Pokročilá fyzika C803 fI Ip _06 Optika I Od Maxwellových rovnic k optice.

1. Pokročilá fyzika C803fIIp_06 Optika IOd Maxwellových rovnic k optice. http://webak.upce.cz/~stein/msfIIp06.html Doc. Miloš Steinhart, 06 036, ext. 6029

2. Hlavní body • Zobecněný Faradayův a Ampérův zákon. • Maxwellovy rovnice a Elektromagnetickévlny kvalitativně. • Vlastnosti elektromagnetických vln : • Vytváření elektromagnetických vln • Vztaha , • Rychlost světlac a přenos energie . • Závěry důležité pro (geometrickou) optiku.

3. Elektromagnetické vlny 0 Důležité vlastnosti elektrického a magnetického pole mohou být vyjádřeny čtyřmiMaxwellovými rovnicemi, vztahem pro Lorentzovu sílu, principemsuperpozicea zákonem zachovánínáboje s mnoha zajímavými důsledky z nich nejvýznamnější asi je existence elektromagnetickýchvln. Začněmě od Maxwellových rovnic

4. Zobecněný Faradayův zákon I • Z elektrostatiky si pamatujeme : • Z Faradayova zákona ale víme, že mění-li se magnetický tok v čase, je obvodu indukováno elektromotorické napětí a musí být rovno práci, vykonané elektrickým polem, která je potřebná k přenesení jednotkového náboje jednou dokola v uzavřené smyčce obvodu.

5. Zobecněný Faradayův zákon II • Tuto skutečnost snadno odvodíme z : • Dosadíme-li za indukované napětí Uz Faradayova zákona, obdržíme obecný vztah : • Integrace musí být uskutečněna vkladném smyslu proti směru hodinových ručiček!

6. Zobecněný Faradayův zákon III • Křivkový integrál může být vyčíslen po každéuzavřené křivce v jakékolilátce a samozřejmě ivevakuu. • Uvažujeme změnutokuplochouohraničenou naší integračnícestou. • Mění-li se tok v čase, není již elektricképolekonzervativní. Jinak by byl křivkový integrál po libovolné uzavřené křivce nulový, jako tomu bylo v elektrostatice

7. *Zobecněný Faradayův zákon IV • Mějme magneticképoles nenulovou složkoukolmou k nákresně a předpokládejme, že tokjistou pevnou smyčkou roste.Potom: • Znamená to, že intenzita elektrického pole musí být orientována v záporném smyslu, což je v souladu s Lenzovým zákonem. • Pozor! Záleží jennasměru změnymagnetické indukce, ale neo jejím absolutnímsměru.

8. Zobecněný Ampérův zákon I • Víme, žekřivkový integrál magnetické indukcepřes libovolnou uzavřenoukřivku závisí na celkovémproudu, který tato křivka obtáčí. • Platí to ale zcela obecně? • Experimentukazuje, že v okolí nabíjejícího se kondenzátoru existuje magnetické pole, jako by jím protékal proud.Náboje ale za normálních podmínek procházet prostorem mezi elektrodami kondenzátoru nemohou!

9. Zobecněný Ampérův zákon II • Je-li teorie v rozporu s experimentem, musí se zdokonalit nebo změnit tato teorie! • Proto musíme přijmout fakt, žecokoli se v nabíjejícím se kondenzátoru odehrává, se chová jako proud. Je to nový druh proudu, který nemůže být určitě spojen s pohybem náboje.

10. Zobecněný Ampérův zákon III • To, co se mění v nabíjejícím nebo vybíjejícím se kondenzátoru je samozřejmě elektrické pole. Definujeme tedy nový druh proudu - proud posuvný, který přiřazujeme časovézměnětokuelektrickéintenzity. • Obtáčeníznamená totéžjako v předchozím případě Faradayovazákona:

11. Zobecněný Ampérův zákon IV • Doposud, když jsme používali Ampérův zákon, integrovali jsme podél kruhové cesty a uvažovali jsme celkový proud, který protékal kruhovouplochou, kterou smyčka obtáčela. • Obecně můžeme uvažovat uzavřenou křivku jakéhokoli tvaru vedenou po povrchu libovolné uzavřenéplochy a dělící ji tedy nadvěčásti. libovolného tvaru. Do křivkového integrálu se počítají jen proudy, které vstoupí v jedné části a vystoupí v druhé.

