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ME623A Planejamento e Pesquisa. Experimentos Fatoriais. 6.1 Algumas Definições e Princípios Básicos Experimentos que envolvem dois ou mais fatores Permitem investigar o efeito de cada fator na variável resposta, assim como o efeito de interações entre eles
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Experimentos Fatoriais 6.1 Algumas Definições e Princípios Básicos • Experimentos que envolvem dois ou mais fatores • Permitem investigar o efeito de cada fator na variável resposta, assim como o efeito de interações entre eles • É o tipo de delineamento mais eficiente para esse tipo de experimentos • Cada repetição completa do experimento permite investigar todas as possíveis combinações dos níveis dos fatores
Experimentos Fatoriais • Exemplo: temos aníveis do fator A e bníveis do fator B, então cada repetição terá abtratamentos • Fatores arranjados num experimento fatorial são ditos serem cruzados Fator A 1, 2, ..., a Fator B 1, 2, ..., b ab tratamentos
Experimentos Fatoriais Definições • Efeito principal de um fator: é a mudança na variável resposta produzida pela mudança no nível do fator Refere-se aos fatores primários de interesse • Interação: ocorre quando a diferença na resposta entre os níveis de um fator não é a mesma em todos os níveis do outro fator
Experimentos Fatoriais • Exemplo I: Temos dois fatores (A e B) e cada fator apresenta dois níveis, alto (+) e baixo (−) Efeitos Principais Efeito de A em cada nível de B A = 40 – 20 = 20 (B–) A = 52 – 30 = 22 (B+)
Experimentos Fatoriais • Exemplo II: Considere o mesmo cenário, mas note que os valores observados são diferentes Efeito de Aem cada nível de B A = 50 – 20 = 30 (B–) A = 12 – 40 = –28 (B+) Aqui, o efeito de A depende do nível de B escolhido. Portanto, existe interação entre A e B. A magnitude da interação é:
Exemplo I: Interação ou Não? Linhas aproximadamente paralelas: não temos indicação de interação entre A e B
Exemplo II: Interação ou Não? Linhas não paralelas: indicação de interação entre A e B
Vantagens dos Experimentos Fatoriais • Pode-se estudar os efeitos de dois ou mais fatores simultaneamente e as interações entre os eles • São mais eficientes que os experimentos “um fator por vez” • Necessário quando existe interação entre os fatores • Permite estimar os efeitos de um fator dentro dos níveis do outro fator, resultando em conclusões mais abrangentes
Experimentos Fatoriais com Dois Fatores • É o tipo mais simples dos experimentos fatoriais • Existem aníveis do fator A e bníveis do fator B • Cada replicação do experimento contém todas as abcombinações de tratamentos • Em geral, temos n replicações • Exemplo:uma pesquisadora deseja produzir um novo tipo de vinagre a base de kiwi. Os fatores em estudo foram: • Fator A: quantidade de açúcar (a=2 níveis: 8% e 20%) • Fator B: adição de nutrientes (b=2 níveis: com e sem) • n = 7 repetições 4 x 7 = 28 unidades experimentais • variável resposta: concentração de etanol
Fatoriais com Dois Fatores: Exemplo • Projeto de uma bateria: um engenheiro está projetando uma bateria para usar em um certo dispositivo • Fatores em estudo Fator A: material (tipos 1, 2 e 3) Fator B: temperatura (15oF, 70oF e 125oF) • 4 baterias são testadas para cada combinação de material e temperatura, num total de 36 baterias, testadas em ordem aleatória • Delineamento experimental: inteiramente aleatorizado
Exemplo Bateria • O engenheiro quer responder as seguintes perguntas: • Qual o efeito do tipo de material e temperatura na vida das baterias? • Existe um material que produz uma bateria com vida mais longa independente da temperatura? • Nota: como existem dois fatores com três níveis cada, esse experimento é chamado de Fatorial 32
Modelo Estatístico – Efeitos Fixos • As observações podem ser descritas pelo modelo: • Restrições:
Hipóteses de Interesse • Ambos os fatores A e B são de igual interesse • Queremos testar a igualdade dos efeitos dos níveis de A, ou seja, e a igualdade dos efeitos dos níveis de B: • Também estamos interessados em determinar se existe interação
Análise Estatística – Efeitos Fixos • Considere a seguinte notação:
Decomposição das Somas de Quadrados • Mostre que a SSTpode ser composta como:
Fórmulas Simplificadas para as SS • A SSTpode ser calculada como: • As soma de quadrados dos efeitos principais são: • A soma de quadrados da interação é calculada em dois passos.
Fórmulas Simplificadas para as SS • Inicialmente calculamos o que é chamado de SSSubtotais • Essa soma de quadrados também contém SSA e SSB. Então calculamos SSAB como: • Por fim, a SSE é calculada por subtração:
Exemplo Bateria - Dados • Usando os dados acima, calcule a tabela ANOVA e responda às perguntas do engenheiro
