Statisztikus fizika és pénzügyek

1. Statisztikus fizika és pénzügyek Bolyai Kollégium2007 április 25

2. Munkatársak • Pafka Szilárd(ELTE; CIB Bank; Paycom, Santa Monica) • Nagy Gábor (Debreceni Egyetem; CIB Bank) • Karádi Richárd (BMGE Fizikai Intézet; Procter&Gamble) • Gulyás Nándor (ELTE; Budapest Bank; Lombard Leasing; ELTE; Collegium Budapest) • Varga-Haszonits István (ELTE; Morgan-Stanley) • Papp Gábor (ELTE) • Andrea Ciliberti (Roma és Science&Finance, Paris) • Marc Mézard (Orsay)

3. Tartalom • Kapcsolatok a közgazdaságtan és a fizika között • Mit adhat a fizika a pénzügyeknek, amit a matematika nem tudna? • Három példa: véletlen mátrixok, fázisátalakulások és replikák

4. Korai kapcsolatok • Klasszikus közgazdaságtan fizika-komplexusa • Maxwell • Bachelier

5. Fizikusok a pénzügyekben • A 90-es évek elejétől kezdődően egyre több fizikust vesznek fel a pénzügyi intézmények. • A nagy kereskedelmi bankok kockázatkezelési vezetőinek kb. 30-35 %-a fizikus. • Mára a pénzügyi terület a végzett fizikus hallgatók számára az egyik standard elhelyezkedési lehetőséggé vált (EU dokumentum a bolognai tipusú felsőoktatási programok összehangolásáról: Tuning Educational Structures in Europe: http://tuning.unideusto.org/tuningeu/ ).

6. Econophysics – van ilyen? • A kifejezést H. E. Stanley vezette be, nem aratott osztatlan népszerűséget, mégis elterjedt. • Van reális köze a két tudománynak egymáshoz? • Triviális válasz: a pénzügyekben is sztochasztikus folyamatokkal van dolgunk, amelyek alkalmazása a statisztikus fizikában jutott legmesszebbre. • Ámde: a sztochasztikus folyamatok elméletét a matematikusok is művelik.

7. Miért vesznek fel a bankok fizikusokat (is)? • Miért nem csak matematikusokat, számítógép-tudósokat, statisztikusokat, stb.? • Mi az a speciális tudás, amit a fizikusok be tudnak hozni a pénzügyekbe? Mit adhat a fizika a pénzügyeknek? (Stanley a Nikkei konferencián) • Válasz-kísérlet: a modellekben való gondolkodás, a matematika kreatív használata, a numerikus és közelítő módszerekben való jártasság adja talán a fizikusok piaci vonzerejét.

8. Kicsit mélyebben: • A kölcsönható rendszerek, kollektív effektusok megértésében a fizika jutott legmesszebb. • A tankönyv-közgazdaságtan még mindig csak legfeljebb az átlagtér-elmélet színvonalát éri el (reprezentatív ágens). • Struktúrák, új minőség felépülése akár egyszerű kölcsönhatásokból, emergens vonások, kollektív koordináták, mikroszkopikus szabadsági fokokra való átlagolás, stb. – ezek a fogalmi eszközök ismeretlenek a pénzügyekben (lsd. Bázel II).

9. Ezért azt gondolom, hogy • a kvantummechanika, a soktestprobléma, a térelmélet, a renormálás, a fázisátalakulások, a nemlineáris és komplex rendszerek tanulmányozása ugyan se nem szükséges, se nem elegendő, de mindenféleképpen hasznos a bonyolult piaci folyamatok megragadásában, és ezeket a gondolati eszközöket sehol máshol nem lehet megszerezni, csak a fizikában. • (Továbbá azt is gondolom, hogy ezeket az eszközöket meg kell őriznünk a fizika tananyag átszabása során.)

10. Ebben az előadásban három példán fogom illusztrálni a fizikából importált (és máshonnan nem importálható)fogalmi eszközök hasznát: • a véletlen mátrixok • a fázisátalakulások és kritikus jelenségek és • a replika-módszer példáján.

