BAB III MATRIKS , RELASI DAN FUNGSI

BAB III MATRIKS, RELASI DAN FUNGSI

1. MATRIKS Didalammatematikadiskrit, matriksdigunakanuntukmerepresentasikanstrukturdiskrit. Strukturdiskrit yang direpresentasikandenganmatriksantara lain relasi, grafdanpohon.

DefinisiMatriks • Matriks adalah susunan skalar elemen-elemen dalam bentuk baris dan kolom.

Beberapa matriks khusus Terdapat beberapa matriks khusus yang ditemukan dalam pembahasan matematika, antara laian : • Matriks diagonal • Matriks identitas • Matriks segitiga atas / bawah • Matriks transpose • Matriks simetri • Matriks 0/1 ( zero/one )

MatriksDiagonal • Matriks Diagonal adalah matriks bujur sangkar yang semua elemennya sama dengan nol, kecuali elemen pada diagonal utamanya. • Contoh :

Matriks Identitas • Matriks identitas, dilambangkan dengan I, adalah matriks diagonal dengan semua elemen diagonal = 1 • Contoh :

Matriks segitiga atas / bawah Contohmatrikssegitigaatas: Contohmatrikssegitigabawah :

Matriks Transpose • Jika baris dan kolom suatu matriks dipertukarkan. • Baris pertama menjadi kolom pertama • Baris kedua menjadi kolom kedua • Baris ketiga menjadi kolom ketiga, dst

Matrikssimetri • A adalahmatrikssimetrijika AT = A. • Contoh : • Matriks zero/one adalahmatriks yang mempunyaientrimatrikshanya 0 dan 1. • Contoh : Matriks zero/one

Operasi Matriks Operasiyang biasadilakukanterhadapmatriksadalah: • Operasipenjumlahan 2 buahmatriks. • Operasiperkalianmatriksdenganskalar. • Operasiperkalian 2 buahmatrik.

1. Penjumlahan 2 buah matriks

2. Perkalian 2 buahmatrik

3. Perkalian matriks dengan skalar

2. RELASI • Hubunganantaraelemenhimpunandenganelemenhimpunan lain dinyatakandenganstruktur yang disebutrelasi. • Relasiantarahimpunan A dan B disebutrelasibiner, didefinisikansebagaiberikut : Relasibiner R antara A dan B adalahhimpunanbagiandari A x B. Notasi : R  (A x B) • Contoh : Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}. Jikakitadefinisikanrelasi R dari P ke Q dengan (p, q) ∈ R jika p habismembagi q makadiperoleh R = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15)}

Definisi • Relasipadahimpunan A adalahrelasidari A x A. • Dengankata lain, relasipadahimpunan A adalahhimpunanbagiandari A x A. • Contoh : Misalkan R adalahrelasipada A = {2, 3, 4, 8, 9} yang didefinisikanoleh (x, y) ∈ R jika x adalahfaktor prima dari y. Maka R = {(2, 2), (2, 4), (2, 8), (3, 3), (3, 9)}

3. RepresentasiRelasi • Ada 4 cara yang dipakaiuntukmerepresentasikanrelasi, yaitu: • Diagram panah • Tabel • Matriks • Graf berarah

3.a. RepresentasiRelasidenganDiagram Panah Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B , gambar dua buah lingkaran lalu tuliskan elemen-elemen A dan B pada masing-masing lingkaran. Gambarkan panah dari A ke B yang menyatakan A berelasi dengan B. Contoh : Kalkulus Statistik Fisika Amir Budi Susi

3.b. RepresentasiRelasidenganTabel • Jika relasi direpresentasikan dengan tabel, maka kolom pertama tabel menyatakan daerah asal, sedangkan kolom kedua menyatakan daerah hasil.

3.c. RepresentasiRelasidenganMatriks Misalkan R adalahrelasidari A = { a, b, c,….} dan B = { 1, 2, 3, ….}. Relasi R dapatdisajikandenganmatriks M = [Mij] yang dalamhalini = 1, jika (aI , bJ) ∈ R mij = 0, jika (aI , bJ) ∉ R Contoh: Misal R adalahrelasidari A={a, b, c} dan B={ 1, 2, 3} R={(a,1),(b,2),(b,3),(c,1),(c,3)} Matriks Matriksrepresentasirelasimerupakancontohmatrikszero – one.

1 3 2 3.d. RepresentasiRelasidengan Graf Berarah. Representasirelasidengangrafberarahdigunakanuntukrelasipadasebuahhimpunan • Contoh : A = {1,2,3) R = {(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(3,1),(3,2)}

4. Sifat-sifatRelasiBiner Relasibiner yang didefinisikanpadasebuahhimpunanmempunyaibeberapasifat, yaitu : • Refleksif • SetangkupdanTolakSetangkup • Menghantar

REFLEKSIF Definisi Relasi R padahimpunan A disebutrefleksifjika (a,a)  R untuksetiap a  A Contoh: Misalkan A={1,2,3,4} Relasi R pada A: • R={(1,1),(1,3),(2,1),(2,2),(3,3),(4,2),(4,3),(4,4)}  refleksif • R={(1,1),(2,2),(2,3),(4,2),(4,3),(4,4)}  tidakrefleksif

SETANGKUP Definisi : Relasi R padahimpunan A disebutsetangkupjikauntuksemuaa,b A, jika (a,b)  R, maka (b,a)  R. Contoh: Misalkan A={1,2,3,4} R = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,4),(4,2),(4,4)}  setangkup R = {(1,1),(2,3),(2,4),(4,2)}  tidaksetangkup

