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Jeux combinatoires et théorie des groupes

Jeux combinatoires et théorie des groupes. Jeux:. Activités intellectuelles ou gestuelles qui n’ont d’autre fin que l’amusement de la personne qui s’y livre. Qui étudient les différentes manières de combiner les éléments d’un ensemble. Combinatoires :.

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Presentation Transcript

  1. Jeux combinatoires et théorie des groupes

  2. Jeux: Activités intellectuelles ou gestuelles qui n’ont d’autre fin que l’amusement de la personne qui s’y livre. Qui étudient les différentes manières de combiner les éléments d’un ensemble. Combinatoires : Ensemble organisé de principes, de règles, de lois scientifiques visant à décrire et à expliquer un ensemble de faits. Théorie :

  3. Groupe : Ensemble E (fini ou infini) d’objets muni d’une loi notée ~ ~ vérifie: Evariste Galois, 1811-1832 Fondateur de la théorie des groupes. • il existe un élément e dans E tel que pour tout a de E : a~e = e~a =a e : élément neutre • pour a,b, c des éléments de E : (a~b)~c = a~(b~c) associativité • pour tout a de E, il existe un a’ tel que a~a’ = a’~a =e a’ inverse (ou symétrique ou opposé) de a

  4. Exemple: Ensemble Z des entiers relatifs {…, -3,-2,-1,0,1,2, 3,…} muni de l’addition, loi notée + • pour tout n de Z, x+n=n+x=n X=0: élément neutre • pour a,b, c des éléments de Z (a+b)+c=a+(b+c) associativité • pour tout n de Z, il existe un n’=-n tel que n+(-n)=(-n)+n=0 -n: opposé de n

  5. Autre Exemple: 3 2 1 Ils font une course, imaginons Les ordres d’arrivée possibles.

  6. Autre Exemple: 3 2 1 1 2 3

  7. Autre Exemple: 3 2 1 1 2 3 1 3 2

  8. Autre Exemple: 3 2 1 1 2 3 1 3 2 2 1 3

  9. Autre Exemple: 3 2 1 1 2 3 2 3 1 1 3 2 2 1 3

  10. Autre Exemple: 3 2 1 1 2 3 2 3 1 1 3 2 3 2 1 2 1 3

  11. Autre Exemple: 3 2 1 1 2 3 2 3 1 1 3 2 3 2 1 2 1 3 3 1 2

  12. L’application de l’ensemble E={1,2,3} dans lui-même définie par est une permutation. L’ensemble des permutations de E est un groupe, appelé groupe symétrique S3

  13. 1 1 a 2 3 a 3 2 a est l’élément neutre. La loi est la composition notée °. ° = =

  14. Une partie de la recherche mathématique des deux derniers siècles a consisté à classer et étudier les groupes finis. … … Brauer Frobenius Burnside Schur Weyl Lie Étudier? • calculer nombre d’éléments • décrire ses sous-groupes • décrire ses représentations

  15. Représentations irréductibles de Sn sont indexées par des partitions de n. n=4 (4) (3,1) (2,2) (2,1,1) (1,1,1,1) Partitions de n : suites décroissantes d’entiers positifs dont la somme vaut n.

  16. Diagramme de Young de forme la partition de 6: (3,2,1)

  17. On remplit ce diagramme: tableau de Young 4 3 4 < 1 1 1 Tableau de Young de forme (3,2,1), de remplissage (3,0,1,2)

  18. AppelonsTl’ensemble des tableaux • de forme une partition de n • remplis sur par des nombres de 1 à n. Letableau sans case est appelé le tableau vide et est noté Peut-on munir Td’une loi? Si oui, quelles propriétés a-t-elle?

  19. Pour définir cette loi qu’on appelle la multiplication : Jeu de taquin

  20. Pour définir cette loi qu’on appelle la multiplication : Jeu de taquin

  21. Pour définir cette loi qu’on appelle la multiplication : Jeu de taquin

  22. Pour définir cette loi qu’on appelle la multiplication : Jeu de taquin

  23. Pour définir cette loi qu’on appelle la multiplication : Jeu de taquin

  24. Pour définir cette loi qu’on appelle la multiplication : Jeu de taquin

  25. n=9

  26. On applique un jeu de taquin(i.e pousser toutes les cases noires vers l’extérieur) en utilisant les règles suivantes: • si b, c, e sont vides, rien à faire • sinon si b>e alors • sinon Convention : Case vide= case remplie par

  27. A quelle case appliquer le jeu de taquin? A des coins… Et quand il y a plusieurs coins? On en choisit un au hasard, le résultat sera toujours le même C’est un théorème dont la démonstration n’est pas évidente…

  28. On continue et on obtient

  29. L’ensemble Tmuni de est-il un groupe?

  30. Groupe: • Ensemble E (fini ou infini) d’objets muni d’une loi notée ~ • ~ vérifie: • il existe un élément e dans E tel que pour tout a de E a~e=e~a =a e: élément neutre • pour a,b, c des éléments de E (a~b)~c=a~(b~c) associativité • pour tout a de E, il existe un a’ tel que a~a’=a’~a=e a’: inverse de a

  31. = =

  32. Tableau vide est élément neutre. est associative. • Mais il n’y a pas d’inverse! L’ensemble Tmuni de est un monoïde.

  33. 3 2 3 1 2 1 1 Peut-on faire des tableaux avec des cases doubles? Oui ! Ce sont des tableaux de dominos. <

  34. On appelleDl’ensemble des tableaux de dominos. Quel rapport avec ce qui précède?????????? Il existe une bijection entre et D = (T 1, T 2) , T1 dans T, T2 dans T

  35. , Forme du tableau de dominos = (4,4,3,3)=2(4,3) Mot associé au tableau de dominos: 1112312

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