Matrice Inversabile în m n ( ℂ )

1. MatriceInversabileînmn(ℂ)

2. Cuprins: • Definiţie • Propoziţie • Teoremă • Observaţii • Exemplu

3. Definiţie • Definitie: O matrice A ϵ Mn(ℂ) se numeste inversabila in in Mn(ℂ) pe scurut inversabila) daca exista o matrice B ϵ Mn(ℂ) astfel incat AB=BA=In • Observatii: • Pentru o matrice de A ϵ Mn(ℂ) exista cel mult o matrice B ϵ Mn(ℂ) cu proprietatea din enunt.Intr-adevar,daca Ab=BA=In si AC=CA=In cu B,C ϵ Mn(ℂ) atunci B=B In=B(AC)=(BA)C=InC=C.De aceea ,daca A este inversabila,matricea B din definitie este unica.Ea se noteraza cu A-1 si se noteazainversa lui A. • Daca inlocuim,in definitie ,multimea ℂ cu una din multimile ℝ , ℚ, sau ℤ obtinem notiunea de inversabilitate pentru matricele patratice peste ℝ , ℚ, si respectiv ℤ. • Rezultatul care urmeaza caracterizeaza matricele inversabile din Mn(ℂ),iar din demonstratie vom desprinde metoda de determinare pentru matricele patratice peste ℝ, ℚ, si respectiv ℤ. • Rezultatul care urmeaza caracterizeaza matricele inversabile din Mn(ℂ) ,iar din demonstratie vom desprinde metoda de determinare a inversei unei matrice inversabile. • Avem nevoie,mai intai , de urmatoarea propozitie. Cuprins

4. Propoziţie Daca A=(aij) ϵ Mn(ℂ) atunci, pentru orice i  ≠ j avem: Ai1 Г+ai2 Г+...+ain Гjm=0 si a1i+ Г1j+a2i Г2j +...+ani Гnj =0, (deci suma produselor elementelor unei linii si complementii algebrici ai elementelor altei linii este zero, proprietate adevarata si pentru coloane). Demonstratie.Consideram matricea B obtinuta din A prin inlocuirea liniei j cu linia j cu linia i a matricei A,linia i ramanand aceeasi .Deoarece matricele A si B difera,cel mult ,prin linia j atunci complementii algebrici ai elementelor corespunzatoare e pe linia j din cele doua matrice sunt aceeasi .Dezvoltand determinantul matricei B dupa linia j obtinem : det B=aij Гj1 +ai2 Гj2 ...+ain Гjn .Pe de alta parte,matricea B are liniile i si j egale.Atunci det B=0 si demonstratia este incheiata .Pentru coloane demonstratia se face analog. Cuprins

5. Teoremă O matrice A ϵ Mn (ℂ) esteinversabila in Mndacasinumaidacadet A≠0. Demonstratie.( ⇒).Deoarece A∙A-1=In rezulta ca det(A∙A-1)=detIn=1.Din proprietatea 6 a determinantilorobtinem detA∙detA-1=1,deci, in particular , detA≠0. ( ⇒)Fie A=(aij). Γ11 Γ21 … Γn1 Γ12Γ22 … Γn2 Notam cu A*matriceaΓ13 Γ23 … Γn3 ,obtinuta din A prininlocuirea … … ... … Γ1n Γ2n … Γnn elementuluiaijcu Γji(deci cu complementulalgebric al elementuluiaij).

6. Daca A∙A*=(bik) atuncibik=ijΓkj, ∀ i,k ∊{1,2,….,n}. Din proprietatea 5 a determinantilor (dezvoltareadupalinie) sipropozitiaanterioararezultabii=detA , ∀ i ∊{1,2,….,n} sibik=0, ∀ i,k ∊{1,2,….,n} cu i≠k . Obtinem A∙A*=(detA)∙Insi analog A*∙A=(detA)∙In . Deoarecedet A≠0 rezulta ca A∙ ∙A* = ∙A* ∙A=In . In consecinta, matricea A este inversabilasi A-1 = A*. Cuprins

7. Observaţii • Observaţii: • Matricea se numeştematricea adjunct(reciprocă) asociatămatriceiA.Eaeste,defapt,matriceatranspusă a complemenţiloralgebriciaielementelorluiAşi se maipoateobţineastfel:seconsiderămatriceaşi se înlocuieştefiecare element al ei cu complementulalgebric. • MatriceaAϵ(ℝ) atuncidetAϵ ℝ si ϵ (ℝ).ÎnipotezacădetA≠0 atunci = este o matricepătraticăpesteℝ,deciA esteinversabilăîn (ℝ).Proprietatea se păstreazădacăînlocuimmultimea ℝ cu multimeaℚ.Înconsecinţă,teoremaanterioarăcaracterizeazăşimatriceleinversabile din (ℝ) si (ℚ).

8. Încazulmatricilorpătraticepeste ℤ esteadevăraturmătorulrezultat: • Aϵ (ℤ) esteinversabilăîn (ℤ) dacaşinumaidacădetA≠±1. • Într-adevar,dacăA esteinversabilăîn (ℤ) atunci,cummatricileA şi au elementeîntregi,rezultăcădetA ϵ ℤ şidet ϵ ℤ.DeoarecedetA ∙ det =1,deducem cădetA =±1. • Reciproc,dacădetA =±1 rezultăcăA esteinversabilăîn (ℚ) şi ==±ComplemenţiialgebriciaielementelorluiAsuntnumereîntregişiînconsecinţăelementelelui ,decişi ale luisuntnumereîntregi. Cuprins

9. Exemplu A= . Vomarătacă A esteinversabilăşivomdetermina. Avemdet A=. Calculămcomplemenţiialgebriciaielementelorlui A siobţinem matriceaadjunctă = Inversamatricei A este∙ (ℂ). = =9 0 * =

10. Săobservămcădacămatricea A estegîndităîn () sau ℚ) concluziaesteaceeaşi. Cum (ℚ) rezultăcă A esteinversabilă in (ℝ) sau (ℚ). Nu acelaşilucru se întîmplădacăprivimmatricea A in (ℤ). Determinantulei nu este -1 sau 1, Deci A nu esteinversabilăîn (ℤ). De altfel, se observă cu usurinţăcă (ℤ). Cuprins