Probabilitas dan Statistika BAB 2 Peubah acak dan distribusi peluang

1. ProbabilitasdanStatistikaBAB 2 Peubahacakdandistribusipeluang

2. Pembahasan • PeubahAcak • DistribusiPeluangDiskret • DistribusiPeluangKontinyu • DistribusiEmpiris • DistribusiPeluangGabungan • BebasStatistik

3. Peubahacak • Peubah acak ialah suatu fungsi yang mengaitkan suatu bilangan real pada setiap unsur dalam ruang sampel. • Peubah acak akan dinyatakan dengan huruf besar, misalnya X , sedangkan nilainya dinyatakan dengan huruf kecil padanannya, misalnya x.

4. gambaran • Peubah acak, X, banyaknya barang yang cacat bila tiga suku cadang elektronik diuji. Jadi, peubah acak X mendapat nilai 2 untuk semua unsur pada himpunan bagian E = {CCB, CBC, BCC} • Jadi, tiap kemungkinan nilai x menggambarkan suatu kejadian yang merupakan ruang bagian dari ruang sampel percobaan tersebut.

5. Contohsoal 1 • Dua buah bola diambil satu demi satu tanpa dikembalikan dari suatu kantung berisi 4 bola merah dan 3 bola hitam. Bila Y menyatakan jumlah bola merah yang diambil maka nilai y yang mungkin dari peubah acak Y adalah?

6. Ruang sampel diskret &Ruang sampel kontinu • Ruang sampel diskret Jika suatu ruang sampel mengandung titik yang berhingga banyaknya atau sederetan anggota yang banyaknya sebanyak bilangan bulat, maka ruang sampel itu disebut ruang sampel diskret • Ruang sampel kontinu Bila ruang sampel mengandung titik sampel yang tak berhingga banyaknya dan banyaknya sebanyak titik pada sepotong garis, maka ruang sampel itu disebut ruang sampel kontinu

7. Distribusi peluang diskret Himpunanpasanganterurut(x, f(x)) merupakansuatufungsipeluang, ataudistribusipeluangpeubahacakdiskretX bila, untuksetiapkemungkinanhasil x 1. F(x) >= 0 2. = 1 3. P’(X = x) = f(x)

8. Contohsoal 2 • Suatupengiriman 8 komputer pc yang samakesuatutokomengandung 3 yang cacat. Bilasuatusekolahmembeli 2 komputerinisecaraacak, caridistribusipeluangbanyaknya yang cacat

9. jawaban MisalkanX peubahacakdengannilai x kemungkinanbanyaknyakomputer yang cacat yang dibeliolehsekolahtersebut. Maka x dapatmemperolehsetiapnilai0, 1, dan 2. Sekarang, F(0) = P (X = 0) = = 10/28 F(1) = P(X = 1) = = 15/28 continue..

10. f(1) = P(X = 2) = = 2/28 Jadidistribusipeluang X x 0 1 2 f(x) 10/28 15/28 3/28

11. Distribusikumulatif DistribusikumulatifF(x) suatupeubahacakdiskret X dengandistribusipeluang f(x) dinyatakanoleh F(x) = P(X x) = untuk - < x <

12. Contohsoal 3 Hitunglahdistribusikumulatifpeubahacak X dalamcontohsoal 2. DenganmenggunakanF(x), perlihatkanbahwa f(2) = 3/8 Jawab: Denganmenghitunglangsungdistribusipeluangpadacontohsoal2, diperoleh f(0) = 1/16, f(1) = 1/14, f(2) = 3/8, f(3) = ¼, dan f(4) = 1/16. Jadi, F(0) = f(0) = 1/16 F(1) = f(0) + f(1) = 5/16 F(2) = f(0) + f(1) + f(2) = 11/16 F(3) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) = 15/16 F(4) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + f(4) = 1 Jadi, f(2) = F(2) – F(1) = 11/ 16 – 5/16 = 3/8

13. DistribusipeluangKontinu Fungsi f(x) adalahfungsipadatpeluangpeubahacakkontinuXtyang disefinisikandiatashimpunansemuabilangan real Rtbila 1. f(x) ≥ 0 untuksemua x R 2 = 1 3. P(a < X <b) =

