Číselné sústavy

1. 9415 10 8E H 752 8 VII Číselné sústavy 10110010 2

2. Základné pojmy • Číselná sústava je systém jednoznačných pravidiel pre zobrazenie číselných hodnôt pomocou konečného počtu znakov (číslic, cifier) • Číslo je reprezentované v danej číselnej sústave postupnosťou číslic • Číselnú sústavu charakterizuje z vonkajšieho pohľadu použitá množina znakov - číslic

3. Delenie číselných sústav • Polyadické (pozičné) – význam číslice vždy závisí od jej pozície v zápise • Pozičné sústavy sú napr. desiatková, osmičková, dvojková, šestnástková • Nepolyadické (nepozičné) – význam číslice nemusí vždy závisieť od jej pozície v zápise • Nepozičné sústavy sú napr. rímska alebo „pivná“ • Vo výpočtovej technike sa používajú len pozičné sústavy

4. Prevody medzi číselnými sústavami • V súvislosti s programovaním a výpočtovou technikou vôbec sa najčastejšie stretneme s číslami v sústave desiatkovej(dekadickej), osmičkovej(oktálovej), šestnástkovej(hexadecimálnej) a dvojkovej(binárnej) • Preto sa ďalej budeme zaoberať prevodmi čísel: • z desiatkovej sústavy do sústavy s iným základom • zo sústavy s nedesiatkovým základom do desiatkovej sústavy • medzi sústavami so základom rovným mocnine čísla 2 (praktický význam majú prevody medzi dvojkovou, osmičkovou a šestnástkovou sústavou)

5. Prevod celých čísel z desiatkovej sústavy do sústavy s iným základom • Nech A je hľadané číslo a jeho jednotlivé cifry sú ai(i=0, …, n) • Nech Nc je celé číslo v desiatkovej sústave • Nech z je základ číselnej sústavy, do ktorej ideme prevádzať • Potom ai = zvyšok po delení (Nci /z), kde Nci je celočíselný podiel Nci-1/z a Nc0=Nc

6. Príklad Príklad: Preveďte číslo 39 z desiatkovej do dvojkovej sústavy. Dané: Nc=Nc0=39 z=2 A=? Vzťahy: ai = zvyšok po delení (Nci /z) Nci je celočíselný podiel Nci-1/z V Ý Z N A M (39)10 = (100111)2

7. Prevod desatinných čísel z desiatkovej sústavy do sústavy s iným základom • Nech A je desatinná časť čísla, ktorú hľadáme a jej jednotlivé cifry sú a-i (i=1, …, m) • Nech Nd je desatinná časť čísla v desiatkovej sústave • Nech z je základ číselnej sústavy, do ktorej ideme prevádzať • Potom • a-i = celá časť súčinu (Ndi*z) • Ndi+1= (Ndi*z)- ai • Nd1=Nd

8. Príklad Príklad: Preveďte číslo 0,3 z desiatkovej do dvojkovej sústavy s presnosťou na 6 desatinných miest. Dané: Nd=Nd1=0,3 z=2 A=? Vzťahy: ai=celá časť súčinu (Ndi*z) Ndi+1=(Ndi*z)- ai V Ý Z N A M (0,3)10 = (0,010011...)2

9. Prevod celých čísel zo sústavy s nedesiatkovým základom do desiatkovej sústavy • Nech A je celé číslo v sústave s nedesiatkovým základom a jeho jednotlivé cifry sú ai (i=n,n-1,...0) • Nech z je základ číselnej sústavy, z ktorej ideme prevádzať • Nech Nc je hľadané číslo • Potom • Si = Si+1*z+ai • Nc=S0 • Sn+1=0 • Alebo Hornerova schéma

10. Príklad Príklad: Preveďte číslo 100111 z dvojkovej do desiatkovej sústavy. Dané: S6=0, z=2 a5=1,a4=0,a3=0, a2=1,a1=1,a0=1 Nc=S0=? Vzťahy: Si = Si+1*z+ai (100111)2 = (39)10

11. Príklad Príklad: Preveďte číslo 100111 z dvojkovej do desiatkovej sústavy. Dané: z=2 a5=1,a4=0,a3=0, a2=1,a1=1,a0=1 Nc=? Vzťahy: Riešenie: Nc = a5*25 + a4*24 + a3*23 + a2*22 + a1*21 + a0*20 Nc = 1*32 + 0*16 + 0*8 + 1*4 + 1*2 + 1*1 Nc = 32 + 0 + 0 + 4 + 2 + 1 Nc = 39 (100111)2 = (39)10