11. A konkrét alkalmazási terület a portfólió-választás problémája. • Az alapkérdés: hogyan osszuk szét a vagyonunkat a lehetséges befektetési eszközök (pl. értékpapírok) között úgy, hogy a lehető legkisebb kockázat mellett a lehető legmagasabb hozamot érjük el? • Itt speciálisan arra az esetre szorítkozom, amikor a hozamra tekintet nélkül minimalizálni akarjuk a kockázatunkat.

12. A feladat eredeti megfogalmazása: A portfólió-választás Markowitz-féle elmélete: Az , i=1,2,…,N, hozamok feltevés szerint ismert (mondjuk N-változós Gauss) eloszlásból húzott valószínűségi változók, kovariancia-mátrixuk ( a korrelációs mátrix, az szórása). Keresendők azok a , , súlyok, amelyek mellett az portfólió szórása minimális.

13. Korlátlan „short selling” Nem kötöttük ki, hogy a súlyok pozitívak legyenek, bármekkora abszolút értékű számok lehetnek. Ez jogszabályi és likviditási okokból nyilván nem realisztikus, de a feladatot ebben az idealizált formában célszerű először tárgyalnunk (a pénzügy tankönyvek is ezt teszik). Ekkor ugyanis az optimális súlyok analitikusan meghatározhatók: Ha a short sellinget megtiltjuk, akkor a feladat kvadratikus programozási feladattá válik.

14. A végtelen térfogat határesete • A korlátlan short selling megengedése az optimalizációs feladat értelmezési tartományát végtelenné teszi. Látni fogjuk, hogy a megoldás-vektor hatalmas fluktuációkat mutathat. A térfogat korlátozása ezeket a fluktuációkat csökkentené. • Amiként a fázisátalakulások elméletében, itt is célszerű azonban először a végtelen térfogat limeszében megérteni a jelenség lényegét, és a véges-térfogat effektusokat csak utóbb venni figyelembe.

15. A feladat változatai • A szórás használata kockázati mértékként feltételezi, hogy a mögöttes folyamat Gauss vagy ahhoz hasonlóan koncentrált eloszlású. A pénzügyi folyamatok általában nem ilyenek. • Alternatív kockázati mértékek: abszolút eltérés (MAD), egy magas küszöb fölötti feltételes átlagos veszteség (ES), a maximális veszteség (ML), ill. bármely a hozamok eloszlásán értelmezett pozitív, homogén elsőfokú, konvex funkcionál.

16. Empirikus kovariancia mátrixok • A kovariancia-mátrixot a piacon végzett mérésekből kell meghatároznunk. A t időben megfigyelt hozamokból a következő becslést kapjuk: • Neszközből álló portfolió kovariancia-mátrixánakO(N²)számú eleme van. N eszköz Thosszúságú idősorában összesenNTadat van. Ahhoz, hogy mérésünk pontos legyen, aN <<Tegyenlőtlenségnek kellene fennállnia. A banki portfoliók több száz eszközt tartalmazhatnak, miközben aligha értelmes dolog 4 évnél (T~1000) hosszabb idősorokat használni. Ezért N/T << 1szinte soha nem teljesül a valóságban. Így a becslésben jelentős lesz a zaj hatása, a hiba pedig azN/Thányadostól fog függeni (skála-változó!).

17. Küzdelem a „dimenziók átkával” • A közgazdászok a kezdetektől fogva küzdenek ezzel a nehézséggel. Minthogy a probléma gyökere a megfelelő mennyiségű információ hiánya, a segítséget valamilyen külső forrásból származó információ bevitelétől várhatjuk, azaz valamilyen struktúrát kell σ-ra rákényszerítenünk. Ez torzítást visz a becslésbe, de csökkentheti a zajt. • Példák: • egy-faktor modellek (β-k) Ezek mind segítenek • több-faktor modellek valamilyen mértékben. • szektorok szerinti csoportosítás A legtöbb vizsgálat • főkomponens analízis empirikus adatokkal • Bayesi shrinkage estimators, stb. dolgozik

