Kausaaliverkot ja todennäköisyyslaskennan kertaus Sivut 3-17

1. Kausaaliverkot ja todennäköisyyslaskennan kertausSivut 3-17 Juuso Liesiö

2. Sisältö • Päättely epävarmuuden vallitessa • Kausaaliverkot • Erilaiset kytkennät, evidenssin välittyminen • d-erotuksen käsite • Todennäköisyyslaskennan kertaus • Todennäköisyys • Satunnaismuuttujat • Ehdollinen riippumattomuus • Potentiaalit

3. Päättely epävarmuuden vallitessa • Esim. Auton käynnistymisen epävarmuus • Kuinka todennäköisesti auto käynnistyy? • Käynnistymiseen vaikuttavat polttoaineen määrä ja sytytystulppien puhtaus ja ne ovat epävarmoja • Toisaalta näyttääkö polttoainemittari oikein? • Jos totean mittarin näyttävän tankin olevan täynnä, onko käynnistymisen epävarmuus muuttunut? • Jos auto ei käynnistynyt ja mittari näyttää tankin olevan täynnä, muuttuuko sytytystulppien puhtauteen liittyvä epävarmuus

4. Puhtaat sytytystulpat {kyllä, ei} Polttoainetta? {kyllä, ei} Mittarin asento {0%,50%,100%} Käynnistyykö? {kyllä, ei} Päättely epävarmuuden vallitessa • Ongelmamme sisältää • Tilaltaan epävarmat muuttujat • Muuttujien mahdolliset tilat • Kausaalisuhteet (syy-seuraussuhteet) • Tämä on kausaaliverkko!

5. Kausaaliverkot (1/2) • Kausaaliverkko on suunnattu verkko • Solmut kuvaavat muuttujia • Muuttujalla äärellinen määrä mahdollisia tiloja • Tila yksikäsitteinen, mutta epävarma • Kaaret kuvaavat kausaalisuhteita • Käyttö: Vaikuttaako epävarmuuden muutos yhden muuttujan tilasta toisen muuttujan tilojen epävarmuuteen? • Ei kiinnitetä epävarmuuden laskennallista mallia

6. A B C D Kausaaliverkot (2/2) • Muuttujien suhteista • B on A:n lapsi • A on B:n vanhempi • Lapset ja vanhemmat ovat naapureita • B, C ja D ovat A:n jälkeläisiä • Epävarmuus muuttujien tilasta • Evidenssi: tietoa tilojen epävarmuudesta • Kova evidenssi  tila tunnetaan, tila ilmentynyt • Pehmeä evidenssi  tilan epävarmuus muuttuu

7. A V B Kalpeus Flunssa Pahoinvointi Sarjakytkentä • Evidenssi voi välittyä sarjakytkennän läpi (kumpaankin suuntaa), ellei kytkennässä olevan muuttujan V tila ole tunnettu (ilmentynyt) • Flussa lisää pahoinvoinnin todennäköisyyttä, mikä puolestaan lisää kalpeuden todennäköisyyttä • Jos ihminen voi pahoin, ei tieto flunssasta muuta kalpeuden todennäköisyyttä

8. V Sukupuoli B C ... E Hiusten pituus Pituus Haarautuva kytkentä • Evidenssi voi välittyä lapsien välillä ellei haarassa olevan muuttujan V tila ole tunnettu (ilmentynyt) • Pitkä ihminen on todennäköisesti mies ja miehillä on todennäköisesti on lyhyet hiukset • Jos tiedät että kyseessä on mies, ei tieto pituudesta vaikuta hiustenpituuteen liittyvään epävarmuuteen

9. Salmonella Flunssa ... B C E Pahoinvointi ... Kalpeus Yhdistyvä kytkentä • Evidenssi välittyy vanhempien välillä vain jos jälkeläisten ( ) tilasta on evidenssiä (muuta kuin vanhemmista johdettua informaatiota) • Sekä salmonella että flunssa voivat aiheuttavaa paihoinvointia, eikä tieto flunsasta muuta salmonellan epävarmuutta • Jos henkilö todetaan kalpeaksi, tieto että flunssaa ei ole nostaa salmonellan todennäköisyyttä

10. ... ... A V B A B ... ... V ... ... ... A B D-erotus (1/5) • Määritelmä: d-erotus (direction dependent criterion of connectivity) • Kaksi muuttujaa A ja B ovat d-erotetut jos kaikilla poluilla A:sta B:hen löytyy muuttuja V s.e. 1) kytkentä on sarjakytkentä tai haarautuva kytkentä ja V on ilmentynyt 2) tai kytkentä on yhdistyvä ja V tai sen jälkeläiset eivät ole saaneet evidenssiä

11. Puhtaat sytytystulpat {KYLLÄ, ei} Polttoainetta? {kyllä,ei} Mittarin asento {0%,50%,100%} Käynnistyykö? {ei,kyllä} D-erotus (2/5) • Väite: • Jos A ja B ovat d-erotettuja, niin epävarmuuden muutos A:ssa ei vaikuta B:n epävarmuuteen • Ilman tietoa auton käynnistymisestä, tieto sytytys-tulppien puhtaudesta ei vaikuta polttoaineen olemassaolon tai mittarin asentoon liittyvään epävarmuuteen

12. D-erotus (3/5) • Kun e on kova evidenssi, F on d-erotettu • A:sta • D:n kautta sarjakytkentä, D ilmentynyt • B:n kautta sarjakytkentä, B ilmentynyt • E:stä • B:n kautta haarutuva kytkentä, B ilmentynyt • G:stä • D:n kautta haarautuva kytkentä, D ilmentynyt

