havo D deel 3 Samenvatting Hoofdstuk 11

1. havo D deel 3 Samenvatting Hoofdstuk 11

2. y is (recht) evenredig met x De formule heeft de vorm y = ax De tabel is een verhoudingstabel. Bij een k keer zo grote x hoort een k keer zo grote y. De grafiek is een rechte lijn door de oorsprong. voorbeeld x 5 x 3 x 2 a 3 9 12 24 60 N 8 24 32 64 160 x 3 x 2 x 5 evenredig a 3 x zo groot N 3 x zo groot 11.1

3. y is omgekeerd evenredig met x De formule heeft de vorm xy = a , ofwel y = a/x Vermenigvuldig je x met een getal, dan moet je y door dat getal delen. De grafiek is een hyperbool. voorbeeld x 2 P 3 4 8 9 36 T 24 18 9 8 2 vermenigvuldigd steeds 72 : 2 omgekeerd evenredig P 2 x zo groot T 2 x zo klein 11.1

4. Evenredig en omgekeerd evenredig met een macht van x Als de grootheden P en Q evenredig zijn, bestaat er een getal a zo, dat P = aQ Het getal a heet de evenredigheidsconstante. En zo volgt uit y is evenredig met x0,75 dat er een getal a bestaat zo, dat y = ax0,75 y is evenredig met xn betekent dat er een getal a bestaat met y = axn Voor omgekeerd evenredig geldt een dergelijke eigenschap. y is omgekeerd evenredig met xn betekent dat er een getal a bestaat met 11.1

5. Evenredigheid aantonen bij tabellen Werkschema : hoe volgt uit een tabel met onderzoeksresultaten dat y evenredig is met xn ? Bereken bij elk onderzoeksresultaat het quotiënt 2. Verschillen deze quotiënten weinig, dan is y evenredig met xn 11.1

6. Logaritmische schaalverdeling Een gewone schaalverdeling is niet praktisch als je op een getallenlijn gegevens wilt uitzetten die sterk in grootte verschillen. We kiezen in zo’n situatie liever een logaritmische schaalverdeling. paard = 600 kg. log(600) ≈ 2,8 Op de logaritmische schaalverdeling is de afstand van 104 tot 100 gelijk aan 4 log(104) = 4. 11.2

7. Exponentiële groei en logaritmisch papier Bij een rechte lijn op logaritmisch papier hoort exponentiële groei, dus een formule van de vorm N = b·gt Machtsfuncties en dubbellogaritmisch papier Bij een rechte lijn op dubbellogaritmisch papier hoort een formule van de vorm y = axn. De lijn gaat door het punt (1, a) en heeft richtingscoëfficiënt n. 11.2

8. opgave 19a Rechte lijn op logaritmisch papier, dus N = b · gt. t = 1 en N = 30 t = 7 en N = 400 N = b · 1,540t t = 1 en N = 30 Dus N = 19,5 · 1,540t. 400 g6 dagen = ≈ 1,540 gdag = 30 b· 1,5401 = 30 b = 19,5 11.2

9. Verdubbelings- en halveringstijd De verdubbelingstijd bij exponentiële groei is de tijd waarin de hoeveelheid verdubbelt. Bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door de vergelijking gT = 2 op te lossen. De halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheid gehalveerd wordt. Bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door de vergelijking gT = ½ op te lossen. 11.3

10. opgave 43 0 – 1500  g1500 jaar = 2  gjaar = 2 ≈ 1,0005  0,05% 1500 – 1800  g300 jaar = 2  gjaar = 2 ≈ 1,0023  0,23% 1800 – 1950  g150 jaar = 2  gjaar = 2 ≈ 1,0046  0,46% 1950 – 1986  g36 jaar = 2  gjaar = 2 ≈ 1,0194  1,94% 1986 – 2005  g19 jaar = = ≈ 1,35  gjaar = 1,35 ≈ 1,0161  1,61% 11.3

11. De grafiek bij logistische groei • Exponentiële groei zal in de praktijk niet oneindig doorgaan. • Vaak krijgt de grafiek de vorm van het het figuur hieronder. • De grafiek heeft een horizontale asymptoot. • De grafiek nadert tot een grenswaarde. • Een dergelijke groei heet logistische groei. • Logistische groei • Door invloeden van buitenaf vindt afremming • van exponentiële groei plaats. • De grafiek is een S-vormige kromme die voor • grote waarden van t de grenswaarde nadert. • De toenemende stijging duurt tot halverwege • de grenswaarde. 11.4

12. opgave 57 De grenswaarde is 25 dus met P0 = 2 Na enig proberen vind je dat k = 0,25 voldoet dus met P0 = 2. 11.4

13. opgave 64 a b De GR geeft als top van de parabool het punt (45; 4,05). c Uit de differentievergelijking volgt dat P = 40. _ 11.4