18. Véletlen mátrixok a pénzügyekben • L.Laloux, P. Cizeau, J.-P. Bouchaud, M. Potters, PRL83 1467 (1999) és Risk12 No.3, 69 (1999) valamint V. Plerou, P. Gopikrishnan, B. Rosenow, L.A.N. Amaral, H.E. Stanley, PRL83 1471 (1999) azt a megfigyelést tették, hogy a valódi piacokon megfigyelhető kovarianciamátrixok spektrumában óriási mennyiségű zaj van, ami kérdésessé teheti a befektetési döntésekben való alkalmazásukat. • Paradoxon: Ezeket a kovariancia-mátrixokat széles körben alkalmazzák, hogyan lehetséges, hogy a bankok nem buknak ebbe bele ?!

19. Laloux et al. 1999 Az S&P 500idősoraiból nyert kovarianciamátrix spektruma N=406, T=1308, azaz N/T= 0.31 mellett, összehasonlítva egy véletlen mátrix spektrumával (folytonos görbe). A sajátértékeknek csak kb. 6%-a esik kívül a véletlen sávon.

20. Megjegyzések a paradoxonhoz • A véletlen sávba eső sajátértékek száma nem okvetlenül méri megfelelően a zaj hatását a portfolióra: A kis sajátértékek erősen fluktuálnak, de viszonylag kevéssé befolyásolják az optimális portfoliót, miközben a nagy sajátértékek és a hozzájuk tartozó sajátvektorok eléggé stabilak. • A vizsgált esetben N/T nem volt elég kicsi (bár ritkán fordul elő a gyakorlatban, hogy ennél kisebb legyen). • A valóságos empirikus adatokkal dolgozva nem lehet elkülöníteni az elégtelen információ hatását egyéb zavaró tényezőktől, mint amilyen pl. a stacionaritás hiánya, ezért mi szimulált adatokkal dolgoztunk.

21. A véletlen mátrixok elmélete által sugallt szűrési eljárás • A véletlen mátrixok megjelenése a portfolió-választás összefüggésében nagy aktivitást váltott ki, különösen fizikusok körében. Laloux et al. and Plerou et al. egy, a véletlen mátrixok elméletén (RMT) alapuló szűrési eljárást javasoltak. Ezt számos további kutató fejlesztette tovább. • A javasolt szűrés abban áll, hogy a véletlen mátrix spektrum felső éle alá eső sajátértékeket mint tiszta zajt eldobják. Információt csak azok a sajátértékek és sajátvektorok hordoznak, amelyek ezen él fölé esnek. Az optimalizációt úgy kell végrehajtani, hogy a nagy sajátértékek alterére vetítünk, a kicsiket pedig egy alkalmasan választott konstanssal helyettesítjük, hogy megőrizzük a mátrix spurját. Ez drasztikusan redukálja a probléma effektív dimenzióját.

22. A nagy sajátértékek interpretációja: A legnagyobb a „piacnak” felel meg, a többi nagy a fő ipari szektoroknak. • A módszer a főkomponens-analízis egy szisztematikus változatának tekinthető, ahol objektív feltételt szabunk a tekintetbe vett komponensek számára. • Kiterjedt összehasonlító vizsgálataink szerint a módszer következetesen jól teljesít más, hagyományos eljárásokkal összehasonlítva. • További előny, hogy a szűrő a piac feltételezett szerkezetének megfelelően hangolható. • Kísérlet a véletlen sávél alá eső információ kinyerésére (krakkói csoport, Papp Gábor)

23. Miben mérjük a zaj hatását? Tegyük fel, hogy ismerjük a igazi kovariancia-mátrixot és meg tudjuk mérni a „zajos” mátrixot. Ekkor a zaj hatásának (nem okvetlen egyedüli) mértékéül a következő mennyiség választható: ahol w*a ill. mátrixoknak megfelelő optimális súlyokat jelöli.