14. Contohsoal 4 Misalkanbahwagalatsuhureaksi, dalamºC, padapercobaanlaboratorium yang dikontrolmerupakanpeubahacak X yang mempunyaifungsipadatpeluang f(x) = x2/3,untuk –1 < x < 2 0,untuk x lainnya • Tunjukkanbahwasyaratterpenuhi. • Hitung P(0 < x 1). Jawab: • = x2/3 dx = x3/9 = 8/9 + 1/9 = 1. • P(0 < x 1) = x2/3 dx = x3/9 = 1/9

15. Distribusikumulatif (tumpukan) Distribusikumulatif (tumpukan)F(x) suatupeubahacakkontinu X denganfungsipadat f(x) diberikanoleh F(x) = P(x x) = untuk- < x <

16. Contohsoal 5 CarilahF(x) darifungsipadacontohsoal4 dankemudianhitunglah P(0 < X 1) Jawab: Untuk -1< x < 2, F(x) = = t2/3 dt = t3/9 = x3+1 9 Jadi, 0 x -1 F(x) = x3 + 1 -1 x < 2 9 1 x 2 Jadi, P(0 < X 1) = F(1) – F(0) = 2/9 – 1/9

17. Distribusiempiris Data statistik, yang dikumpulkandalamjumlahamatbanyak, akansangatmembantudalammenelaahbentukdistribusibiladisajikandalambentukgabungantabeldangrafik yang dinamakandiagram batang-daun. Contoh : 25 data

18. Distribusiempiris Distribusifrekuensiyang datanyadikelompokkandalamkelasatauselang yang berbedadapatdibuatdenganmudahdenganmenghitungbanyaknyadaunpadasetiapbatangdanperhatikanbahwasetiapbatangmenentukanselangkelas. Contoh

19. Distribusiempiris Histogram frekuensinisbidibentukdenganmenggunakantitiktengahtiapselangdanfrekuensinisbipadanannya. Suatudistribusidikatakansimetrisatausetangkupbiladapatdilipatsepanjangsumbutegaktertentusehinggakeduabagiansalingmenutupi. Distribusi yang tidaksetangkupterhadapsuatusumbutegakdikatakantaksetangkupataumencong

20. Distribusipeluanggabungan Fungsi f(x, y) adalahdistribusipeluanggabunganataufungsimassapeluangpeubahacakdiskret X dan Y bila 1. F(x,y) 0 untuksemua (x,y). 2. F(x,y) = 1. 3. P(X = x, Y = y) = f(x,y). Untuktiapdaerah A dibidangxy, P[(X, Y) A] =

21. Contohsoal 6 Contohsoal 7: Duaisi ballpoint dipilihsecaraacakdarisebuahkotak yang berisi 3 isiwarnabiru, 2 merah, dan 3 hijau. Bila X menyatakanbanyaknya yang berwarnabirudan Y warnamerah yang terpilih, hitunglah • Fungsipeluanggabungan f(x,y), dan • P [(X,Y) A], bila A daerah { (x,y) [x+y 1} Jawab: Pasangannilai (x,y) yang mungkinadalah(0,0), (0,1), (1,0), (1,1), (0, 2), dan (2,0). Sekarang f(0,1), misalnyamenyatakanpeluangbahwaisiberwarnamerahdanhijau yang terpilih. Banyaknyacara yang berkemungkinansamamemilihduaisidaridelapanadalah = 28. Banyaknyacaramemilih 1 merahdari 2 isiberwarnamerahdanhijaudari 3 isiberwarnahijauadalah = 6, jadi f(0,1) = 6/28 = ¾. Denganjalan yang samadihitungpeluanguntukkasuslainnya, yang disajikanpadatabelhalamanberikut

22. x = 0, 1, 2; F(x,y) = y = 0, 1, 2; 0 x+y2 b. P [(X, Y) A] = P (X + Y 1) = f(0,0) + f(0,1) + f(1,0) = 3/28 + 3/14 + 9/28 = 9/14

23. Fungsipadatgabungan Fungsi f(x,y) adalahfungsipadatgabunganpeubahacakkontinu X dan Y bila 1. F(x,y) 0 untuksemua (x,y) 2. = 1 3. P [(X, Y) A] = Untuktiapdaerah A dibidangxy