12. Zobecněný Ampérův zákon V • Skutečnost, že některá s těchto uzavřených ploch může procházet mezideskamikondenzátoru, znamená, že to, co procházíplochoumezi těmito deskami, musí být ekvivalentní elektrickému proudu. Protože nás zajímá elektrické pole, procházející plochou, zajímá nás vlastně tokelektrickéintenzity. • Integraci musíme opět provádět vkladném smyslu.

13. Zobecněný Ampérův zákon VI • Existence posuvného(Maxwellova) proudu znamená důležitousymetrii mezi elektrickým a magnetickým polem. Na jedné straně časové změnymagnetického pole produkují pole elektrické a na druhé časové změny pole elektrickéhoprodukují pole magnetické! • Díky této symetrii existují elektromagnetickévlny i MY!

14. Zobecněný Ampérův zákon VII • Posuvný proud u deskového kondenzátoru lze snadno odvodit ze vztahu pro jeho kapacitu a z definice proudu: Q = CU = (0S/d)(Ed) = 0SE I = dQ/dt = d(0SE)/dt = 0 de/dt • Tento závěr platí obecně a proto musí mít Ampérův zákon k členu, který známe, ještě další člen:

15. ZobecněnýAmpérův zákonVIII • Vezmeme-li v úvahu vztah : • můžeme nakonec psát :

16. *Zobecněný Ampérův zákon IX • Když napříkladnabíjíme (deskový) kondensátor ze zdroje napětí U0 , přes rezistorR, klesá proud exponenciálně z počáteční hodnoty I0 = U0/R a :

17. *Zobecněný Ampérův zákon X • Předchozího užijeme k zjištění magnetické indukceBvně kondenzátoru ze zobecněného Ampérova zákona : Je tedy přesně rovna indukci v blízkosti vodiče, který kondenzátor napájí.

18. Maxwellovy rovnice I • Nyní jsme připraveni napsat Maxwellovy rovnice. • Tyto rovnice existují v několika verzích a úrovních obecnosti. Pro pochopení fyzikálního smyslu stačí pracovat s jednoduššími Maxwellovými rovnicemi v integrálnímtvaru, platnými pro vakuum.

19. Maxwellovy rovnice II

20. Maxwellovy rovnice III • První rovnice je Gaussova věta, kterou známe z elektrostatiky, říká, že : • Existují zdroje elektrického pole – náboje. • Jsou-li náboje přítomny, začínají elektrické siločáry vkladných nábojích (nebo nekonečnu) a končív nábojích záporných(nebo nekonečnu). • Pole bodového náboje klesá jako1/r2.

21. Maxwellovy rovnice IV • Druhá rovnice je Faradayův zákon elektromagnetickéindukce, který říká, že : • Elektrické pole může vznikat také časovou změnou pole magnetického. V tomto případě neníkonzervativní a jeho siločáry jsou uzavřené křivky. • Není-li přítomno časově proměnné magnetické pole, je elektrické pole konzervativní a existuje v něm skalárnípotenciál.

22. Maxwellovy rovniceV • Třetí rovnice je Gaussova věta magnetismu, která říká, že : • Neexistují oddělené zdroje magnetického pole – magnetické monopóly. • Magnetické siločáry jsou uzavřenékřivky. • Pole proudového elementu klesá jako 1/r2.

23. Maxwellovy rovniceVI • Čtvrtá rovnice je zobecněnýAmpérův zákon, který říká, že: • Magnetické pole je vytvářeno buď proudy nebo časovými změnamielektrickéhopole. • Magnetickésiločáry jsou uzavřenékřivky.

24. Maxwellovy rovniceVII • V M. rovnicích a rovnici proLorentzovusílu je veškerá informace o elektromagnetismu. • Z těchto rovnic vyplývá mnoho zajímavých důsledků, z nichž některé byly předpověděny: • Existuje jednoelektro-magnetické pole. Pouze ve speciálním statickém případě není první dvojice rovnic propojena s druhou a elektrostatické a magnetostatické pole mohou být uvažována zvlášť. • Existujíelektromagnetické vlny. • Existují další možné verze Maxwellových rovnic.

