0 + a1X di mana a1 ≠ nol. Bentukinidisebutsebagaibentukkemiringan-titikpotong (slope-intercept). Bentuksepertiinibiladilihatdariletakkeduavariabel X dab Y, dapatdisebutsebagaieksplisit, dimanavariabelbebas X danvariabelterikat Y salingterpisaholehtandasamadengan (=)

  9. MENENTUKAN PERSAMAAN GARIS Y – Y1 Y2 – Y1 = X – X1 X2 – X1 Y Metode Dua Titik A (X2, Y2) A (X1, Y1) A (X, Y) X 0

  10. Persamaan garis Y = 4x - 10 ini grafiknya ditunjukkan oleh gambar 4.3. Menentukanpersamaangaris yang melaluititik (3, 2) dan (4,6) Penyelesaian : X1 = 3, X2 = 4, Y1 = 2, dan Y2 = 6 Y – Y1 Y2 – Y1 X – X1 X2 – X1 Y – 2 6 – 2 X – 3 4 – 3 Y – 2 = (X – 3) Y – 2 = 4 (X – 3) Y = 4 X – 12 Y = 4 X - 10 Y = Y = 4X - 10 = 6 – 2 4 – 3 X 0 1 2 3 5 (0,-10)

  11. METODE SATU TITIK DAN KEMIRINGAN Y – Y1 = m (X – X1) Contoh Carilahpersamaangaris yang melaluititik (6, 4) dankemiringannya -2/3 Penyelesaian : Diketahui (X1, Y1) = (6, 4) danm = - 2/3 Y – Y1 = m (X – X1) Y – 4 = -2/3 (X – 6) Y = -2/3X + 4 + 4 Y = -2/3X + 8 Persamaangaris Y = -2/3X + 8 inigrafiknyaditunjukkanolehgambar 4.4. Y (0,8) 8 6 Y = - 2/3 X + 8 4 2 (12,0) X 0

  12. HUBUNGAN DUA GARIS LURUS Y Y a1 ≠ b1 ao ≠ b0 a1 = b1 ao ≠ b0 X X 0 0 (a) Berpotongan (b) Sejajar Y Y a1 .b1 = -1 ao ≠ b0 a1 = b1 ao = b0 X X 0 0 (c) Berimpit (d) Tegak Lurus

  13. SISTEM PERSAMAAN LINIER 1. METODE ELIMINASI PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER  DUA PERSAMAAN DENGAN DUA VARIABEL Contoh 5.1. Carilah nilai-nilai dari variabel X dan Y yang dapat memenuhi kedua persamaan berikut ini : 3X – 2Y = 7 (5.1) 2X – 4Y = 10 (5.2) Penyelesaian : • Variabel yang akan dieliminasikan adalah variabel Y. • Karena variabel Y yang dipilih, maka Persamaan (5.1) harus dikalikan dengan konstanta 2, dan Persamaan (5.2) dikalikan dengan konstanta 1, sehingga kedua persamaan menjadi, 3X – 2Y = 7 (kalikan dengan 2), maka 6X – 4Y = 14 2X + 4Y = 10 (kalikan dengan 1), maka 2X + 4Y = 10 • Karena kedua koefisien dari variabel Y tandanya berbeda, maka harus dijumlahkan, dan menjadi, 6X – 4Y = 14 2X + 4Y = 10 + 8X + 0 = 24 X = 3 • Subtitusikan nilai X = 3 kedalam salah satu persamaan semula agar diperoleh nilai Y. Bila disubtitusikan pada Persamaan (5.1), maka akan menghasilkan, 3 (3) -2Y = 7 - 2Y = 7 – 9 Y = 1

