Sifat Relasi dan Konsep Fungsi

1. Kelas X SMA Oleh M ZULFIKAR M (1003095) SifatRelasidanKonsepFungsi

2. KompetensiInti • Mengembangkanperilaku (jujur, disiplin, tanggungjawab, peduli, santun, ramahlingkungan, gotongroyong, kerjasama, cintadamai, responsifdanproaktif) danmenunjukansikapsebagaibagiandarisolusiatasberbagaipermasalahanbangsadalamberinteraksisecaraefektifdenganlingkungansosialdanalamsertadalammenempatkandirisebagaicerminanbangsadalampergaulandunia

3. KompetensiInti • Memahami, menerapkan, danmenganalisispengetahuanfaktual, konseptual, danproseduraldalamilmupengetahuan, teknologi, seni, budaya, danhumanioradenganwawasankemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, danperadabanterkaitfenomenadankejadian, sertamenerapkanpengetahuanproseduralpadabidangkajian yang spesifiksesuaidenganbakatdanminatnyauntukmemecahkanmasalah

4. KompetensiDasar • Memahamidaerahasal, daerahkawan, dandaerah hasil suatu relasi antara dua himpunan yang disajikandalamberbagaibentuk (grafik, himpunan pasangan terurut, atau ekspresi simbolik). • Mengidentifikasirelasiyang disajikandalamberbagaibentuk yang merupakanfungsi.

5. Mengidentifikasisifat-sifatdarisuaturelasi. Mengidentifikasirelasiyang disajikandalamberbagaibentuk yang merupakanfungsi. Menentukandaerahasalataudaerahhasildarisuatufungsi. Indikator

6. SifatRelasi SifatRefleksif SifatSimetris SifatTransitif SifatAntisimetris SifatEkuivalensi

7. Relasi R bersifatRefleksifsebabsetiapanggotahimpunan P berpasanganatauberelasidengandirinyasendiri. • SifatRefleksif Misalkan R sebuahrelasi yang didefinisikanpadahimpunan P. Relasi R dikatakanbersifatRefleksifjikauntuksetiap p ∈ P erlaku (p,p) ∈ P Contoh 1 Diberikanhimpunan P = {1, 2, 3}. Didefinisikanrelasi R padahimpunan P denganhasilrelasiadalahhimpunan S = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3), (3,2)}. Apakahrelasi R bersifatRefleksif?

8. Contoh2 Diberikanhimpunan C = {2,4,5}. Didefinisikanrelasi R padahimpunan C dengan R = {(a,b)│ a + b < 9,dengan a,b ∈ C}, Apakahrelasi R bersifatRefleksif? Diperoleh R = {(2,2), (2,4), (2,5), (4,2), (4,4), (5,2)} Relasi R tidakbersifatrefleksifsebabadaanggotahimpunan C, yaitu 5 tidakberelasidengandirinyasendiriatau (5, 5) bukananggota R

9. SifatSimetris Misalkan R sebuahrelasi yang didefinisikanpadahimpunan P. Relasi R dikatakanbersifatsimetrisjikauntuksetiap (x,y) ∈ R berlaku (y,x) ∈ R. Contoh3 Diberikanhimpunan P = {1, 2, 3}. Didefinisikanrelasi R padahimpunan P dengan R = {(1,1) , (1,2), (1,3), (2,2), (2,1), (3,1), (3,3)}. Apakahrelasi R bersifatsimetris? Relasi R tersebutbersifatsimetrissebabuntuksetiap (x,y) ∈ R, berlaku (y,x) ∈ R.

10. Contoh4 Diberikanhimpunan A = {2, 4, 5}. Didefinisikanrelasi R padahimpunan A dengan R = {(x,y) │ x kelipatan y, x, y ∈ A}, Apakahrelasi R bersifatsimetris? Diperoleh R = {(2,2), (4,4), (5,5), (4,2)}. Relasi R tersebuttidakbersifatsimetriskarena (4,2) anggota R tetapi (2,4) bukananggota R.