25. Rovinné elektromagnetické vlny • Důležitým řešenímMRjsourovinnélineárně polarizované. Pohybují-li se ve směru +x, rychlostí c, mohou být el. na mag. pole popsána : E = Ey =E0sin(kx - t) B = Bz =B0sin(kx - t) • E a Bjsou ve fázi • vektory, , tvořípravotočivý systém • pozor na polarizaci • vlnové číslo :k = 2/ • úhlová frekvence :  = 2/T = 2f • rychlost vlny : c = f =  /T = /k

26. Vytváření elektromagnetických vln • Protože měnící se elektrické pole vytváří pole magnetické a naopak, jsou-li jednou taková pole vytvořena, existujídálnezávisle a šíří se od svého zdroje rychlostísvětladoprostoru. • Můžeto být ilustrovánona jednoduché dipólové anténě a střídavémgenerátoru. • Planárnívlny existují jen daleko (ve srovnání s vlnovou délkou) od antény, kde vymizí rychle klesající dipólové pole.

27. Vztah a I • Všechny vlastnosti elektromagnetických vln mohou být vypočteny jako obecnářešení Maxwellových rovnic. • Tento postup vyžaduje dobře ovládat složitý matematický aparát a není příliš ilustrativní. • Zde ukážeme hlavní vlastnosti vln na speciálním případě vln rovinných a řekneme, co může být zobecněno.

28. Vztah a II • Mějmelineárně polarizovanourovinnou vlnu: • v prostoru, kde nejsou volné náboje ani proudy • která se šíří ve směru +x • elektrické pole má nenulovou jen složku y • a tedy magnetické pole má nenulovou jen složku z • která nemusíbýt nutně harmonická • Nalezneme vztahy mezi časovými a prostorovými derivacemi E a B, které plynou z Maxwellových rovnic ve speciálním případě bez nábojů a proudů:

29. Maxwellovy rovnice v oblasti bez nábojů a proudů

30. Vztah a III • Použijme nejprve Faradayůvzákon: • Křivkový integrál elektrické intenzity v kladnémsměru kolem malého obdélníkaydx ≡ hdxvrovině xy je roven záporně vzaté změně magnetickéhotoku tímto obdélníkem. Po úpravě :

31. Vztah a IV • Podobně použijeme Ampérův zákon: • Křivkový integrál magnetické indukce v kladnémsměru kolem maléhoobdélníkazdx≡ hdxvrovině xz je roven změně elektrickéhotoku tímto obdélníkem.Po úpravě:

32. Vztah a V • Všimněme sisymetrietěchto rovnic : • Tam, kde Bklesá v čase, roste Evx a tam, kde Eklesá v čase, roste Bvx. • Pro výchylku vlny obecně platí, že tam, kde klesá v čase, roste v souřadnici. • Proto musí být E a Bve fázi.

33. Obecné harmonické vlnyI • Vlny existují zpravidla v elastickém prostředí a jsou charakteristické tím, že přenášíenergii(nebo informaci), ale nehmotnost. • Výchylku rovinné harmonické vlny, šířící se ve směru +x rychlostí c lze popsat vztahem: • má buď složku x v případě podélného nebo y neboz v případě vlnění příčného. Dále uvažujeme jen velikost. • v boděx je výchylka stejná jako byla v počátku před dobou, nutnou na to, aby vlna dosáhla bod x, tedy :

34. Obecné harmonické vlnyII • Výchylka je periodická v čase i prostoru : • Kde jsme použili definic úhlové frekvence, vlnové délky avlnového čísla (vektoru)

35. Vztah a VI • Vraťme se k lineárně polarizované, rovinné, příčné, harmonické vlně : E(x,t) = Ey (x,t) =E0sin(t - kx) B(x,t) = Bz (x,t) =B0sin(t - kx) • E a Bjsou ve fázi • směry +x, E a B tvořípravotočivý systém • obecně tvořípravotočivý systém vektory, ,

36. Vztah a VII • Z prvního vztahu : • Protože jsou E a Bve fázi, platí obecně: E(x, t) = c B(x, t) • Amplituda magnetickéhopole je c-krát menší než amplituda pole elektrického!

37. Vztah a VIII • Zdruhého vztahu : • Dohromady s předchozím vztahem dostáváme vztah pro rychlost c světla ve vakuu a permitivitou a permeabilitou vakua

38. Rychlost světla • Obecně lze rychlost šíření odvodit z : • Derivace (změna) první rovnice podle času, porovnaná s derivací druhé rovnice podle x poskytne obecnou vlnovou rovnici pro B. • Změna pořadí derivování poskytne vlnovou rovnici pro E.