  14. 2. METODE SUBSTITUSI Contoh 5.2. 3X – 2Y = 7 (5.1) 2X + 4Y = 10 (5.2) Misalkanvariabel X yang dipilihpadapersamaan (5.2), makaakanmenjadi, 2X = 10 – 4Y X = 5 – 2Y (koefisienvariabel X=1) KarenaPersamaan (5.2)’ yang dipilih, makasubtitusikankedalampersamaanpertama, sehinggamenjadi, 3 (5 – 2Y) – 2Y = 7 15 – 6Y – 2Y = 7 15 – 8Y = 7 -8Y = 7 – 15 Y = 1 Substitusikannilai Y = 1 inikedalamsalahsatupersamaanmula-mula, misalkanPersamaan (5.1)’, sehinggamemperolehhasil, 3X – 2 (1) = 7 3X = 7 + 2 X = 3 Jadi, himpunanpenyelesaian yang memenuhikeduapersamaantersebutadalahhimpunanpasanganurut (3.1).

  15. x1 x2 x x1 x2 a + a - Fungsi Kuadrat Bentukumumdarifungsikuadratadalah y = a x2 + bx + c Maka, D = b2 – 4ac Bentuk grafik dari fungsi kuadrat adalah PARABOLA

  16. Titik Ekstrem Parabola Titik Maksimum dan titik Minimum FungsiMaksimum dan minimum fungsi sangat ditentukan oleh nilai dari a y =a x2 + bx + c Titik Maksimum didapat jika a , dan titik maksimumnya Titik Miminum didapat jika a , dan titik minimumnya x1 x2 x x1 x2 a - a + Titik x1,2 dapat dicari dengan:

  17. Posisi Parabola Jika D , maka parabola memotong sb x pada titik (x1,0) dan (x2,0) x1 x2 x x1 x2 a + a - Jika D = 0 , maka parabola menyinggung sb x pada titik -b/2a x x -b/2a a - a + x Jika D , maka parabola TIDAK memotong sb x x a + a - Definit Positif Definit Negatif

  18. FUNGSI PERMINTAAN Qdx,t = ƒ (Px,t, Py,t, Yt, PeX,t+1,St) Dimana Qdx,t = Jumlah produk X yang dibeli/diminta oleh konsumsi dalam periode t. Px,t = Harga produk X dalam periode t. Py,tt = Harga produk yang saling berhubungan dalam periode t. Yt = Pendapatan konsumen dalam periode t. Pex,t+1 = Harga produk X yang diharapkan dalam periode mendatang t + 1. St = Selera dari konsumen pada periode t. Qdx =ƒ(Px) Bila fungsi permintaan ini ditranformasikan kedalam bentuk persamaan linier, maka bentuk umumnya adalah, Qx = a – bPx Dimana Qx = Jumlah produk X yang diminta Px = Harga produk X a dan b = Parameter P (0,P) Qd = a - bp (Q,0) X 0

  19. Hukum Permintaan • Fungsi permintaan menunjukkan hubungan antara jumlah produk yang diminta oleh konsumen dengan harga produk. Di dalam teori ekonomi dijelaskan bahwa jika harga naik maka jumlah barang yang diminta turun, demikian juga sebaliknya bahwa jika harga turunmaka jumlah barang yang diminta naik, sehingga grafik fungsi permintaan mempunyai slope negatif (miring ke kiri)

  20. Notasi fungsi permintaan akan barang x adalah: P Qx = f (Px) Qx = a – b Px a/b Qd = a - bP dimana: Qx= Jumlahproduk x yang diminta Px= Hargaproduk x a dan b = parameter Qd b 0

  21. Contoh SuatuprodukjikaharganyaRp. 100 akanterjual 10 unit, danbilaharganyaturunmenjadiRp. 75 akanterjual 20 unit. Tentukanlahfungsipermintaannyadangambarkanlahgrafiknya? Penyelesaian : Diketahui: P1 = 100; P2 = 75; Q1 = 10; Q2 = 20 Q – Q1Q2 – Q1 P – P1 P2 – P1 Q – 1020– 10 P – 100 75– 100 (Q – 10) = 10/-25 (P-100) (Q – 10) = 40 – 2/5 P Q = 50 – 2/5 P atau Q + 2/5P – 50 = 0 Kurva permintaan ini ditunjukkan oleh Gambar disamping. = P (0,125) = Q = 50 – 2/5 P 100 75 50 25 (50,0) Q 0 10 20 40 50 30

