La théorie du portefeuille

1. La théorie du portefeuille Philippe Bernard Master Ingénierie Economique Département d’Economie Appliquée Université Paris Dauphine

2. Historiquement • Avant Tobin et le théorème des deux fonds, optimisation d’un univers comprenant unique des titres risqués par Harry Markowitz • « Portfolio Selection », Journal of Finance vol.7, pp. 77-91 • Portfolio Selection : Efficient Diversification of Investments, 1959

3. Description • une technique opérationnelle pour obtenir des portefeuilles diversifiés • En arbitrant entre le rendement moyen et le risque de marché induit (volatilité du rendement du portefeuille)

4. Les inputs : • les rendements espérés des titres • leurs volatilités • les covariances • L’estimation : • souvent sur données historiques

5. Présentation formelle • Cadre et notations: • J actifs indicés j=1,…,J résumés par • le rendement espéré • la volatilité (= écart-type) • la matrice de covariance

6. Un portefeuille est défini par les parts des titres qui le composent • part du titre j • portefeuille :

7. portefeuille au sens stricte (a fully invested portfolio) sinon une source de financement supplémentaire (si >1) est nécessaire

8. Le programme d’optimisation

9. Les conditions marginales • Pour tout titre j Avec :

11. Sous forme vectorielle, les conditions marginales sont donc:

12. Le portefeuille efficient • Pour déterminer la valeur des paramètres et : • contrainte budgétaire • contrainte de rendement

13. Le portefeuille efficient (suite) Les étapes des calculs :

14. La frontière efficiente des portefeuilles • L’ensemble des couples (risque,rendement espéré) des portefeuilles efficients = la frontière efficiente des portefeuilles

16. Un exemple de frontière efficiente des portefeuilles: échantillon de 50 titres en données quotidiennes pour la France 1986-91

18. Données mensuelles américaines 1987 - 2005

22. La gestion indicielle à nouveau • Le théorème des deux fonds à la Fischer Black (1972) • Une base de deux portefeuilles (au sens stricte) • Portefeuille de variance minimale • Portefeuille maximisant le ratio de Sharpe

23. Le portefeuille de variance minimale Le portefeuille maximisant le ratio de Sharpe

25. Le portefeuille optimal comme combinaison des deux portefeuilles de la base :

26. Remarque : Les deux portefeuilles proposés définissent une des bases possibles donnant les portefeuilles efficients. De même qu’en mathématiques, il existe une infinité de base vectorielles « équivalentes », dans la théorie il existe une infinité de couples de portefeuilles permettant d’obtenir l’ensemble des portefeuilles efficients.

27. Les limites de la théorie du portefeuille • Les restrictions sur les préférences • l’importance des moments supérieures à 2 pour certains secteurs (hedge funds) • Le problème de l’extension à la dynamique • le modèle de Merton (1973)

28. Les limites de la théorie du portefeuille (suite) • Le problème essentiel pour les praticiens : • la sensibilité du choix optimal aux inputs • la concentration des portefeuilles obtenus par une estimation sur données historiques • solutions : Black & Litterman, Michaud et le boostrap, etc.