Lógica Proposicional

1. Lógica Proposicional Tableaux semânticos

2. Sistema de Tableaux Semânticos • Alfabeto da Lógica Proposicional • Conjunto de fórmulas da Lógica Proposicional • Conjunto de regras de dedução (ou regras de inferência)

3. R1=H^G R2=HvG R3=HG H G H G H G R4=HG R5=H R6=(H^G) H H^G H^G H G R7=(HvG) R8=(HG) R9=(HG) H H G G H^G H^G

4. Características do Método de Tableau Semântico • Baseado em árvores • Ramos são decomposições de H em subfórmulas • ou seja, possibilidades de interpretações da fórmula • Cada ramo representa uma ou mais interpretações • Adequado para implementação!

5. Idéia Básica de Tableaux Semânticos • Concebido por E. Beth (1954) e Jaako Hintikka (1955) • Cada interpretação representa um mundo possível • Interpretação – caminho da raiz da árvore a uma folha • “Semântica dos Mundos Possíveis” • Buscam admissões de interpretações

6. Características do Método de Tableau Semântico (cont.) • Sistema de refutação • Prova por negação ou absurdo • Para provar H supõe-se inicialmente, por absurdo, H • As deduções desta fórmula levam a um fato contraditório (ou absurdo) • Então H é verdade!!

7. Construção de um Tableau • Tableau semântico para o conjunto de fórmulas {(AvB),(A^ B)} • 1. AvB • 2.A^ B • 3. A B R2, 1. • 4. A A R1, 2. • 5. B B R1, 2.

8. Construção do mesmo Tableau mais curto • Tableau semântico para o conjunto de fórmulas {(AvB),(A^ B)} • 1. AvB • 2.A^ B • 3. A R1, 2. • 4. B R1, 2. • 5. A B R2, 1.

9. Heurística para aplicação de regras para tableau • Advindas do sistema de tableau analítico • “First Order Logic”, R. Smullyan (1970) • Adiar a bifurcação • Aplicar primeiro as regras que não bifurquem • Árvore menor => menos interpretações a serem analisadas

10. Construção de um Tableau Semântico – Definição (recursiva) • Dado o conjunto de fórmulas {A1,A2,...,An} • A seguinte árvore, com um ramo, é um tableau associado a {A1,A2,...,An} • 1. A1 • 2. A2, • ... • n. An • Se Tree é um tableau associado a {A1,A2,...,An}, então Tree* (Tree submetida a alguma das regras R1 a R9) também é

11. Exemplo de Construção de um Tableau Semântico • {(AB)(AvB), (CA)} • Tree1: • 1. AB • 2. (AvB) • 3. (CA)

12. Exemplo de Construção de um Tableau Semântico (cont.) • {(AB)(AvB), (CA)} • Tree2 (=R7 aplicada a Tree1): • 1. AB • 2. (AvB) • 3. (CA) • 4. A R7, 2. • 5. B R7, 2.

13. Exemplo de Construção de um Tableau Semântico (cont.) • {(AB)(AvB), (CA)} • Tree3 (=R3 aplicada a Tree2): • 1. AB • 2. (AvB) • 3. (CA) • 4. A R7, 2. • 5. B R7, 2. • 6. A B R3, 1.

14. {(AB)(AvB), (CA)} Tree4 R8 aplicada a Tree3 O ramo da esquerda contém B e B Como essa informação pode ser útil? 1. AB 2. (AvB) 3. (CA) 4. A R7, 2. 5. B R7, 2. 6. A B R3, 1 7. C C R8, 3. 8. A A R8, 3. Exemplo de Construção de um Tableau Semântico (cont.)

15. Ramo aberto e fechado • Ramo fechado – contém uma fórmula B e sua negação B, ou o símbolo de verdade false • Tableau fechado – não contém ramos abertos

16. Prova e Teorema em Tableaux Semânticos • Uma prova de H usando tableaux semânticos é ... • Um tableau fechado associado a... • H! • Neste caso, H é um teorema do sistema de tableaux semânticos

17. Exemplo de Prova em Tableaux Semânticos • Como provar H=((PQ)^(PQ)^(P))?? • Gerar um tableau fechado para H: • (((PQ)^(PQ)^(P)))

18. 1. (((PQ)^(PQ)^(P))) • 2. (PQ)^(PQ)^(P) R5, 1. • 3. PQ R1, 2. • 4. PQ R1, 2. • 5. P R1, 2. • 6. P R5, 5. • 7. P Q R3, 3. fechado • 8. P^Q P^Q R9, 4. • 9. P P R1, 8. • 10. Q Q R1, 8. fechado fechado