  22. FUNGSI PERMINTAAN KHUSUS p p D D Q Q 0 0

  23. FUNGSI PENAWARAN Qsx,t = ƒ(Px,t , Tt , PF,t , PR,t , Pex,t+1) Dimana Qsx,t = jumlah produk X yang ditawarkan oleh produsen dalam periode t. Px,t = harga produk X dalam periode t Tt = Teknologi yang tersedia dalam periode t PF,t = harga faktor-faktor produksi dalam periode t PR,t = harga produk lain yang berhubungan dalam periode t Pex,t+1 = harapan produsen terhadap harga produk dalam perideo t + 1 Qsx = g (Px) Dimana Qsx = jumlah produk X yang ditawarkan oleh produsen Px = Harga produk X Qsx = a + bP P S Qs = a + bP - a/b Q 0

  24. Hukum Penawaran • Fungsipenawaranmenunjukkanhubunganantarajumlahproduk yang ditawarkanolehprodusenuntukdijualdenganhargaproduk. Di dalamteoriekonomidijelaskanbahwajikaharganaikmakajumlahbarang yang ditawarkanbertambah, demikianjugasebaliknyabahwajikahargaturunmakajumlahbarang yang ditawarkanturun, sehinggagrafikfungsipermintaanmempunyaislope positif (miring kekanan)

  25. Notasifungsipenawaranakanbarangx adalah: Qx= f (Px) Qx= -a + b Px P dimana: Qx= Jumlahproduk x yang ditawarkan Px= Hargaproduk x a dan b = parameter Qs = -a + bP a/b Qd -a 0

  26. Contoh Jika harga suatu produk adalah Rp. 500, maka jumlah yang akan terjual sebanyak 60 unit. Bila harganya meningkat menjadi Rp. 700, maka jumlah produk yang terjual sebanyak 100 unit. Tunjukkanlah fungsi penawarannya dan gambarkanlah dalam satu diagram Penyelesaian : Diketahui: P1 = 500; P2 = 700; Q1 = 60; Q2 = 100 Q – Q1Q2 – Q1 P – P1 P2 – P1 Q – 60100– 60 P – 500 700– 500 (Q – 60) = 40/200 (P-500) (Q – 60) = -100 +1/5 P Q = -40 + 1/5 P atau Q + 1/5P + 40 = 0 Kurvapermintaaniniditunjukkanoleh Gambar = P (0,125) = 700 600 500 (60, 500) 400 Q = -40 + 0,2P 300 200 (50,0) 100 Q 0 20 40 60 80 100

  27. FUNGSI PENAWARAN KHUSUS p p S S Q Q 0 0

  28. p Qs Pe E (Qe, Pe) Qd Q Qe 0 KESEIMBANGAN PASAR SATU MACAM PRODUK

  29. Contoh Jika fungsi permintaan dan penawaran dari suatu barang ditunjukkan oleh : Qd = 6 – 0,75 P Qs = -5 + 2P • Berapa harga dan jumlah keseimbangan pasar? • Tunjukkanlah secara geometri keseimbangan pasar tersebut!

  30. Penyelesaian: a) Syarat keseimbangan Qd = Qs Bila Qd = Qs, maka 6 – 0,75P = -5 + 2P -2,75P = -11 P = 4 Untuk memperoleh nilai Q substitusikan nilai P = 4 kedalam salah satu persamaan permintaan atau penawaran sehingga, Q = 6 – 0,75 (4) Q = 6 – 3 Q = 3 Jadi, harga dan jumlah keseimbangan E(3,4). b) Menggambarkan keseimbangan pasar : Untuk fungsi permintaan Q = 6 – 0,75 P Jika P = 0, maka Q = 6, sehingga titik potong dengan sumbu Q adalah (6,0) Jika Q = 0, maka P = 8, sehingga titik potong dengan sumbu P adalah (0,8) Untuk fungsi permintaan Q = -5 + 2P Jika P = 0, maka Q = -5, sehingga titik potong dengan sumbu Q adalah (-5,0) Jika Q = 0, maka P = 2,5, sehingga titik potong dengan sumbu P adalah (0,5/2)

