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1.) Der erweiterte Sinussatz

1.) Der erweiterte Sinussatz. Beh.: In einem Dreieck ABC mit dem Umkreisradius R gilt:. Beh.: In einem Dreieck ABC mit dem Umkreisradius R gilt:. Zum Beweis betrachten wir zunächst dieses Dreieck ABC. I. Durch Ziehen des Durchmessers CJ erhalten wir das Dreieck JBC.

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1.) Der erweiterte Sinussatz

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  1. 1.) Der erweiterte Sinussatz

  2. Beh.: In einem Dreieck ABC mit dem Umkreisradius R gilt:

  3. Beh.: In einem Dreieck ABC mit dem Umkreisradius R gilt:

  4. Zum Beweis betrachten wir zunächst dieses Dreieck ABC I.

  5. Durch Ziehen des Durchmessers CJ erhalten wir das Dreieck JBC

  6. Durch Ziehen des Durchmessers CJ erhalten wir das Dreieck JBC • Nach dem Satz des Thales beträgt in diesem Dreieck der Winkel in B 90°

  7. Durch Ziehen des Durchmessers CJ erhalten wir das Dreieck JBC • Nach dem Satz des Thales beträgt in diesem Dreieck der Winkel in B 90° • Die Winkel in A und in J liegen auf dem selben Kreisbogen.

  8. Durch Ziehen des Durchmessers CJ erhalten wir das Dreieck JBC • Nach dem Satz des Thales beträgt in diesem Dreieck der Winkel in B 90° • Die Winkel in A und in J liegen auf dem selben Kreisbogen. • Daher gilt:

  9. Das Dreieck ABC kann in A einen spitzen Winkel haben (wie I.) I.

  10. Das Dreieck ABC kann in A einen spitzen Winkel haben (wie I.) oder einen stumpfen Winkel (wie II.) I. II.

  11. Und dann gibt es natürlich noch rechtwinklige Dreiecke Die sind aber eher langweilig, weil hier die Behauptung sowieso gilt

  12. Betrachten wir jetzt also den zweiten Fall II.

  13. Wie bei I. erhalten wir durch Ziehen des Durchmessers CJ ein zweites Dreieck BJC • Der Winkel in B beträgt wiederum 90° II.

  14. Wie bei I. erhalten wir durch Ziehen des Durchmessers CJ ein zweites Dreieck BJC • Der Winkel in B beträgt wiederum 90° • In einem eingeschriebenen Viereck ergänzen sich die gegenüberliegenden Winkel zu 180° II.

  15. Wie bei I. erhalten wir durch Ziehen des Durchmessers CJ ein zweites Dreieck BJC • Der Winkel in B beträgt wiederum 90° • Daher gilt: II.

  16. Wir wissen also bisher:

  17. Wir wissen also bisher: • Für I.:

  18. Wir wissen also bisher: • Für I.: • Für II.:

  19. Wir wissen also bisher: • Für I.: • Für II.: • Für I. und II.: da

  20. Wo finden wir in unseren Zeichnungen sinJ?

  21. Wo finden wir in unseren Zeichnungen sinJ? • sin =

  22. Wo finden wir in unseren Zeichnungen sinJ? • sin = • sinJ =

  23. Wo finden wir in unseren Zeichnungen sinJ? • sin = • sinJ = • Da sinJ = sinA gilt auch:

  24. Analog zu A gilt natürlich auch:

  25. Analog zu A gilt natürlich auch: und

  26. Einfaches Umformen liefert aus

  27. Einfaches Umformen liefert aus

  28. Einfaches Umformen liefert aus

  29. Einfaches Umformen liefert aus

  30. Es gilt also:In einem Dreieck ABC mit dem Umkreisradius R

  31. Es gilt also:In einem Dreieck ABC mit dem Umkreisradius R

  32. Es gilt also:In einem Dreieck ABC mit dem Umkreisradius R Und das wollten wir ja beweisen.

  33. 2.) Beh.:

  34. Wir wissen, für den Flächeninhalt eines Dreieckes gilt:

  35. Wir wissen, für den Flächeninhalt eines Dreieckes gilt:

  36. Wir wissen, für den Flächeninhalt eines Dreieckes gilt:

  37. Wir wissen, für den Flächeninhalt eines Dreieckes gilt:

  38. Außerdem wissen wir:

  39. Außerdem wissen wir:

  40. Außerdem wissen wir: und setzen dies ein in

  41. Und erhalten so

  42. Und erhalten so Und das können wir schreiben als

  43. Und erhalten so Und das können wir schreiben als Toll, was?

  44. 3.) Der Satz von Ceva

  45. Der italienische Mathematiker Giovanni Ceva fand 1678 folgendes heraus: Schneiden sich drei Ecktransversalen AX, BY, CZ eines Dreiecks in einem Punkt, dann gilt:

  46. Um dies zu beweisen, benutzen wir, dass für Dreiecke mit gleicher Höhe

  47. Um dies zu beweisen, benutzen wir, dass für Dreiecke mit gleicher Höhe

  48. Um dies zu beweisen, benutzen wir, dass für Dreiecke mit gleicher Höhe und damit

  49. Betrachten wir nun folgendes Dreieck

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