11. SifatTransitif Misalkan R sebuahrelasipadasebuahhimpunan P. Relasi R bersifattransitif,apabilauntuksetiap (x,y) ∈ R dan (y,z) ∈ R makaberlaku (x,z) ∈ R Contoh5 Diberikanhimpuan P = {1, 2, 3}. Didefinisikanrelasipadahimpunan P denganhasilrelasiadalahhimpunan R = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,1), (3,3)}. Apakahrelasi R bersifatTransitif? Relasi R tersebutbersifattransitifsebab (x,y) ∈ R dan (y,z) ∈ R makaberlaku (x,z) ∈ R.

12. Contoh 6 Diberikan himpunan C = {1, 2, 3}. Didefinisikan relasi R dengan R = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3), (3,2)}. Apakahrelasi R bersifattransitif? Relasi R tidakmemenuhisifattransitif, sebabterdapat(1,2) ∈ R dan (2,3) ∈ R, tetapi (1,3) bukan anggota R.

13. SifatAntisimetris Misalkan R sebuahrelasipadasebuahhimpunan P. Relasi R dikatakanbersifatantisimetris, apabilauntuksetiap (x,y) ∈ R dan (y,x) ∈ R berlaku x = y. Contoh7 Diberikanhimpunan C = {2, 4, 5}. Didefinisikanrelasi R padahimpunan C dengan R = { (a,b) ∈ a kelipatan b, a,b ∈ C}. Apakahrelasi R bersifatantisimetris? diperoleh R = {(2,2), (4,4), (5,5), (4,2)} Relasi R tersebutbersifatantisimetris.

14. Contoh8 Diberikan S = {1, 2, 3}. Didefinisikanrelasi R padahimpunan S dengan R = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,1), (3,3)}. Apakahrelasi R bersifatantisimetris? Relasi R tidakbersifatantisimetrissebab terdapat (1,2) ∈ R dan (2,1) ∈ R, tetapi 1 ≠ 2.

15. SifatEkuivalensi Misalkan R sebuahrelasipadasebuahhimpunan P. Relasi R disebutrelasiekivalensi jika dan hanya jika relasi R memenuhi sifat refleksif, simetris, dan transitif. Contoh9 Diberikanhimpunan P = {1, 2, 3}. Didefinisikanrelasipadahimpunan P dengan R = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,1), (3,3)}. Apakahrelasi R bersifatekuivalensi? Relasi R tersebutbersifatrefleksif, simetrisdantransitif. Oleh karena itu relasi R merupakan relasi ekivalensi.

16. KonsepFungsi PerhatikanRelasiBerikut! (1) (2) • Apakah semua anggota himpunan P memiliki pasangan dengan anggota himpunan Q? • Apakahsemuaanggotahimpunan P memilikipasangan yang tunggaldengananggotahimpunan Q? • Apakahsemuaanggotahimpunan Q memilikipasangandengananggotahimpunan P?

17. PerhatikanRelasiBerikut! (4) (3) • Apakah semua anggota himpunan P memiliki pasangan dengan anggota himpunan Q? • Apakahsemuaanggotahimpunan P memilikipasangan yang tunggaldengananggotahimpunan Q? • Apakahsemuaanggotahimpunan Q memilikipasangandengananggotahimpunan P?

18. PerhatikanRelasiBerikut! (6) (5) • Apakah semua anggota himpunan P memiliki pasangan dengan anggota himpunan Q? • Apakahsemuaanggotahimpunan P memilikipasangan yang tunggaldengananggotahimpunan Q? • Apakahsemuaanggotahimpunan Q memilikipasangandengananggotahimpunan P?

19. Relasi 1 • Semua anggota himpunan P memiliki pasangan dengan anggota himpunan Q. • Semuaanggotahimpunan P memilikipasangan yang tunggaldengananggotahimpunan Q. • Semuaanggotahimpunan Q memilikipasangandengananggotahimpunan P. Relasi 2 • Semua anggota himpunan P memiliki pasangan dengan anggota himpunan Q. • Semuaanggotahimpunan P memilikipasangan yang tunggaldengananggotahimpunan Q. • Adaanggotahimpunan Q yang tidakmemilikipasangandengananggotahimpunan P.