13. D-erotus (4/5) • Kun e on kova evidenssi, A on d-erotettu ainoastaan G:sta: • Evidenssi A:sta välittyy polkua A-D-H-K-I-E-C-F-J-L

14. D-erotus (5/5) • Kun e on kova evidenssi E ei ole d-erotettu F:stä, B:stä tai A:sta • Evidenssi välittyy polkua E-H-F-B-D-A • E on siis d-yhdistetty F:n, B:n ja A:n kanssa, vaikka kaikki E:n naapurit ilmentyneet

15. Markov-peite (1/2) • Määritelmä: Markov-peite • Muuttujan A Markov-peitteeseen kuuluvat A:n vanhemmat ja lapset sekä lasten muut vanhemmat • Huomio • Jos A:n Markov-peitteen kaikki muuttujat ilmentyneet, niin A on d-erotettu muusta verkosta

16. Markov-peite (2/2) • Punaisella E:n Markov-peite, jonka kaikki muuttujat ovat ilmentyneet • Nyt E on d-erotettu A:sta ja B:stä, koska kaikilla poluilla on sarjakytkennässä ilmentynyt muuttuja • Siis muuttujat C, D ja F

17. Tapahtumat ja todennäköisyys • Tapahtuman a todennäköisyys P(a) • i) Tapahtuma a on varma, jos P(a)=1 • ii) Jos tapahtumat a ja b ovat toisensa poissulkevia eli niin • Ehdollinen todennäköisyys • a:n todennäköisyys jos b on tapahtunut on x • Merkintä P(a|b)=x • Huom! Merkintä olettaa että kaikki muut tapahtumat ovat epäoleellisia a:lle

18. Perussääntö ja Bayesin kaava • Todennäköisyyslaskun perussääntö • , missä P(a,b) on todennäköisyys että tapahtuu a ja b • Ehdollistaminen tapahtuman c suhteen • Bayesin kaava • Perussäännöstä seuraa , eli Bayesin kaava • Ehdollistaminen tapahtuman c suhteen

19. Likelihood • Ehdollinen todennäköisyys P(a|b) • Nimitetään myös “a:n likelihood ehdolla b” ja merkitään L(a|b) • Esim. eri skenaarioita joilla vaikutus a:n tapahtumiseenja tiedetään että a on tapahtunut. Kuinka todennäköistä on, että on a:n syy kun ?

20. Satunnaismuuttujat (1/4) • Satunnaismuuttuja A • Mahdolliset (toistensa poissulkevat) tilat • A:n Todennäköisyys jakauma yli tilojen • Todennäköisyys sille, että • Kun on selvä mihin satunnaismuuttujaan viitataan, merkitään

21. Satunnaismuuttujat (2/4) • Olkoon B satunnaismuuttuja, jolla tilat • P(A,B) on n kertaa mtaulukko, jossa alkioina todennäköisyydet • P(A|B) on n kertaa mtaulukko, jossa alkioina todennäköisyydet • Taulukoilla laskeminen • Merkitään • Lasketaan

22. Satunnaismuuttujat (3/4) • Marginalisointi • P(A,B):n avulla voidaan laskea reunajakauma P(A) • Tapahtumat toistensa poissulkevia, joten ii)-aksiooman perusteella • Merkintä

23. Satunnaismuuttujat (4/4)

24. A B C Ehdollinen riippumattomuus (1/2) • Ajatellaan sarjaan kytkentää • Jos tiedetään ei tieto C:stä vaikuta A:n epävarmuuteen • Muuttuja A ja C ovat riippumattomat annettuna muuttujaB • Todennäköisyyksillä asia ilmaistaan • Merkitään , vaikka taulukot ovat eri dimensiota

25. A B C Ehdollinen riippumattomuus (2/2) • Ehdollinen riippumattomuus on symmetrinen • Jos pätee niin käyttämällä Bayesin kaavaa • Seuraus • Jos pätee , niin

26. Potentiaalit • Todennäköisyystaulukoita nimitetään yleisemmin potentiaaleiksi • Esim. , jolloin potentiaalin määrittelyjoukko on • Näitä voidaan kertoa ja marginalisoida, kuten edellä nähtiin • Tuloksena uusi potentiaali • Kertomisella ja marginalisoinnilla tärkeitä ominaisuuksia

27. Potentiaalien kertominen • Olkoon A ja B satunnaismuuttujia • Alkioittain pätee • Olkoon A, B ja C satunnaismuuttujia • Alkioittain pätee

28. Potentiaalien marginalisointi (1/4) • iv) Yksikköpotentiaalille 1 pätee • Marginalisointi • Merkintä eli “summataan yli A:n” • Mariginalisointi järjestys on vaihdettavissa • Esim.

29. Potentiaalien marginalisointi (2/4) • Marginalisointia C:n suhteen ei tarvitse tehdä potentiaaleille, joiden määrittelyalueeseen C ei kuulu • Esim.

30. Potentiaalien marginalisointi (3/4) • Ehdollistetun muuttujan marginalisointi tuottaa yksikkö potentiaalin • Esim. on summa toistensapoisulkevien tapahtumien yli ja toisaalta on varmaa että A saa jonkin arvon, joten

31. Potentiaalien marginalisointi (4/4) • Vaihtoehtoinen merkintä marginalisoinnille • V joukko muuttujia, joita “ei summata yli” • “Projektoidaan V:lle” • Ominaisuudet uudella notaatiolla