19. 1. ((PQ)vP)) • 2. (PQ) • 3. P • 4. P • 5. P^Q P^Q • 6. P P • 7. Q Q aberto fechado

20. Conseqüência Lógica em Tableaux Semânticos • Dada uma fórmula H e • um conjunto de hipóteses b={H1,H2,...Hn}, • então H é conseqüência lógica em tableaux semânticos de b • se existe uma prova, usando tableaux semânticos de • (H1^H2^...^Hn)  H

21. Notação de Conseqüência Lógica em Tableaux Semânticos • Dada uma fórmula H, se H é conseqüência lógica de um conjunto de hipóteses b={H1,H2,...Hn} em tableaux semânticos, diz-se que: • b├ H ou • {H1,H2,...Hn}├ H

22. Exemplo de Conseqüência Lógica em Tableaux Semânticos • Guga é determinado • Guga é inteligente • Se Guga é determinado, ele não é um perdedor • Guga é um atleta se é amante do tênis • Guga é amante do tênis se é inteligente • “Guga não é um perdedor” é conseqüência lógica das afirmações acima??

23. Solução • Provar H=(P^Q^((P^R)P1)^(Q1R)^(QQ1)) P1 • Mostrando que H é absurdo • (P^Q^((P^R)P1)^(Q1R)^(QQ1)) P1) gera um tableau fechado?

24. Conjunto insatisfatível • Como provar que um conjunto de fórmulas é insatisfatível? • Por exemplo: • b={AvB, (BvC), CD, (AvD)}

25. Conjunto insatisfatível (cont.) • b é insatisfatível sse não existe I tal que • I[AvB]=I[(BvC)]=I[CD]=I[(AvD)]=T • I,I[(AvB)^(BvC)^(CD)^(AvD)]=F • I,I[((AvB)^(BvC)^(CD)^(AvD))]=T • Portanto para provar que b é insatisfatível • Provar que ((AvB)^(BvC)^(CD)^(AvD)) é tautologia

26. Conjunto insatisfatível (cont.) • b ={AvB, (BvC), CD, (AvD)} é insatisfatível? • Provar que ((AvB)^(BvC)^(CD)^(AvD)) é tautologia • Vimos na parte de semântica (Validade e factibilidade) • H é válida DH é contraditória • Em tableaux semânticos • Gerar um tableau fechado para (((AvB)^(BvC)^(CD)^(AvD)))

27. Exemplo de conjunto insatisfatível • Olhando o tableau de {AvB, (BvC), CD, (AvD)}, quais outros conjuntos de fórmulas são insatisfatíveis? • {AvB, (BvC), CD} • {AvB, (BvC), (AvD)} • {AvB, CD, (AvD)} • {(BvC), CD, (AvD)}

28. Tableaux Completamente Abertos • Como provar que H é tautologia? • E se eu construir um tableau direto a partir de H (e não de H)? • Ex: H=(AvA)^(AB) • Construir os tableaux de H e de H • O que um tableau completamente aberto nos diz??

29. Tableaux Completamente Abertos (cont.) • Nada!! • Ex: G=(AvA)^(BB) • Construir os tableaux de G e de G • Conclusões?

30. Conclusões • Dada uma fórmula da lógica proposicional H • H é tautologia D Tableau associado a H é fechado • H é contraditória (insatisfatível) DH é tautologia D Tableau associado a H é fechado • H é refutável D Tableau associado a H é aberto (não necessariamente aberto completamente)

31. Exercícios de Formalização • A proposta de auxílio está no correio. Se os árbitros a receberem até sexta-feira, eles a analisarão. Portanto, eles a analisarão porque se a proposta estiver no correio, eles a receberão até sexta-feira. (C, S, A)

32. Solução • A proposta de auxílio está no correio. Se os árbitros a receberem até sexta-feira, eles a analisarão. Portanto, eles a analisarão porque se a proposta estiver no correio, eles a receberão até sexta-feira. C: A proposta de auxílio está no correio. S: Os árbitros recebem a proposta até Sexta-feira. A: Os árbitros analisarão a proposta. {C, SA, CS} |-- A

33. Exercício • Hoje é Sábado ou Domingo. Se hoje é Sábado então é um fim de semana. Se hoje é Domingo então é um fim de semana. Portanto, hoje é um fim de semana.

34. Exercício • Se hoje é Quinta-feira, então amanhã será sexta-feira. Se amanhã for sexta-feira, então depois de amanhã será sábado. Conseqüentemente, se hoje for quinta-feira, então depois de amanhã será sábado.