20. Relasi 3 • Semua anggota himpunan P memiliki pasangan dengan anggota himpunan Q. • AdaanggotahimpunanP yang berpasangandenganduabuahanggotahimpunan Q. • SemuaanggotahimpunanQ memilikipasangandengananggotahimpunan P. Relasi 4 • Semua anggota himpunan P memiliki pasangan dengan anggota himpunan Q • SemuaanggotahimpunanP memilikipasangan yang tunggaldengananggotahimpunan Q. • Adaanggotahimpunan Q yang tidakmemilikipasangandengananggotahimpunan P

21. Relasi 5 • Adaanggotahimpunan P yang tidakmemilikipasangandengananggotahimpunan Q. • Adaanggotahimpunan P yang berpasangandengansemuaanggotahimpunan Q. • Semuaanggotahimpunan Q memilikipasangandengananggotahimpunan P. Relasi 6 • Adaanggotahimpunan P yang tidakmemilikipasangandengananggotahimpunan Q. • Adaanggotahimpunan Q yang tidakmemilikipasangandengananggotahimpunan P.. • Adaanggotahimpunan Q yang tidakmemilikipasangandengananggotahimpunan P.

22. Dari 6 relasidiatas. Relasi 1, 2, dan 4 adalahfungsidarihimpunan P kehimpunan Q. Makasyaratrelasimejadisebuahfungsiadalah: - Semua anggota himpunan P memiliki pasangan dengan anggota himpunan Q. - Semuaanggotahimpunan P memilikipasangan yang tunggaldengananggotahimpunan Q.

23. KonsepFungsi DefinisiFungsi A dan B himpunan. Fungsi f dari A keMisalkanB adalahsuatuaturanpengaitan yang memasangkansetiapanggotahimpunan A dengantepatsatuanggotahimpunan B. Secarasimbolikf : A → B, dibaca: fungsi f memetakansetiapanggotaA dengantepatsatuanggota B. f : x → y, dibaca: fungsi f memetakan x ke y, sedemikiansehingga y = f(x). • y adalahpeta • x adalahprapetadariy

24. B A . 1 . 2 . 3 . 4 . 5 0 . 2 . 4 . 6 . Daerah hasil/ Range Daerah asal/ Domain Daerah kawan/ kodomain Contoh10: Perhatikan diagram panahdibawahini :

25. Dari diagram panahdiatasdapatdilihatbahwa : 1. Fungsi A ke B adalahrelasikhusus yang memasangkansetiapanggota A dengan tepatsatuanggota B. 2. Himpunan A = { 0, 2, 4, 6 } disebutdaerah asal ( Domain ), Himpunan B = { 1, 2, 3, 4, 5 } disebutdaerahkawan ( Kodomain ), dan { 1, 2, 5 } disebutdaerahhasil ( Range ).

26. Contoh 11 Diketahuisuatufungsi f : x  x + 2 dengandaerahasalfungsi { x/ 1 < x <6, x  A} a. Tentukanrumusfungsi! b. Tentukandaerahasalfungsi! c . Tentukandaerahhasilfungsi! d. Jika f(x) = 15 , makatentukannilai x !

27. Jawab : a. Rumusfungsi f(x) = x +2 b. Daerah asal = { 2, 3, 4, 5 } c. Daerah hasil : f(x) = x + 2 untuk x = 2  f(x) = 2 + 2 = 4 x = 3  f(x) = 3 + 2 = 5 x = 4  f(x) = 4 + 2 = 6 x = 5  f(x) = 5 + 2 = 7 Jadidaerahhasilfungsi : { 4, 5, 6, 7 } d. f(x) = 15 x + 2 = 15 x = 15 – 2 x = 13 Jadinilai x = 13

