SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES

1. SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES • Objetivos: • Analisar a solução de equações não lineares na análise dinâmica Solução de equações não lineares

2. Introdução • A solução da resposta dinâmica não linear de um sistema de elementos finitos é obtida através dos procedimentos: • Formulações incrementais • Soluções iterativas • Algoritmos de integração no tempo Explora-se na seqüência como estes procedimentos são empregados juntos na análise dinâmica não linear. Solução de equações não lineares

3. Integração explícita A restrição do método reside que para estabilidade o passo do tempo satisfaz, O operador de integração no tempo explícito usado na análise dinâmica não linear é o operador de diferença central. O equilíbrio do sistema de elementos finitos é considerado no tempo t para calcular os deslocamentos em t+t. Desprezando o efeito da matriz de amortecimento, opera-se para cada passo de tempo nas equações: e Tn é o menor período do modelo MEF. A restrição, derivada no sistema linear, aplica-se também para um sistema não linear, pois para cada passo do tempo a resposta não linear aproxima-se da linear. Mas na análise não linear as propriedades de rigidez mudam no calculo da resposta. Estas mudanças nas condições do material e/ou geométricas entram na avaliação do vetor de forca tF. Como Tn não é constante durante o calculo da resposta, o t precisa diminuir se o sistema enrijece, satisfazendo t≤Tn/. tF: vetor de forças nodais correspondentes às tensões elementares no tempo t tR: vetor de cargas nodais aplicadas externamente no tempo t A solução parat+tU é obtida substituindo a diferença central para as acelerações, Solução de equações não lineares

4. Integração implícita Usando a regra trapezoidal de integração no tempo, assume-se, Os esquemas de integração implícita no tempo para análise dinâmica linear servem para análise não linear. Uma técnica comum é a regra trapezoidal, chamado método de Newmark para =½ e =¼, método usado para demonstrar mais considerações na análise não linear. Das últimas três equações da para obter: Como na análise linear considera-se o equilíbrio do sistema no tempo t+t, o que precisa que uma iteração seja feita. Usando a iteração de Newton-Raphson modificada, as equações de equilíbrio sem considerar o amortecimento são: e substituindo na primeira, temos: onde, A análise não linear dinâmica, usando integração no tempo implícita, é da mesma forma que a análise não linear estática, exceto que a matriz de coeficientes e o vetor de forças nodais contem contribuições da inércia do sistema. Solução de equações não lineares

5. Integração implícita (cont.) RTOL: tolerância de força ETOL: tolerância de energia Como a inércia do sistema suaviza a resposta estática, a convergência da iteração é mais rápida e melhora ao diminuir t. A contribuição da matriz de massa cresce e chega a ser dominante ao diminuirt. Caso Pendulo simples idealizado como elemento de treliça (truss) com uma massa concentrada no seu extremo livre. O pêndulo libera-se da posição horizontal e a resposta é obtida para um período de oscilação. As tolerâncias de convergência, incluindo os efeitos de inércia, são: Análise de um pêndulo simples usando regra trapezoidal, RNORM=mg • Usar (resumo): • um operador incondicionalmente estável da análise linear (i.e. regra trapezoidal), • iterações de equilíbrio com tolerâncias de convergência estreitas, • um passo de tempo que permita convergência nas iterações de equilíbrio Solução de equações não lineares

6. Sobreposição modal As equações de equilíbrio para solução da resposta no tempo t+t são: Aplicam-se os mesmos princípios básicos da análise linear. Os modos e freqüências de vibração mudam, e para transformar a matriz de coeficientes na forma diagonal, os modos de vibração livre do sistema no tempo t devem ser usados na transformação. K: matriz de rigidez de uma configuração em algum tempo prévio  Na análise de sobreposição modal usa-se: O cálculo dos modos e freqüências de vibração no tempo t, quando estas foram calculadas em um tempo anterior, podem ser economicamente usadas no método de iteração de sub-espaços. t+txi: i-ésimo deslocamento modal generalizado no tempo t+t i, i: freqüências e modos de vibração livre do sistema no tempo  A análise por sobreposição modal da resposta dinâmica não linear é normalmente efetiva somente quando a solução pode ser obtida sem atualizar a matriz de rigidez tão freqüentemente. e o sistema nos deslocamentos modais generalizados no tempo  resulta: Efetiva se poucos modos são considerados. (ex. resposta terremoto e excitação vibrat.) Solução de equações não lineares

7. Solução de equações não lineares