  31. p (0, 8) 8 7 Qs = -5 + 2P 6 5 E (3, 4) 4 3 Qd = 6 – 0,75P 2,5 2 1 (6, 0) Q 0 1 2 3 4 5 6 Grafik keseimbangan pasar ini ditunjukkan oleh Gambar

  32. Fungsi Kuadrat pada Fungsi Permintaan dan Penawaran P P Q Q

  33. P Ps 2 Q -2 -1 1 2 0 -2 Pd Latihan Tentukan titik keseimbangan pasar dan gambarkan grafiknya dari fungsi-fungsi permintaan dan penawaran berikut: • Pd = -Q2 + Q + 2 dan Ps = Q2 + Q - 2 Jawab:

  34. KESEIMBANGAN PASAR DUA MACAM PRODUK

  35. Notasi fungsi permintaan menjadi: Qdx = a0 - a1Px + a2Py Qdy = b0+ b1Px - b2Py Sedangkan fungsi penawarannya: Qsx= -m0 + m1Px + m2Py Qsy= -n0 + n1Px + n2Py Dimana: Qdx= Jumlah yang diminta dari produk X Qdy= Jumlah yang diminta dari produk Y Qsx= Jumlah yang ditawarkan dari produk X Qsy= Jumlah yang ditawarkan dari produk Y Px= Harga produk X Py = Harga produk Y a0,b0,m0,n0 = konstanta

  36. SYARAT KESEIMBANGAN PASAR DICAPAI JIKA: Qsx = Qdx dan Qsy = Qdy Contoh : Qdx = 5 -2Px + Py Qdy = 6 + Px – Py dan Qsx = -5 + 4Px - Py Qsy = -4 - Px + 3Py Carilah harga dan jumlah keseimbangan pasar

  37. Penyelesaian: • Dan (2) • 6Px – 2Py = 10 • - Px + 2Py = 5 Syarat keseimbangan pasar : Qsx = Qdx -5 + 4Px – Py = 5 - 2Px + Py 4Px + 2Px – Py – Py = 5 + 5 6Px – 2Py = 10 …(1) Qsy = Qdy -4 – Px + 3Py = 6 + Px – Py -Px – Px + 3Py + Py = 6 + 4 -2Px + 4Py = 10 - Px + 2Py = 5 …(2) 5Px = 15 Px = 3 Py = 4 Qsx = 3 Qsy = 5 MEx = ( 3, 3 ) MEy = ( 5, 4 )

  38. KESEIMBANGAN PASAR (FUNGSI KUADRAT) Contoh : Carilah secara aljabar dan geometri harga dan jumlah keseimbangan dari fungsi permintaan dan penawaran berikut ini : Pd = 24 – 3Q2 Ps = Q2 + 2Q + 4 Penyelesaian : Syarat keseimbangan pasar adalah Pd = Ps

  39. 24 – 3Q2 = Q2 + 2Q + 4 4Q2 + 2Q - 20 = 0 Substitusikan nilai Q yang memenuhi ke dalam salah satu persamaan permintaan penawaran, sehingga diperoleh nilai P, yaitu P = 24 – 3(2) P = 24 – 12 = 12

  40. P Jadi, jumlah dan harga keseimbangan pasar adalah E (2,12). Selanjutnya, berdasarkan fungsi permintaan Pd = 24 – 3 Q2 dan fungsi penawaran Ps = Q2 + 2Q + 4, maka gambar dari keseimbangan pasar dapat digambarkan seperti dibawah. s P =q2 + 2Q + 4 24 (3,19) 20 16 12 E (2,12) 8 P =24 – 3Q 4 Q 0 2,83 1 2

