Controllo ottimo delle superfici di commutazione nei sistemi ibridi autonomi

1. Controllo ottimo delle superfici di commutazione nei sistemi ibridi autonomi Mauro Boccadoro*, Magnus Egerstedty e Yorai Wardiy *DIEI - Università di Perugia yECE - Georgia Institute of Technology, Atlanta (GA) USA

2. Sommario • Controllo ottimo di sistemi ibridi • Controllo tramite superfici di commutazione parametrizzate • Aspetti implementativi • Applicazioni • Conclusioni

3. Sistemi ibridi Dinamica: Siano ti , xi gli istanti e gli stati di commutazione

4. Controllo ottimo di sistemi ibridi Dinamica: Funzione costo: Problema: trovare ingressi continui u(.), sequenza e istanti di commutazione che minimizzino J • Caso fi=fi(x) • s=s(i,t) controllo in ciclo aperto • s=s(i,x) controllo in feedback

5. Superfici di commutazione ottime Controllo ottimo di un sistema ibrido autonomo tramite la “progettazione”di superfici di commutazione parametrizzate, i.e., Trovare i valori dei parametri ai che minimizzano J

6. Ipotesi • L(x) differenziabile • modi fiLipschitz in Rn • gidifferenziabili, con #h parametri • Raggiungimento delle superfici di commutazione in maniera trasversale (implica “continuità” delle esecuzioni del sistema), i.e., • detti ti e xi gli i-esimi istanti di commutazione e corrispettivi stati • dove

7. Dinamica variazionaledei sistemi ibridi

8. Per sistemi ibridi con commutazioni dipendenti dallo stato Dinamica autonoma con superfici parametrizzate,dove Dinamica variazionaledei sistemi ibridi (2) La dinamica variazionale di sistemi “ordinari” è data da dove sta per la matrice di transizione di stato del sistema linearizzato Termini forzanti

9. Approccio alla soluzione 1) Calcolare il gradiente dJ/da, a={a1,a2,…}

10. Approccio alla soluzione (2) • Applicare algoritmi numerici a discesa del gradiente (soluzioni ottime locali) • Complessità del calcolo del gradiente: • Sono necessarie due integrazioni: una in avanti per i termini Rk e LkT, una all'indietro per p(tk+) • Si noti che le traiettorie devono continuare ad essere trasversali durante l’ottimizzazione: ciò implica • continuità delle esecuzioni (quindi, continuità di J in a) • applicabilità dei metodi a discesa del gradiente

11. Controllo ottimo di sistemi ibridi • Controllo tramite superfici di commutazione parametrizzate • Aspetti implementativi • Applicazioni • Conclusioni

12. Continuità delle soluzioni

13. Discontinuità delle soluzioni

14. Discontinuità delle soluzioni

15. Algoritmo di Armijo Consente di trovare il passo ottimale nella discesa del gradiente tramite un controllo della funzione obiettivo J J continua J discontinua Possibilità di estendere l’algoritmo per l’ottimizzazione di funzioni discontinue

16. Sommario • Controllo ottimo di sistemi ibridi • Controllo tramite superfici di commutazione parametrizzate • Aspetti implementativi • Applicazioni • Conclusioni

17. Applicazione (1): Stabilizzazione

18. Applicazione (1): Stabilizzazione Stabilizzazione tramite ottimizzazione delle superfici di commutazione

19. Applicazione (2): distanze di sicurezza per robot mobili • Intro: paradigma “reattivo” e “deliberativo” nella robotica mobile • Paradigma reattivo: il robot commuta tra differenti comportamenti quando vengono percepiti variazioni ambientali • progettazione modulare (modi di comportamento concepiti per compiti specifici) • Paradigma deliberativo: possono essere elaborati cammini ottimali • alta complessità computazionale

20. Ottimalità per sistemi di navigazione reattivi Dato un set di comportamenti, progettare le leggi di commutazione ottime e.g., missione di raggiungere una destinazione evitando un ostacolo Dati i comportamenti:vai-a-destinazionee fuggi-dall’ostacolo,identificare le superfici di commutazioneottimeattorno all’ostacolo • Nei lavori correlati: viene stabilita una distanza di sicurezza dall’ostacolo • Qual’è il suo ottimo? • La forma circolare di tale superficie di commutazione è ottima?

21. xg xo x0 Ottimalità per sistemi di navigazione reattivi dinamica modi Due superfici di commutazione circolari centrate nell’ostacolo costo

22. Soluzione: algoritmo a discesa del gradiente

23. Soluzione: algoritmo a discesa del gradiente

24. Soluzione: algoritmo a discesa del gradiente

25. Risultati (1) Le due superfici tendono a collassare, per diverse scelte dei parametri del sistema Utilizzare una singola superficie di commutazione

26. Risultati (2) • Ottimizzazione per una singola superficie di commutazionedistanza di sicurezza • Scelta di superfici non circolari, e.g. ellitticherisultano degli ottimi locali migliori degli ottimi globali per superfici circolari

27. Conclusioni Controllo ottimo dei sistemi ibridi autonomi tramite superfici di commutazione parametrizzate • Stabilizzazione • Applicazione alla robotica mobile • Per lo studio delle politiche ottime di sistemi manifatturieri ? (dinamiche ibride, superfici di commutazione correlate ai livelli delle scorte...) Problemi aperti • Discontinuità delle traiettorie • Algoritmi di ottimizzazione per funzioni discontinue • Dipendenza dalle condizioni iniziali