Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében

1. Elektronikus kereskedelem Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében V. ElőadásA MEAN-VARIANCE PORTFOLIÓ ELMÉLET PÉNZÜGYI MATEMATIKA ÉS KOCKÁZATANALÍZIS Az Európai Szociális Alap támogatásával

2. Tartalom Eszközhozam Rövidre eladás Portfóliók A relatív portfólió Véletlen hozamok Diverzifikálás A Markowitz-modell Two fund tétel One fund tétel HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

3. ESZKÖZHOZAM (ASSET RETURN) VÉTELRE, I. Asset: szabadon vehető-adható befektetési eszköz Teljes hozam vételre (total return): vétel a 0 időpontban, $ X0 értékben eladás 1 évvel később, $ X1 értékben teljes hozam Hozam (rate of return): HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

4. ESZKÖZHOZAM VÉTELRE, II. Alapösszefüggések: HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

5. RÖVID ELADÁS (SHORT SALES) I. Eladok valamit, amit nem birtokolok. A folyamat: kölcsön veszem az eszközt: A -t eladom X0 összegért majd vásárolok A -t X1 -ért, X1<X0 visszaadom a kölcsönt a profit: X0 – X1 A rövid eladás (shorting) nyereséges, ha az eszköz ára esik. HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

6. RÖVID ELADÁS II. A rövid eladás kockázata: a veszteség: X1 – X0 tetszőlegesen nagy lehet A rövid eladás pénzáramlása: 0-ban kapok X0 -t és 1-ben fizetek X1 -t ekvivalens módon, a szokásos megfogalmazással: 0-ban fizetek -X0 -t és 1-ben kapok -X1 -t HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

7. RÖVID ELADÁS III. A teljes hozam: (javitás: a nevezőt és a számlálót fel kell cserélni): (tipikusan) A hozam: Megjegyzés: mindig igaz, hogy r > -1 ! HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

8. RÖVID ELADÁS IV. Példa:shorting 100 db CBA részvény a részvény jelenlegi ára: $ 10 kölcsönveszek 100 részvényt eladom $ 1000 -ért az év végén a részvény ára esik : $ 9 vásárolok 100 db CBA részvényt $ 900 -ért a profit: $ 100, ( R=0,90, r=-0,10 ) A gyakorlat: a kölcsönvétel egy biztonsági letét (margin) elhelyezéséhez kötött. HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

9. PORTFOLIÓK A befektetendő összeg: X0, az i-dik eszközből: X0iösszegért vesszük: ha a rövid eladás tiltott, akkor X0i≥ 0 minden i-re. az (X01, …, X0n) vektor azonosítja a portfoliót. HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

10. RELATÍV PORTFOLIÓ Legyen Ekkor wi az i -dik eszköz eszköz súlya. A (w1,…,wn) vektor a relatív portfolió. Nyilván: Ha a rövid eladás tiltott, akkor wi≥ 0 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

11. PORTFOLIÓ HOZAM Az i -dik eszköz teljes hozama: Ri Az i -dik eszköz értéke a periódus végén: Összegzés után a portfolió teljes hozama Innen , alapján: HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

12. VÉLETLEN HOZAMOK GM, AT&T, IBM részvények tipikus hozamai: várható érték: 12% standard szórás: 15% HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

13. PORTFOLIÓ VÉLETLEN HOZAMA n db eszköz: véletlen hozamok ri várható értékek kovariancia ij A portfolió véletlen hozama: HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

14. VÁRHATÓ ÉRTÉK ÉS SZÓRÁS A portfolió véletlen hozama: r Várható értéke: Szórása: HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

15. DIVERZIFIKÁLÁS I. „Don’t put all your eggs in one basket.” Több eszköz → kisebb kockázat Példa: n korrelálatlan eszköz, minden i –re Ekkor tetszőlegesen kicsi lehet! HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

16. DIVERZIFIKÁLÁS II. A diverzifikálás határai: korrelált eszközök Példa: minden i ≠ j -re. Ekkor minden n –reés minden wi-re ! HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

17. A MEGENGEDETT TARTOMÁNY A relatív portfolió: lehetséges értékek: HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

18. A VARIANCIA MINIMALIZÁLÁSA Minimum variancia halmaz; hatékony határportfóliók Kockázatkerülés: fix átlagos hozam mellett minimális szórás. HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

19. A MARKOWITZ MODELL I. n db eszköz: várható hozamok: kovarianciák: ij súlyok: wi A probléma: keressük azt a portfóliót, amelynek a várható hozama adott , és szórása minimális HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

20. A MARKOWITZ MODELL II. Formálisan: keressük a wi súlyokat, amelyekkel minimális feltéve, hogy HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

21. A MARKOWITZ PROBLÉMA MEGOLDÁSA I. A Lagrange szorzók:  és  A Lagrange függvény: Az optimalitás feltétele: minden i -re Fontos feltétel: rövid eladás megengedett! HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

22. A MARKOWITZ PROBLÉMA MEGOLDÁSA II. Az optimalitás feltétele: léteznek olyan  ,  hogy w kielégíti: (a) (b) (c) Ez egy lineáris egyenlet n+2 ismeretlenben. Megjegyzés: a rövid eladás tiltása mellett: → kvadratikus programozás HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

23. A TWO FUND TÉTEL I. Az optimalitási feltétel lineáris, ezért: vegyünk két optimális portfoliót: ekkor az -hez tartozó optimális megoldás: Tehát, ha efficiensek, akkor is az. HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

24. A TWO FUND TÉTEL II. Tétel: Tetszőleges két különböző efficiens portfolióból bármely más efficiens portfolió előállítható (synthetized, duplicated). Vagyis: egy befektetőnek elegendőkét alapba (two fund) befektetnie. Következmény: Két befektetési alapba(mutual fund) való efficiens befektetéssel minden efficiens befektetés előállítható. Mutual fund: a tőkémet újrabefekteti több részvénybe. HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

25. KOCKÁZATMENTES ESZKÖZ BEVONÁSA Hitelfelvétel ill. hitelnyújtás (borrowing vs. lending): a kockázatmentes kamat rf, és itt f = 0 ! Következmény: tetszőleges kockázatos rhozamra: Cov(r, rf) = 0. Egy  portfolió: átlaga: szórása: (lineáris függés !) HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

26. A ONE FUND TÉTEL I. A portfolió képe az síkon: egy  –val paraméterezett egyenes Következmény: megengedett tartomány egy szögtartomány (kúp) az efficiens határ most egy egyenes. Az F érintési pont: egy kockázatos eszközből álló fund. HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10

27. A ONE FUND TÉTEL II. A one-fund tétel: Létezik egyetlen olyan kockázatos eszközekből álló fund, hogy minden efficiens portfolió előáll az F és a kockázatmentes eszköz lineáris kombinációjaként. HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10