I TASSI EQUIVALENTI

1. I TASSI EQUIVALENTI Argomenti Tassi equivalenti, tasso nominale, tasso istantaneo

2. Tassi equivalenti In un assegnato regime finanziario, due tassi di interesse, riferiti ad orizzonti temporali diversi, si dicono equivalenti se i corrispondenti fattori di capitalizzazione per un’operazione finanziaria della stessa durata t risultano uguali. i Tasso di interesse annuo i1/m Tasso di interesse periodale (riferito ad 1/m di anno) Esempio i1/2 Tasso di interesse semestrale i1/4 Tasso di interesse trimestrale i1/12 Tasso di interesse mensile Anni Periodi

3. Tassi equivalenti Se in corrispondenza del tasso di interesse annuo consideriamo la durata di una determinata operazione t espressa in anni, allora, in corrispondenza di un tasso periodale i1/m la durata della medesima operazione sarà pari a , espressa in frazioni di anno. ESEMPIO: Operazione finanziaria di durata pari ad 1 anno

4. Tassi equivalenti Regime dell’interesse semplice

5. Tassi equivalenti Regime dell’interesse composto

6. Esercizi ESERCIZIO 1 Dato un tasso di interesse quadrimestrale (i1/3) pari a 4,65%, nel regime dell’interesse composto, calcolare i tassi di interesse annuo (i) e mensile (i1/12) ad esso corrispondenti.

7. Esercizio Riprendendo i dati dell’esercizio precedente calcoliamo gli stessi tassi incogniti ipotizzando di trovarci nel regime dell’interesse semplice.

8. Tasso nominale di interesse Ipotizziamo di trovarci nel regime dell’interesse composto e che il capitale iniziale (C) sia investito ad un tasso annuo di interesse (i). L’interesse via via generato viene però corrisposto all’investitore a periodicità prefissate, ad esempio m volte l’anno. Dopo la prima frazione (1/m) di anno verrà quindi reso disponibile all’investitore l’interesse maturato. Questo interesse non viene automaticamente capitalizzato, al termine della seconda frazione di anno (2/m) il capitale fruttifero sarà ancora pari a C, di conseguenza anche alla fine di questo periodo l’investitore riceverà una cedola di interesse pari a

9. Tasso nominale di interesse Graficamente la situazione può essere così rappresentata M C+Ci1/m C Ipotizzando che l’investimento duri un anno, alla fine di questo periodo l’investitore avrà ricevuto per ogni euro investitom “cedole” di pari importo (i1/m). 3/m 4/m 1/m 2/m t

10. Tasso di interesse nominale TASSO DI INTERESSE NOMINALE Il tasso nominale annuo di interesse convertibile m volte nell’anno equivalente al tasso di interesse annuo effettivo (i), indicato con j(m), è la somma aritmetica delle cedole corrisposte all’investitore per ogni euro investito. Non ha un significato finanziario diretto, in quanto somma aritmetica di capitali disponibili ad epoche diverse

11. Esercizi ESERCIZIO 1 Dato un tasso di interesse annuo effettivo (i) del 10,25%, nel regime dell’interesse composto, determinare l’equivalente tasso di interesse nominale convertibile 3 volte l’anno (j(3)).

12. Tasso di interesse istantaneo Se il tasso di interesse nominale j(m) è convertibile infinite volte nell’anno, ossia è convertibile istante per istante, si può giungere al seguente risultato tramite le proprietà dei limiti notevoli. Dove la quantità è definita tasso istantaneo di interesse corrispondente al tasso di interesse effettivo annuo (i). Ricavando il tasso di interesse effettivo annuo dalla relazione appena enunciata si avrà:

13. Il tasso di interesse nominale annuo è: Confronto tra tassi equivalenti • Minore di quello effettivo annuo se m>1; • Maggiore di quello effettivo annuo se m<1 • Uguale a quello effettivo annuo se m=1 • Al crescere di m tende al valore del tasso di interesse istantaneo