24. A modell-szimulációs stratégia Különböző modell kovariancia-mátrixokat választunk és ezekkel hosszú idősorokat generálunk. Ezután T hosszúságú szegmenseket vágunk ki belőlük, mintha a piacon végeznénk megfigyeléseket, majd megpróbáljuk rekonstruálni a kovariancia-mátrixokat ezekből a mintákból. Ezután optimalizáljuk a portfoliót mind a „megfigyelt”, mind pedig az igazi kovariancia-mátrix-szal és meghatározzuk a hiba mértékét.

25. 1. modell: iid normális változók Spektrum λ = 1, N-szeresen degenerált A zaj felbontja a degenerációt és az egyetlen sajátértékből egy sávot csinál 1 0 C=

26. Az 1. modellnek megfelelő „empirikus” kovariancia-mátrix a Wishart mátrix Ha NésT→∞ úgy, hogy a hányadosukN/T<1fix(termodinamikai limesz),akkor ennek az empirikus kovariancia-mátrixnak a spektruma aWishart vagy Marchenko-Pastur spektrum (sajátérték-eloszlás): ahol

27. 2. modell: egy-faktor vagy piac modell Spektrum: Egyszeres sajátérték: λ1=1+ρ(N-1) ~ O(N) sajátvektor: (1,1,1,…) λ2 = 1- ρ~ O(1) (N-1) – szeresen degenerált ρ 1

28. A 2. modellnek megfelelő empirikus kovariancia-mátrix spektruma még mindig a Marchenko – Pastur spektrum, plusz egy izolált, nagy, Frobenius – Perron sajátérték (a piac).

29. 3. modell: piac + szektorok egyszeres - szeresen degenerált 1 Ezt a modellt közgazdászok is tanulmányozták - szeresen degenerált

30. A 3. modellnek megfelelő empirikus kovariancia-mátrix spektruma a Marchenko – Pastur spektrumból, a piacnak megfelelő nagy sajátértékből és egy, a kettő közé eső sávból áll. Ha elejtjük a szektorok ekvivalenciáját, akkor a paraméterek megfelelő beállításával elérhetjük, hogy a valóságos piacon megfigyelt empirikus kovariancia-mátrixokéhoz hasonló spektrumot kapjunk (Noh model)

31. Mérések ezeken a játék-modelleken • Az optimális portfolió relatív hibáját jellemző mérték valószínűségi változó, amely mintáról mintára fluktuál. • Ugyancsak ingadoznak az optimális portfolió súlyai is.

32. qo eloszlása a minták fölött

33. qo várhatóértékének változása N/T-vel

34. A hiba divergenciája egy algoritmikus fázisátmenetet jelez (I.K., Sz. Pafka, G. Nagy) • A kovariancia-mátrix rangja min{N,T} • Az N/T = 1 limeszben a sajátértékek sávjának alsó éle zérushoz tart, az alsó él körül sok kis sajátérték található – sok lágy módus. • Az N/T = 1 a rendszer kritikus pontja • A kritikus ponthoz közeledve skálatörvényeket találunk, pl. a portfolió hibájának várhatóértéke: , szórása módon divergál. • T<N-re zéró-módusok lépnek fel, az optimalizáció értelmetlen

35. A rendparaméter vektor fluktuációi: N=100 iid normális változóból álló portfolió súlyainak eloszlása adott mintában, T=500

36. Egy adott eszköz súlyának ingadozása mintáról mintára, nem-átfedő ablakok, N=100, T=500

37. Egy adott eszköz súlyának ingadozása mintáról mintára, egyesével léptetett ablak, N=100, T=500

38. RMT szűrés után a portfolió hibája elfogadható mértékre csökken és be tudunk hatolni a T<N tartományba is

39. Véges térfogat A short selling kizárása, vagy bármely olyan mellékfeltétel bevezetése, amely az optimalizáció értelmezési tartományát végessé teszi, a szűréshez hasonlóan elnyomja a végtelen fluktuációkat. Azonban a rendparaméter vektor komponensei (vagyis a súlyok) N/T=1-hez közeledve még mindig vadul ingadoznak és nagy részük kitapad a tartomány falára, miközben mintáról mintára mindig más súlyok válnak zérussá. A kritikus pont körül a Markowitz-feladat megoldása nem szolgálhat racionális döntéshozatal alapjául.