24. Contohsoal 7 Contohsoal 8: Suatuperusahaancoklatmengirimberkotak-kotakcoklatdengancampurankrem, tofe, dakacangberlapiscoklatcerahdanpekat. Bilakotakdipilihsecaraacak , serta X dan Y menyatakanamsing – masingproporsi yang kremberlapiscoklatcerahdanpekatdanmisalkanbahwafungsipadatgabungannyaialah: f(x, y) = 0 x 1, 0 y 1 untuk x, y lainnya • Tunjukkanbahwasyarat = 1 dipenuhi • Cari P [(X, Y) A], bila A daerah {(x,y)| 0 x ½, ¼ y ½}

25. Jawab : a. = = 2x2 + 6xy dy 5 5 = 2 + 6y dy= 2y + 3y2 5 5 5 5 = 2 + 3 = 1 5 5

26. b. P[(X, Y) A = P(0 < X < ½, ¼ < Y < ½) = = 2x2 + 6xy dy 5 5 = 1 + 3y dy = y + 3y2 10 5 10 10 = 1 1 + 3 1 + 3 = 13 10 2 4 4 16 160

27. Distribusi marginal (pias) Distribusi marginal (pias)dari X sendiridan Y sendirididefinisikansebagai g(x) = dan h(y) = Untukhaldiskret, dan g(x) = danh(y) = untukhalkontinu

28. Contohsoal 8 Tunjukkanbahwajumlahlajurdanbaristabelberikutmemberikandistribusipiasdari X sendiridan Y sendiri

29. Untukpeubahacak X, P(X = 0) = g(x) = = f(0,0) + f(0,1) + f(0,2) = 3/28 + 3/14 + 1/28 = 5/14 P(X = 1) = g(1) = = f(1,0) + f(1,1) + f(1,2) = 9/28 + 3/14 + 0 = 15/28 Dan P(X = 2) = g(2) = = f(2,0) + f(2,1) + f(2,2) = 3/28 + 0 + 0 = 3/28 Yang merupakanjumlahlajurpadatabeltersebut. Denganjalan yang samadapatditunjukkanbahwanilai h(y) merupakanjumlahbarisnya.

30. Distribusibersyarat Misalkan X dan Y duapeubahacak, diskretmaupunkontinu. Distribusibersyaratpeubahacak Y, biladiketahui X = x, dinyatakanoleh f(y|x) = f(x,y), g(x) >0 g(x) Begitupula, distribusibersyaratpeubahacak X, biladiketahui Y = y, dinyatakanoleh f(x|y) = f(x,y), h(y) >0 h(y)

31. Bebasstatistik Misalkan X dan Y duapeubahacak, diskretmaupunkontinu, denganfungsipeluanggabungan f(x,y) dandistribusipiasmasing – masing g(x) dan h(y). Peubah X dan Y dinyatakanbebasstatistikjikadanhanyajika f(x,y) = g(x) h(y) Untuksemua (x,y) dalamdaerahdefinisinya Misalkan X1, X2, X3, …, Xn n peubahacak, diskretmaupunkontinu, dengandistribusipeluanggabungan f(X1, X2, X3, …, Xn) dandistribusipiasmasing – masing f1(x1), f2(x2), …, fn(xn). Peubahacak X1, X2, X3, …, Xndikatakansalingbebasstatistikjikadanhanyajika f(x1, x2, …, xn) = f1(x1) f2(x2), …, fn(xn). Untuksemua (x1, x2, …, xn) dalamdaerahdefinisinya

32. Contohsoal 8 Misalkanlamanyatahan, dalamtahun, sejenismakanankemasandalamkotaksebelumrusakmerupakanpeubahacak yang fungsipadatpeluangnyaberbentuk f(x) = e-x , x >0 0, untuk x lainnya. Misalkan X1, X2, dan X3menyatakanlamanyatahantigakotakdarimakanankemasanini yang dipilihsecaraacak, hitunglah P (X1<2, 1<X2<3, X3>2). Jawab: Karenakotakdipilihsecaraacak (bebas), makadapatdianggapbahwapeubahacak X1, X2, dan X3bebasstatistikdenganpeluangpadatgabungan f(x1, x2, x3) = f(x1)f(x2)f(x3) = e-x 1 e-x 2 e-x 3 = e-x 1-x2-x3 , x1>0, x2 >0, x3 >0

33. Dan f(x1, x2, x3) = 0 untuknilai yang lainnya. Jadi P(X1<2, 1< X2<3, X3>2) = e-x 1-x2-x3 dx1 dx2 dx3 = (1 – e-2)(e-1 - e-3) e-2 = 0,0376