14. L’andamento dei tassi equivalenti rappresentato graficamente è validato dalla seguente tabella dove sono evidenziati i valori dei tassi equivalenti a determinati tassi di interesse effettivi annui per diversi valori di m, nonché i relativi tassi istantanei di interesse. Confronto tra tassi equivalenti

15. Alcune relazioni notevoli

16. Tasso istantaneo di interesse-Capitalizzazione- Dalle relazioni precedenti risulta evidente che, nell’operazione di capitalizzazione, utilizzare il tasso effettivo annuo (i) o il corrispondente tasso istantaneo (δ) conduce agli stessi risultati. ESEMPIO Dato un capitale iniziale di € 100 investito nel regime dell’interesse composto ad un tasso di interesse effettivo annuo del 20% determinare il montante generato alla fine del terzo anno di investimento.

17. Tasso istantaneo di interesse-Attualizzazione- Ricordando che: Allora possiamo esprimere anche il fattore di attualizzazione tramite il tasso istantaneo di interesse: Si può di conseguenza affermare che anche per quanto riguarda l’operazione di attualizzazione è indifferente che essa venga svolta per mezzo del tasso effettivo di interesse annuale o tramite il tasso di interesse istantaneo corrispondente.

18. Tasso istantaneo di interesse-Attualizzazione- ESEMPIO Dato un tasso di interesse effettivo annuo del 15% determinare il valore attuale di un capitale finale di € 100 disponibile tra due anni.

19. Esercizi ESERCIZIO 1 Determinare il valore attuale di un capitale di € 3000 disponibile tra un anno e mezzo investito nel regime dell’interesse composto ad un tasso nominale convertibile semestralmente (j(2)) pari al 15%.

20. Esercizi ESERCIZIO 2 Determinare il valore attuale di un capitale di € 5000 disponibile tra due anni e nove mesi investito nel regime dell’interesse composto ad un tasso di interesse istantaneo (δ) pari al 12,5%.

21. Esercizi ESERCIZIO 3 Determinare il tasso di interesse istantaneo (δ) in base al quale un capitale di € 2400 genera un montante di € 3000 dopo un anno e mezzo.

22. Esercizi ESERCIZIO 4 Dato un tasso istantaneo di interesse (δ) pari al 10% calcolare il tasso semestrale di interesse equivalente (i1/2).

23. Relazioni di base tra tassi equivalenti Tasso annuo – Tasso periodale Tasso nominale - Tasso annuo – Tasso periodale

24. Relazioni di base tra tassi equivalenti Tasso istantaneo - Tasso annuo – Tasso periodale

25. Criteri per la scelta degli investimenti Argomenti Operazioni finanziarie, Valore Attuale Netto (VAN), Tasso Interno di Rendimento (TIR)

26. Le operazioni finanziarie OPERAZIONI FINANZIARIE Queste operazioni si manifestano come una successione, finita o infinita, di somme di denaro in entrata e in uscita (flussi di cassa), scadenzate nel tempo. Ipotesi • Flussi certi • Scadenze determinate • Operazioni finanziarie discrete (P.I.-P.O. => point inputs – point outputs)

27. Le operazioni finanziarie Un’operazione finanziaria è rappresentabile come una famiglia di coppie in cui xh rappresenta il generico importo (positivo o negativo) relativo all’epoca th, in simboli oppure In particolare: • xh>0Flusso in entrata all’epoca th(es.ricavi da investimento, somme prese in prestito …) • xh<0Flusso in uscita all’epoca th (es.somme investite, spese relative all’operazione, rimborso di prestiti …)

28. Le operazioni finanziarie RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DI UN’OPERAZIONE FINANZIARIA OPERAZIONI FINANZIARIE • Investimento (tutte le uscite precedono tutte le entrate) • Finanziamento (tutte le entrate precedono tutte le uscite) Le operazioni finanziarie sono definite “semplici” se una sola uscita precede tutte le entrate (caso dell’investimento) o se una sola entrata precede tutte le uscite