40. Univerzalitás Numerikusan számos különböző piacmodellt, különböző kockázati mértéket és különböző háttér-folyamatot vizsgáltunk meg. A kritikus pont értéke és az együtthatók változnak, de eddig nem találtunk meggyőző evidenciát a kritikus exponensek változására – nem látjuk az univerzalitási osztály határait.

41. Hogy nem vették korábban észre? • A skálázás gondolata nem merült fel • Az ökonométerek soha nem az N/T=fix, N,T →∞ , hanem az N=fix, T→∞ limeszt vizsgálták, noha a banki portfóliók mindig is nagyok voltak, a hedge-fundok megjelenésével pedig óriásivá nőttek. • A súlyok instabilitása mindennapi tapasztalat, de az, hogy a becslési hiba ténylegesen divergálna, soha nem merült fel. Minthogy ragaszkodtak az empirikus adatokhoz (azokból pedig kevés van), nem vizsgálták a minták fölötti ingadozásokat. • A véletlen mátrixok, kritikus jelenségek, zéró módusok, stb. fogalma teljesen idegen a közgazdászok számára. • A probléma különböző aspektusai nem álltak össze olyan egységes képpé, amilyet csak a fázisátalakulás koncepció tud nyújtani.

42. Replikák • Bármely konvex optimalizációs feladathoz hozzárendelhetünk egy statisztikus fizikai problémát, ha a célfüggvényt előléptetjük Hamilton-függvénnyé, bevezetünk egy fiktív hőmérsékletet, a végén pedig a nulla hőmérsékleti limeszt tekintjük. • Az idősor-szegmensek (minták) fölötti átlagolás olyan, mint a quenched averaging a rendezetlen rendszerek elméletében: az állapotösszeg logaritmusát kell átlagolni. • Az átlagolást ekkor a replika-trükk segítségével végezhetjük el. (NB: mióta Guerra és Talagrand szigorúan megalapozták az SK modell Parisi-féle megoldását, akár replika-módszernek is hívhatnánk.)

43. A replikák első alkalmazása egy pénzügyi problémára: az ES fázishatár (A. Ciliberti, I.K., M. Mézard) Az ES egy magas β küszöb fölötti veszteségek átlaga (feltételes várhatóérték). Népszerű az elméleti kutatók körében és terjed a gyakorlatban is. Ráadásul, Uryasev és Rockafellar megmutatták, hogy az ES optimalizációja visszavezethető lineáris programozásra, melyre rendkívül gyors algoritmusok léteznek. Az ES alatt optimalizált portfoliók sokkal zajosabbak, mint akár a szórás, akár az abszolút eltérés esetén.Az ES kritikus pontja mindig N/T =1/2 alatt van és függ a küszöbtől, tehát az N/T- β síkon egy fázishatárt rajzol ki. AzESmérték véges N és T mellett bizonyos valószínűséggel alulról nem korlátossá válik és ilyenkor az optimalizáció nem hajtható végre! Az átmenet véges N,T-re sima, N,T →∞ esetén ugrásszerű. A fázishatár azt a tartományt választja el, ahol az optimalizáció végrehajtható, attól, ahol nem.

44. A feladat megfogalmazása • A hozamok idősora: • A célfüggvény: • A feladat változói: • A lineáris programozási feladat: • Normálás:

45. Asszociált statisztikus mechanikai probléma • Az állapotösszeg: • A szabadenergia: • A célfüggvény optimális értéke:

46. Az állapotösszeg • Lagrange-multiplikátorok:

47. Replikák • Triviális azonosság: • A rendszert n példányban képzeljük el: • Az n-szeres rendszer eloszlásfüggvénye:

48. Átlagolás a véletlen mintákra ahol • Rendparaméter mátrix:

49. Replika-szimmetrikus Ansatz • Szimmetria-meggondolások alapján: • Nyeregpont-feltétel: ahol

50. A lineáris programozási feladat megoldhatóságának feltétele A paraméter jelentése: A fázishatár egyenlete: