Contenu du cours (par J.B. Edel & P. Sailhac )

1. Contenu du cours (par J.B. Edel & P. Sailhac) MODULE - METHODES POTENTIELLES I. Introduction Générale – J.B. Edel II. Champs de potentiel (gravimétrique, magnétique, …) – P. Sailhac III. Sources (densité et aimantation, distribution, fonction de Green, …) – P. Sailhac IV. Propriétés physiques des roches : densités, aimantations induites et aimantations rémanentes – J.B. Edel V. Etablissement de profils et cartes d'anomalies gravimétriques et magnétiques : les mesures, les corrections des données, ... – J.B. Edel VI. Calculs de l’effet de structures simples : sphère, cylindre, filon, faille et prisme quelconque à deux dimensions – J.B. Edel VII. Quelques méthodes d'interprétation et de transformations rapides des anomalies (prolongement, dérivation,réduction au pôle), qui permettent d'affiner la localisation des structures et d'en délimiter les contours. VIII. Cartes magnétique et gravimétriques du fossé rhénan : Interprétations – J.B. Edel

2. VII. Quelques méthodes d'interprétation et de transformations rapides des anomalies VII.1 Problématique du prolongement, de la dérivation et de la réduction des champs de potentiel VII.2 Rappels sur le domaine de Fourier à 1 et 2 variables VII.3 Expression des principales transformations des champs de potentiel dans le domaine de Fourier VII.4 Opérateurs de prolongement et de dérivation VII.5 Réduction au pôle et à l’équateur, et signaux analytiques VII.6 Transformation en couche équivalente

3. VII.1 Problématique du prolongement, de la dérivation et de la réduction des champs de potentiel : Objectifs Signature de Filons Signature d’une faille Profil aéromagnetique de l’anomalie du champ total Profil de l’anomalie Aéromagnetique (Données) ~40° Structures en Profondeur (Objectif) 500m ~2km • Certaines transformation des données facilitent leur interprétation en mettant en évidence : • l’abscisse des sources • la profondeur des sources • le type de source (filon ou contact par exemple) • la taille des sources • l’inclinaison de l’aimantation (en magnétisme) • l’orientation des structures sources • …

4. 0 10 20 km VII.1 Problématique du prolongement, de la dérivation et de la réduction des champs de potentiel : Exemple en Aéromagnétisme Géologie en Surface Anomalie du Champ Total Gradient Horizontal Horizontal Phase

5. VII.1 Problématique du prolongement, de la dérivation et de la réduction des champs de potentiel : Rappel sur le champ de pesanteur et le potentiel magnétique dans le cas de la sphère (ou « source ponctuelle » z2=z0+h  Prolongement Dérivation  z0 Masses à z=z0 ou à z=z2 Dipôles à z=z0

6. z2=z0+h  Prolongement vers le haut z0 Masses à z=z0 VII.1 Problématique du prolongement, de la dérivation et de la réduction des champs de potentiel Objectifs Principaux = Corriger les artéfacts liés à des altitudes irrégulières, à la topographie et au bruit des données Moyen = Utilisation d’un filtre passe-bas transformant les donnée d’une altitude vers une altitude plus élevée Equation de Poisson : Solution où : Fonction de Green en gravi définit l’opérateur de prolongement vers le haut : Définition Propriété

7. VII.1 Problématique du prolongement, de la dérivation et de la réduction des champs de potentiel Objectifs Principaux = Mettre en évidence le bord des anomalies, et placer le maximum des anomalies à l’aplomb des sources Moyen = Utilisation de combinaison de filtres de dérivation Dérivation  z2=z0+h z0 Masses à z=z0 Dipôles à z=z0 Relation entre les anomalies gravimétriques et magnétiques : Dérivation oblique Relation entre une anomalies magnétique quelconque et celle qu’on aurait mesurée au pôle pour une même source : Intégration oblique puis dérivation verticale

8. VII.1 Problématique du prolongement, de la dérivation et de la réduction des champs de potentiel : Principe Résumé Prolongement vers le haut Dérivation  z2=z0+h  z0 Masses à z=z0 Dipôles à z=z0 Relation entre les champs à différentes altitudes : Prolongement vers le haut Relation entre les anomalies gravimétriques et magnétiques : Dérivation oblique Relation entre une anomalies magnétique quelconque et celle qu’on aurait mesurée au pôle pour une même source : Intégration oblique puis dérivation verticale

9. VII.2 Rappels sur le domaine de Fourier à 1 et 2 variables Principales connaissances utiles : cf. par exemple cours de Traitement du Signal de Dominique Gibert (Géosciences Rennes) A) Origine = Résolution d’un problème physique Problème étudié par Jean Batiste Fourier Définitions possibles Base physique = résolution d’équations physiques Cas général de l’équation de Sturm-Liouville Cas particulier du prolongement vers le haut (d’un profil) B) Propriétés et applications Linéarité, symétrie, Similitude, Translation, Dérivation Produit de convolution et causalité sources/potentiel Transformée de Hilbert et signal analytique C) Processus Stochastiques Corrélation Spectre d’énergie de différents types de bruit Spectre d’énergie d’une source en bruit blanc à une profondeur fixée D) Echantillonnage et numérisation Troncature du spectre et effet de Gibbs (filtrage passe bas) Troncature du signal et résolution spectrale Echantillonnage et fréquence de Nyquist Erreur de discrétisation : repliement du spectre

10. VII.2 Rappels sur le domaine de Fourier à 1 et 2 variables A) Origine = Résolution d’un problème physique Problème étudié par Jean Batiste Fourier Définitions possibles 1D 2D

11. VII.2 Rappels sur le domaine de Fourier à 1 et 2 variables B) Propriétés et applications Définitions possibles  Les opérateurs différentiels ont des expressions simples 1D 2D

12. VII.2 Rappels sur le domaine de Fourier à 1 et 2 variables B) Propriétés et applications Définitions possibles  Le produit de convolution est un produit simple 1D 2D

13. VII.3 Expression des principales transformations des champs de potentiel dans le domaine de Fourier On considère la fonction homogène f(x,y,z) dans le demi-plan supérieur ne contenant aucune source (z croissant vers le bas). Cette fonction f est soit l’anomalie magnétique du champ total T soit l’anomalie gravimétrique g. Ainsi l’anomalie vérifie l’équation de Laplace : (1) 1/ Définir la transformée de Fourier 2D F(u,v,z) de f(x,y,z) suivant les variables x et y. 2/ Montrer que l’équation (1) dans le domaine de Fourier 2D s’écrit : (2) 3/ Pour résoudre l’équation différentielle (1 ou 2), on a besoin de fixer les conditions aux limites. Une première condition est fournie par l’argument physique : l’anomalie est nulle très loin des sources, i.e. f(x,y,z)→0 pour z→-. La deuxième condition est fournie par des données sur le plan z=0 : f0(x,y)=f(x,y,z=0). En notant F0(u,v)=F(u,v,z=0), déterminer les solutions F de l’équation (2) en fonction de F0, puis les solutions f de l’équation (1) en fonction de f0. 4/ Déduire de la question 3/ l’expression de l’opérateur de prolongement vers le haut depuis un plan horizontal. 5/ Ce qui précède est utile à une modélisation 3D utilisant des données en carte (variables x,y) ; refaire l’exercice dans le cas d’une modélisation 2D utilisant des données en profil (variable x seulement). Exercice permettant de déterminer l’opérateur de prolongement vers le haut

14. VII.3 Expression des principales transformations des champs de potentiel dans le domaine de Fourier Expressions de l’opérateur de prolongement vers le haut (passant d’un plan à l’altitude a vers un plan à l’altitude a+h) : Interprétation 2D (données sur un profil, TF à 1D) avec NB : le prolongement du profil fa pour obtenir le profil fa+h s’obtient par un produit de convolution Interprétation 3D (données sur une carte, TF à 2D) avec Idem : le prolongement du profil fa pour obtenir le profil fa+h s’obtient par un produit de convolution

15. VII.3 Expression des principales transformations des champs de potentiel dans le domaine de Fourier 1/ Considérer l’expression de la fonction homogène f(x,y,z) à partir du prolongement de la fonction f0(x,y)=f(x,y,z=0), puis utiliser une dérivation partielle suivant z pour définir l’opérateur de dérivation verticale (vers le bas) dans le domaine de Fourier. On pourra commencer par faire cet exercice dans le cas d’une modélisation 2D utilisant des données en profil (variable x seulement), puis dans celui d’une modélisation 3D utilisant des données en carte (variables x,y). 2/ En déduire, toujours dans le domaine de Fourier, une expression de l’opérateur de dérivation oblique, dans la direction du vecteur suivant : Exercice permettant de déterminer l’opérateur de dérivation verticale

16. VII.3 Expression des principales transformations des champs de potentiel Remarque concernant le prolongement vers le haut et la troisième identité de Green • Prolongement vers le haut tel que nous l’avons exprimé, à partir de données sur un plan (pour un potentiel f) : avec • Troisième Identité de Green (U de classe C2 sur un domaine assez régulier R, dont S est la surface fermée avec sa normale n) : Superposition de 3 termes sources : - source volumique monopolaire, proportionnelle à la divergence de U - source surfacique monopolaire, proportionnelle au gradient de U - source surfacique dipolaire, proportionnelle à U Lien : comparer l’opérateur de prolongement vers le haut avec