39. Shrnutí vlastností EMA vln • Řešení Maxwellových rovnic bez proudů a nábojů vyhovuje obecnýmvlnovým rovnicím. • Ve vakuu se EMA vlny šíří rychlostí světla c = 3.108 m/s, danou vlastnostmi vakua 0a 0. • Vektory , , tvoří pravotočivý systém • Amplitudamagnetického pole je c-krát menší než amplituda pole elektrického. • Pro elektromagnetické vlny platí principsuperpozice.

40. Přenos energie I • Hustota energie EMA vln v každém okamžiku je součet hustot energie elektrického i magnetického pole: • S použitímB = E/c ac = (00)-1/2platí :

41. Přenos energie II • Porovnáním vidíme, že hustotaenergiemagnetického pole je rovna hustotě energie pole elektrického bez ohledu na nepoměramplitud polí samotných. • Každé z těchto polí tedy přispívá polovinou celkové hustoty energie. • Poměr(0/0)1/2 = 0c= 377  se nazývá impedance vakua.

42. Přenos energie III • Energie přenášená vlnou zajednotkučasu(výkon) jednotkovouplochou sepopisuje Poyntingovým vektorem, který má směršířenívlny a jednotky W/m2. • Energie, která projde za 1sekundu plochouA je rovna hustotě energie v objemu: U = uAct 

43. Přenos energie IV • Pro EMA vlny šířící se obecným směrem platí vektorová definice Poyntingova vektoru: • Pochopitelně je paralelní s . • (t) je energie proudící jistým bodem v určitém okamžiku. Obvykle nás ale zajímá intenzitazáření, což ječasovástředníhodnota<S>.

44. Přenos energieV • Pro harmonickou vlnu můžeme použít výsledek, který jsme odvodili u střídavých obvodů: • Intenzitu záření tedy můžeme vyjádřit pomocí špičkových nebo efektivních hodnot polí :

45. Tlak záření I • Přenáší-li EMA vlny energii, lze očekávat, že mají i hybnost. • Dopadnou-li vlny na určitý povrch, jsou částečněabsorbovány a částečně odraženy. Každopádně na povrch působí síla podle 2. Newtonova zákona: • Síla na jednotku plochy je tlak, zde tlak záření.

46. Tlak záření II • Lze ukázat, že p = U/c, kde jeparametr s hodnotou mezi1pro úplnouabsorpci a 2 pro úplnoureflexi. • Pro tlak platí : • Jeho velikost může být významná v mikrosvětě nebo ve vesmíru(plachtění).

47. Spektrum EMA vln • Velmirozdílnéjevy jsou způsobeny stejnými EMA vlnami ‘pouze’ s jinou frekvencí: • Radiové vlny > 0.1 m • Mikrovlny 10-1 >  > 10-3 m • Infračervené záření 10-3 >  > 7 10-7 m • Viditelné záření 7 10-7 >  > 4 10-7 m • Ultrafialové záření 4 10-7 >  > 6 10-10 m • Rentgenové záření10-8 >  > 10-12 m • Gama a kosmické záření10-10 >  > 10-14 m

48. Rozhlas aTV • Vevysílačije vlna určité nosné frekvence napřed modulována přenášeným signálem. Obvykle to bývá amplitudově AMnebo frekvenčněFM. Potom je zesílena a přes anténu vyslána do prostoru. • Přijímač musí mít anténu citlivou buď na elektrickounebomagnetickousložku vlny. • Jeho důležitou částí je ladícíobvod, v němž se vybírá správná frekvence přijímaných vln.

49. EMA záření v látkách I • Řešení MAXRje obecně složité. • V nevodivých látkách jsou řešením téžrovinné elektromagnetické vlny, šířící se rychlostí menší než ve vakuu • Poměr c/v se nazývá indexlomu.Téměř u všech dielektrik (vyjma feromagnetik) je r  1 a platí Maxwellův zákon

50. EMA záření v látkáchII plyn nexp vodík 1.00013 1.00013 vzduch 1.000294 1.000293 CO2 1.000482 1.000450 elthylén 1.000692 1.000699