28. Contoh12 Diketahuifungsi f:x→f(x) deganrumusfungsi f(x)=px-q. Jika f(1)=-3 dan f(4)=3. Tentukanlahnilai p dan q kemudiantentukanlahrumusfungsinya! Jawab: f(x)=px-q, f(1)=-3, f(4)=3 Jika f(1)=-3 maka f(x)=px-q → -3=p-q…………(1) Jika f(4)=3 maka f(x)=px-q → 3=4p-q…………(2) Persamaan (1) dikurangipersamaan (2), didapat: -6=-3p → p=2 -3=p-q → -3=2-q → -q=-5 → q=5 Makarumusfungsinyaadalah f(x)=2x-5

29. Contoh13 DiketahuifungsidenganrumusTentukan domain fungsi f agar mempunyaipasangandihimpunanbilangan real. Jawab Domain fungsi f memilikipasangandengananggotahimpunanbilangan real apabila: 2x + 6 ≥ 0, 2x ≥ -6 ↔ x ≥ -3.

30. LATIHAN 1. Diberikanhimpunan P={a,b,c,} danreasi R adalahpasanganberurutandari A×A. apakahrelasi R bersifatrefleksif, simetris, transitif, antisimetrisataubahkanekuivalen? 2. Gambarlahrelasi-relasiberikutdengan diagram panah. Kemudiantentukan termasukfungsiataubukanfungsi ! a. { (1,2), (1,3), (2,4), (3,5) } b. { (1,1), (2,2), (3,3) } c. { (3,4), (5,6), (7,8) } d. { (2,3), (3,4), (4,5) }

31. 3. Fungsi f : x  x + 3 mempunyai domain { -2, -1, 0, 1, 2 } . a. Tunjukkanfungsi f dalam diagram panah . b. Nyatakandalamhimpunanpasangan berurutan . c. Tulis range dari f . 4. Diketahuifungsi f denganrumus Tentukanlahdaerahasaldarisungsi f agar memilikipasangandiangotahimpunanbilangan real

32. PEMBAHASAN 1.Didapat R = {(a,a), (a,b), (a,c), (b,a), (b,b), (b,c), (c,a), (c,b), (c,c)} Relasi R bersifatrefleksifkarenasetiapanggotahimpunan A berpasangandengansirinyasendiri Relasi R tersebutbersifatsimetrissebabuntuksetiap (x,y) ∈ R, berlaku (y,x) ∈ R. Relasi R tersebutbersifattransitifsebab (x,y) ∈ R dan (y,z) ∈ R makaberlaku (x,z) ∈ R. Relasi R tidakbersifatantisimetrissebab terdapat (a,b) ∈ R dan (b,a) ∈ R, tetapi a ≠ b. Relasi R bersifatekuivalenkarenamemenuhisifatrefelksif, simetri, dantransitif

33. Bukanfungsi x y . 2 . 3 . 4 . 5 1 . 2 . 3 . 2a. { (1,2), (1,3), (2,4), (3,5) } bukanfungsikarenaadaanggota x yang berpasanganlebihdarisatu dengananggota y .

34. . 1 . 2 . 3 1 . 2 . 3 . A B Fungsi 2b. { (1,1), (2,2), (3,3) }

35. P Q . 4 . 6 . 8 3 . 5 . 7 . Fungsi 2c. { (3,4), (5,6), (7,8) }

36. K L 2 . 3 . 4 . . 3 . 4 . 5 Fungsi 2d. { (2,3), (3,4), (4,5) }

37. 3b. Himpunanpasanganberurutan { (-2,1), (-1,2), (0,3), (1,4), (2,5) } 3c. Range (daerahhasil ) = ( 1, 2, 3, 4, 5 ) 4. Domain fungsi f memilikipasangandengananggotahimpunanbilangan real apabila: (½) x - 8 ≥ 0, x - 16 ≥ 0 ↔ x ≥16

38. x x+3 -2 . -1 . 0 . 1 . 2 . . 1 . 2 . 3 . 4 . 5 3a. Fungsi f : x  x + 3 , jadi f(x) = x + 3 Untuk x = -2 maka f(-2) = -2 + 3 = 1 x = -1 maka f(-1) = -1 + 3 = 2 x = 0 maka f(0) = 0 + 3 = 3 x = 1 maka f(1) = 1 + 3 = 4 x = 2 maka f(2) = 2 + 3 = 5

39. TERIMA KASIH