TOLAK SETANGKUP Definisi : Relasi R padahimpunan A disebuttolaksetangkupjikauntuksemuaa,b A dan (a,b)  R serta (b,a)  R hanyajika a = b Contoh: Misalkan A={1,2,3,4} R = {(1,1),(2,2),(3,3)} tolaksetangkup (setangkup) R = {(1,1),(1,2),(2,2),(2,3)} tolaksetangkup (tidaksetangkup) R = {(1,1),(2,4),(3,3),(4,2)}  tidaktolaksetangkup(setangkup) R = {(1,2),(2,3),(1,3)} tolaksetangkup (tidaksetangkup)

MENGHANTAR • Definisi • Relasi R padahimpunan A disebutmenghantarjika (a,b)  R dan (b,c)  R, maka (a,c)  R, untuk a, b, c  A Contoh: Misalkan A={1,2,3,4} • R = {(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3)} menghantar • R={(1,1),(2,3),(2,4),(4,2)}  tidakmenghantar

5. RelasiInversi Misalkan R adalahrelasidarihimpunan A kehimpunan B. Inversdarirelasi R, dilambangkandengan R-1, adalahrelasidari B ke A yang didefinisikanoleh : R-1 = {(b,a) | (a,b)  R }

RepresentasiRelasiInversdenganMatriks Contoh: Misalkan P={2,3,4} dan Q={2,4,8,9,15} Relasi R dari P ke Q adalah (p,q) R jika p habismembagi q R={(2,2),(2,4),(4,4),(2,8),(4,8),(3,9),(3,15)} R-1 ={(2,2),(4,2),(4,4),(8,2),(8,4),(9,3),(15,3)} M  matriks yang merepresentasikanrelasi R N  matriks yang merepresentasikanrelasiR-1

6. Mengkombinasikan Relasi Karenarelasibinermerupakanhimpunanpasanganterurut, makaoperasihimpunanantara 2 relasiataulebihjugaberlaku. Hasiloperasitersebutjugaberuparelasi. Dengankata lain jika R1 dan R2 masing-masingadalahrelasidarihimpunan A kehimpunan B, maka R1  R2, R1  R2, R1 – R2, jugarelasidari A ke B.

ContohKombinasiRelasi • Misalkan A={a,b,c} dan B={a,b,c,d} R1={(a,a),(b,b),(c,c)} dan R2={(a,a),(a,b),(a,c),(a,d)} adalahrelasidari A ke B, kombinasikeduarelasitersebutadalah: R1∩R2= {(a,a)} R1R2= {(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(b,b),(c,c)} R1-R2 = {(b,b),(c,c)} R2-R1 = {(a,b),(a,c),(a,d)} • R1 R2= {(b,b),(c,c),(a,b),(a,c),(a,d)}

7. KomposisiRelasi Definisi Misalkan R adalahrelasidarihimpunan A kehimpunan B, dan S adalahrelasidarihimpunan B kehimpunan C. Komposisi R dan S , dinotasikandengan S o R = {(a,c)|a  A, c  C, danuntukbeberapab  B, (a,b)  R, dan (b,c)  S

ContohKomposisiRelasi Diketahui: A={1,2,3} B={2,4,6,8} C={s,t,u} Relasi A ke B  R={(1,2),(1,6),(2,4),(3,4),(3,6),(3,8)} RelasiB keC  S={(2,u),(4,s),(4,t),(6,t),(8,u)} TentukanRelasi A ke C! RelasiA ke C  SoR={(1,u),(1,t),(2,s),(2,t),(3,s),(3,t),(3,u)} Komposisirelasi R dan S

8. Relasi N-ARY Relasi n-aryadalahrelasi yang menghubungkanlebihdariduahimpunan.

9. Fungsi Definisi : • Misalkan A dan B himpunan. Relasibinerf dari A ke B merupakansuatufungsijikasetiapelemendidalam A dihubungkandengantepatsatuelemendidalam B. • Jikaf adalahfungsidari A ke B, kitamenuliskan : f : A  B , yang artinyaf memetakan A ke B.

B A B A B B A A 1 a a 1 a 1 1 a 2 2 b b 2 2 b c b c 3 3 3 c 3 d d c d 4 4 4 Fungsi pada, bukan satu ke satu Fungsi satu ke satu, bukan pada Bukanfungsi satu ke satu, maupun pada Bukanfungsi relasi

10. BeberapaFungsiKhusus Bagian ini memberikan beberapa fungsi yang dipakai di dalam ilmu komputer, yaitu fungsi : • Floor dan Ceiling • Modulo • Faktorial • Perpangkatan • Eksponensial dan Logaritmik

a. FUNGSI Floor dan Ceiling • Fungsi floor dari x dilambangkandengan x • x menyatakannilaibilanganbulatterbesar yang lebihkecilatausamadengan x. • Fungsi ceiling dari x dilambangkandengan x • x menyatakanbilanganbulatterkecil yang lebihbesaratausamadengan x. • Dengankata lain, fungsi floor membulatkan x kebawah, sedangkanfungsi ceiling membulatkan x keatas.

b. Fungsi Modulo Misalkan a adalahsembarangbilanganbulatdan m adalahbilanganbulatpositif. Fungsi modulo adalahfungsidengan operator mod, dimanaa mod mmemberikansisapembagianbilanganbulatbila a dibagidengan m. a mod m = r sedemikiansehingga a = mq + r, dengan 0  r < m Contoh : 25 mod 7 = 4 15 mod 5 = 0 3612 mod 45 = 12

c. Fungsi Faktorial Untuksembarangbilanganbulattidaknegatif n, faktorialdari n, dilambangkandengan n!, didefinisikansebagai :

d. Fungsi Eksponensial dan Logaritmik. FungsiEksponensialberbentuk : Untuk kasus Perpangkatan negatif, Fungsi Logaritma berbentuk :

BAB III MATRIKS , RELASI DAN FUNGSI