12. Prevod desatinných čísel zo sústavy s nedesiatkovým základom do desiatkovej sústavy • Nech A je desatinná časť čísla v sústave s nedesiatkovým základom a jej jednotlivé cifry sú ai (i=-1,-2,...-m) • Nech z je základ číselnej sústavy, z ktorej ideme prevádzať • Nech Nd je desatinná časť hľadaného čísla • Potom • S-i = S-i-1/z+a-i • Nd=S-1/z • S-m-1=0 • Alebo

13. Príklad Príklad: Preveďte číslo 0.010011 z dvojkovej do desiatkovej sústavy. Dané: S-7=0, z=2 a-6=1,a-5=1,a-4=0, a-3=0,a-2=1,a-1=0 Nd=S-1/z=? Vzťahy: S-i = S-i-1/z+a-i (0,010011)2 = (0,296875)10

14. Príklad Príklad: Preveďte číslo 0.010011 z dvojkovej do desiatkovej sústavy. Dané: z=2 a-6=1,a-5=1,a-4=0, a-3=0,a-2=1,a-1=0 Nd=? Vzťahy: Riešenie: Nd = a-6*2-6 + a-5*2-5 + a-4*2-4 + + a-3*2-3 + a-2*2-2 + a-1*2-1 Nd = 1*0,015625 + 1*0,03125 + 0*0,0625 + + 0*0,125 + 1*0,25 + 0*0,5 Nd = 0,015625 + 0,03125 + 0 + + 0 + 0,25 + 0 Nd = 0,296875 (0,010011)2 = (0,296875)10

15. Prevod medzi sústavami so základom rovným mocnine čísla 2 • Nech A je číslo v sústave, z ktorej ideme prevádzať a jeho cifry sú ai • Nech P je číslo v sústave, do ktorej ideme prevádzať a jeho cifry sú pi • Prevod medzi sústavami so základmi 2j a 2k

16. Prevod medzi sústavami so základmi 2j a 2k ak j=2 a k>2 • Číslo A je v tvare anan-1...a1a0.a-1a-2...a-m • Postup: • K celej časti pridáme nuly zľava tak, aby počet číslic bol násobkom k • K desatinnej časti pridáme nuly sprava tak, aby počet číslic bol násobkom k • Z cifier ai vytvoríme k-tice, ktoré potom prevádzame na cifry pi

17. Príklad Príklad: Preveďťe číslo 1110011.1101 z dvojkovej do osmičkovej sústavy Riešenie: Základ dvojkovej sústavy je 2=21, teda j=1. Základ osmičkovej sústavy je 8=23, teda k=3. 1. K celej časti pridáme nuly zľava tak, aby počet číslic bol násobkom k. Počet číslic celej časti je 7. Najbližší násobok čísla 3 je 9. Teda celá časť čísla bude mať 9 číslic => 001110011 2. K desatinnej časti pridáme nuly sprava tak, aby počet číslic bol násobkom k. Počet číslic desatinnej časti je 4. Najbližší násobok čísla 3 je 6. Teda desatinná časť čísla bude mať 6 číslic => 110100

18. Príklad 3. Z cifier ai vytvoríme k-tice, ktoré potom prevádzame na cifry pi. Teda z cifier čísla 001110011.110100 vytvoríme trojice, ktoré potom prevádzame. 001 | 110 | 011 . 110 | 100 1 6 3 . 6 4 (1110011,1101)2 = (163,64)8

19. Prevod medzi sústavami so základmi 2j a 2k ak j>2 a k=2 • Číslo A je v tvare anan-1...a1a0.a-1a-2...a-m • Postup: • Jednotilvé číslice ai prevádzame na j-tice

20. Príklad Príklad: Preveďťe číslo 163.64 z osmičkovej do dvojkovej sústavy Riešenie: Základ osmičkovej sústavy je 8=23, teda j=3. Základ dvojkovej sústavy je 2=21, teda k=1. 1. Jednotilvé číslice ai prevádzame na trojice 1 6 3 . 6 4 001 110 011 . 110 100 (1110011,1101)2 = (163,64)8

21. Prevod medzi sústavami so základmi 2i a 2j ak i>2 a j>2 • Číslo A je v tvare anan-1...a1a0.a-1a-2...a-m • Postup: • Číslo A prevedieme do dvojkovej sústavy, podľa postupu prevodu medzi sústavami so základmi 2i a 2j ak i>2 a j=2 • Nové A v dvojkovej sústave prevedieme podľa postupu prevodu medzi sústavami so základmi 2i a 2j ak i=2 a j>2