  41. PENGARUH PAJAK DAN SUBSIDIPADA KESEIMBANGANPASAR Adanya pajak yang dikenakan pemerintah atas penjualan suatu barang akan menyebabkanprodusen menaikkan harga jual barang tersebut sebesar tarif pajak per unit (t), sehingga fungsipenawarannya akan berubah yang pada akhirnya keseimbangan pasar akan berubah pula. Fungsi penawaran setelah pajak menjadi: Ps = f ( Q ) + t Qs = f ( P ) – t

  42. Pengaruh Pajak Terhadap Keseimbangan Pasar KeseimbanganSebelumPajak (tax) Pd = Ps KeseimbanganSetelahPajak (tax) Pd = Ps + tax P Demand St (Qt,Pt) S Pt (Q,P) P Qd,Qs 0 Qt Q

  43. Penyelesaian a. Keseimbangan pasar sebelum kena pajak: Pd = Ps 15 – Q = 0,5Q + 3 15 – 3 = 0,5Q + Q Q = 8 P = 7 ME = ( 8, 7 )

  44. Fungsi penawaran setelah pajak: P = 0,5Q + 3 + 3 P = 0,5Q + 6 Keseimbangan pasar setelah pajak : sehingga keseimbangan pasarsetelah pajak: Pd = Pst Keseimbangan pasar setelah pajak : 15 – Q = 0,5Q + 6 15 – 6 = 0,5Q + Q Q = 6 P = 9 ME t = ( 6, 9 )

  45. b. Besar pajak per unit yang ditanggung konsumen, sebesar selisih harga keseimbangan setelah pajak dengan harga keseimbangan sebelum pajak yaitu: 9 - 7 = 2 per unit. ME t = ( 6, 9 ) ME = ( 8, 7)

  46. c.Besar pajak per unit yang ditanggung produsen, sebesar selisih tarif pajak per unit yang dikenakan dengan besar pajak per unit yang ditanggung konsumen, yaitu: 3 - 2 = 1 per unit. ME t = ( 6, 9 )

  47. P P = 0,5 Q + 6 15 St 12 S Et (6, 9) 9 P = 0,5 Q + 3 E (8, 7) 6 P = 15 - Q 3 Q 0 6 8 2 4 10 12 14 15 Grafik keseimbangan pasar setelah kena pajak ini ditunjukkan oleh Gambar :

  48. PENGARUH PAJAK-PROPORSIONAL TERHADAP KESEIMBANGAN PASAR PajakProporsionalialahpajak yang besarnyaditerapkanberdasarkanpersentasetertentudarihargajual; tidaksepertipajakspesifik. JikapersamaanpenawaransemulaP = a + bQ(atau Q = -a/b + 1/b P); Dikenakanpajakproporsionalsebesart% darihargajual; Persamaanpenawaran yang baruakanmenjadi : P = a + bQ + tP t : pajakproporsionaldalam % P – tP = a + bQ (l – t)P = a + bQ

  49. Contoh Diketahui : permintaan; P = 12 – Q penawaran; P = 2 + 0,25 Qt = 20% Ditanyakan : berapa P dan Q keseimbangan sebelum dan sesudah pajak…? Penyelesaian : Sebelum pajak, Pe = 4 dan Qe = 8, Sesudah pajak, fungsi permintaan tetap P = 15 – Qatau Q = 15 – P. Fungsi penawaran sesudah pajak (t = 20% ): P = 2 + 0,25 Q + 0,20 P 0,8P = 2 + 0,25 Q Keseimbangan Pasar : Pd = Ps Keseimbangan sesudah pajak: Q’e = 7,24 dan P’e = 127,24 = 4,76 Pajak diterima pemerintah dari setiap unit barang : T=t x P’e = 0,20  7,24 = 1,45

More Related