29. Il VAN (Valore Attuale Netto) VAN Il Valore Attuale Netto di un’operazione finanziaria è dato dalla somma dei flussi di cassa attualizzati relativi all’operazione stessa. L’applicazione della formula del VAN richiede, oltre al flusso di cassa connesso all’operazione che è dato, la scelta del tasso di interesse da utilizzare. Il VAN di un progetto assume il significato di valore attuale del guadagno che lo stesso progetto permetterà di conseguire

30. Criterio del VAN Il calcolo del VAN è utile per decidere quale tra alternativi progetti sia più conveniente. Naturalmente la scelta ricade sul progetto caratterizzato dal VAN maggiore. Per essere confrontabili due progetti devono essere omogenei, ossia devono avere: • Stessa durata • Stessa entità di capitale investito • Stesso tasso di valutazione CRITICHE AL CRITERIO DEL VAN • Soggettività nella decisione del tasso di interesse col quale scontare i flussi • Assunzione dell’ipotesi che tale tasso sia stabile nel tempo

31. Il TIR (Tasso Interno di Rendimento) Il TIR è un indicatore che esprime la redditività di un’operazione finanziaria in termini di tasso. Caratteristiche: • è intrinseco nell’operazione in questione • è oggettivamente determinabile Il TIR si ricava dalla seguente relazione Questo equivale a dire che, secondo tale tasso, il valore attuale dei flussi in uscita uguaglia il valore attuale dei flussi in entrata.

32. Criterio del TIR Il criterio del TIR permette di scegliere tra operazioni finanziarie alternative a seconda che l’operazione in questione sia un investimento o un finanziamento. • Investimento si sceglie l’alternativa caratterizzata dal TIR maggiore • Finanziamento si sceglie l’alternativa caratterizzata dal TIR minore CRITICITA’ Non è sempre possibile determinare il TIR delle operazioni finanziarie e di conseguenza il relativo criterio non è sempre applicabile. Teorema di Nostrom Se le poste di un’operazione finanziaria {(xh,th)} rispettano le seguenti condizioni: allora l’operazione stessa possiede un TIR positivo

33. Esercizi su TIR e VAN ESERCIZIO 1 Un’azienda acquista un macchinario per € 20.000. Sapendo che tale acquisto incrementerà le entrata dell’azienda di € 6.000 nel primo anno, di € 8.000 nel secondo anno e di € 11.000 nel terzo anno, calcolare il TIR dell’investimento e il VAN secondo l’ipotesi che il tasso di valutazione sia del 9%.

34. Esercizi su TIR e VAN ESERCIZIO 2 Un’azienda deve scegliere tra due investimenti alternativi: INVESTIMENTO A • Acquisto di un impianto per € 70.000 • Entrate stimate 1°anno € 14.000 • Entrate stimate 2°anno € 16.000 • Entrate stimate 3°anno € 20.000 • Entrate stimate 4°anno € 25.000 • Entrate stimate 5°anno € 20.000 • Entrate stimate 6°anno € 19.000 INVESTIMENTO B • Acquisto di un impianto per € 120.000 • Entrate stimate 1°anno € 26.000 • Entrate stimate 2°anno € 28.000 • Entrate stimate 3°anno € 34.000 • Entrate stimate 4°anno € 36.000 • Entrate stimate 5°anno € 25.000 • Entrate stimate 6°anno € 15.000 Determinare la scelta che l’azienda farà basandosi sul criterio del VAN con tasso di valutazione del 9% e basandosi sul criterio del TIR. I due approcci sono tra loro coerenti?

35. Calcolo delle probabilità Legge delle Probabilità Totali per eventi incompatibili Legge delle Probabilità Totali per eventi compatibili Eventi indipendenti

36. Calcolo delle probabilità Probabilità Condizionata Legge delle Probabilità Composte Teorema di BAYES

37. Calcolo delle Probabilità ESERCIZIO 1 In una città vengono venduti tre giornali: A,B,C. Da un’indagine risulta che il 47% degli abitanti legge il giornale A, il 34% il giornale B, il 12% il giornale C; l’8% legge A e B, il 5% legge A e C, il 4% legge B e C e infine il 4% legge tutti e tre i giornali. Se si sceglie a caso una persona trovare la probabilità che: • Non legga alcun giornale • Legga solo un giornale • Legga A e B sapendo che legge almeno un giornale

38. Calcolo delle Probabilità ESERCIZIO 2 In un palazzo vivono solo tre famiglie: A, B, C, di 4 componenti ciascuna. La famiglia A è composta da 4 maschi, la B da 3 maschi e 1 femmina, la C da 2 maschi e 2 femmine. Considerando equiprobabile l’uscita di un componente di una qualunque delle tre famiglie, si osserva che dal portone esce una persona di sesso maschile. Quale è la probabilità che egli appartenga alla famiglia B?.

39. Calcolo delle Probabilità ESERCIZIO 3 La probabilità di colpire un bersaglio con una buona carabina è 1/3, con una meno buona è 1/4. Un tiratore ha cinque carabine, di cui una buona. Se spara un colpo con una carabina scelta a caso, qual è la probabilità di colpire il bersaglio? Sapendo che il tiratore ha colpito il bersaglio, qual è la probabilità che abbia usato una carabina buona?

40. Calcolo delle Probabilità ESERCIZIO 4 Di 5 chiavi, una sola delle quali apre una serratura, 3 prese a caso sono inserite in un cassetto A e le restanti 2 in un cassetto B. Successivamente, da B si estrae a caso una chiave. Definiti gli eventi: • H = “B contiene la chiave che apre la serratura” • E = “la chiave estratta da B non apre la serratura” Calcolare P(E) e P(H|E).

41. Calcolo delle Probabilità ESERCIZIO 5 Compro due cassette con dieci piantine di bocche di leone ciascuna che ancora devono fiorire. Il vivaista mi ha detto che nella prima cassetta ci sono 7 piantine rosse e 3 bianche, mentre nella seconda ci sono 5 piantine rosse e 5 bianche. Prendo una delle due cassette, a caso, e da questa prendo due piantine. Qual è la probabilità che sboccino due bocche di leone rosse?

42. Calcolo delle Probabilità ESERCIZIO 6 Un dirigente di una compagnia di assicurazioni ha sviluppato un test attitudinale per agenti assicurativi. Sa che dall’attuale gruppo di agenti il 65% ha ottenuto buoni risultati di vendita ed il restante 35% ha ottenuto risultati scarsi. Dà il suo test all’intero gruppo di agenti e trova che il 73% di coloro che hanno ottenuto buoni risultati passa il test e che il 78% di coloro che hanno ottenuto scarsi risultati sbaglia il test. Scegliendo un agente a caso e sottoponendogli il test: a) qual è la probabilità che chi passa il test non abbia ottenuto buone vendite? b)qual è la probabilità che chi passa il test abbia ottenuto buone vendite? c) qual è la probabilità che chi non passa il test non abbia ottenuto buone vendite? d) qual è la probabilità che chi non passa il test abbia ottenuto buone vendite?

43. Calcolo delle Probabilità ESERCIZIO 7 Tre macchine, A B, e C, producono rispettivamente il 60%, il 30%, e il 10% del numero totale dei pezzi prodotti da una fabbrica. Le percentuali di produzione difettosa di queste macchine sono rispettivamente del 2%, 3% e 4%. - Determinare la probabilità di estrarre un pezzo difettoso. Viene estratto a caso un pezzo che risulta difettoso. - Determinare la probabilità che quel pezzo sia stato prodotto dalla macchina C.

44. Soluzioni Esercizio 1: • 20% • 71% • 10% Esercizio 2: • 1/3 Esercizio 3: • 4/15 • 1/4

45. Soluzioni Esercizio 4: • 4/5 • 1/4 Esercizio 5: • 0,34 Esercizio 6: • 0,1396 • 0,8604 • 0,6087 • 0,3913

46. Soluzioni Esercizio 7: • 0,025 • 0,16