havo/vwo D Samenvatting Hoofdstuk 8

1. havo/vwo D Samenvatting Hoofdstuk 8

2. Getallenverzamelingen ℕ = positieve gehele getallen ℤ = ℕ + 0 + negatieve gehele getallen ℚ = ℤ + gebroken getallen ℝ = ℚ + irrationele getallen zoals √11 en sin15° ℂ = ℝ + complexe getallen ( i ). 8.1

3. De verzameling van de complexe getallen • Voor het imaginaire getal i geldt i2 = -1. • vb.x2 = -3 • x2 = 3 · i2 • x = √3 · i v x = -√3 · i • x = i√3 v x = -i√3 • Een getal van de vorm a + bi met a en b reële getallen en • met i2 = -1 heet een complex getal. ( ℂ ) • Bij z = a + bi is het getal a het reële getal van z, notatie a = Re(z). • Het getal b is het imaginaire deel van z, notatie Im(z). • Het complexe getalz = a – bi heet de geconjugeerde van z. 8.1

4. Rekenregels voor complexe getallen 8.1

5. Complexe getallen op de GR 8.1

6. Vectoren en complexe getallen • Complexe getallen worden getekend in het complexe vlak. • De reële as is horizontaal en de imaginaire as is verticaal. • De modulus of absolute waarde van een complex getal z is • de lengte van de vector die bij het complexe getal hoort. • z = a + bi = • z·z = z2 • z1 · z2 = z1 · z2 8.2

7. opgave 18 im • Re(z) = 4 • (4,0i) , (4,1i) • b) Re(z) = Im(z) • (0,0i) , (1,1i) • c) Re(z) + Im(z) = 2 • (0,2i) , (2,0i) • d) Re(z) – 2 Im(z) = 4 • (0,-2i) , (4,0i) 4i c 3i 2i i re 0 b -i a -2i d 8.2

8. opgave 23a im -30°≤ Arg(z) ≤ 30° 4i 3i ∙ 2i i re 0 -i -2i ∙ 8.2

9. Vermenigvuldigen met poolcoördinaten • z1· z2 = z1 · z2 en • arg(z1 · z2) = arg(z1) + arg(z2) • Delen met poolcoördinaten • De formule van De Moivre • (cos φ + i sin φ)n = cos nφ + i sin nφ 8.3

10. De exacte-waarden-cirkel 8.3

11. De functies f(z) = z + a + bi en f(z) = a · z • Bij de functie f(z) = z + a + bi hoort de translatie (a, b) • Bij de functie f(z) = az met a een reëel getal hoort de • vermenigvuldiging t.o.v. 0 met factor a. • Een nulpunt van de complexe functie f is een getal dat op z = 0 • wordt afgebeeld. • Je krijgt de nulpunten van f door de vergelijking f(z) = 0 op te lossen. • Een dekpunt van de complexe functie f is een getal dat op • zichzelf wordt afgebeeld. • Je krijgt de dekpunten van f door de vergelijking f(z) = z op te lossen. 8.4

12. im opgave 49 5i • f(z) = -1½ z + 3 + 2i • Teken • verm. met -1½ t.o.v. 0 • gevolgd door translatie (3,2) • b) f(z) = 0 • -1½ z + 3 + 2i = 0 • -1½ z = -3 – 2i • z = 2 + 1⅓ i • Het nulpunt is 2 + 1⅓ i • c) f(z) = z • -1½ z + 3 + 2i = z • -2½ z = -3 – 2i • z = 2+4i ∙ 4i 3i 3+2i ∙ ∙ 2i i -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -3- i 3- i re ∙ ∙ -i -2i -3i 8.4 ∙ -4i

13. De functie f(z) = (a + bi)z • Bij de functie f(z) = (a + bi)z hoort de draaivermenigvuldiging • die bestaat uit de rotatie over arg(a + bi) en de vermenigvuldiging • ten opzichte van 0 met factor a + bi. 8.4

14. Krachten en complexe getallen • Bij het rekenen met krachten en snelheden is niet alleen de grootte, • maar ook de richting van belang. • Het is dan handig om gebruik te maken van vectoren. • complex getal z vector in het platte vlak • arg(z)  richting van de vector • z  lengte van de vector • Snelheden en complexe getallen • Ook van snelheden is vaak de grootte en de richting gegeven. • Bij snelheid is het begrip koers van belang. 8.5

15. opgave 67 Bij de krachten horen de complexe getallen z1 = 120(cos 0° + i sin 0°) = 120 z2 = 250(cos 35° + i sin 35°) z3 = 200(cos 100° + i sin 100°) z4 = 180(cos 170° + i sin 170°) GR z1 + z2 + z3 + z4 ≈ 388 arg(z1 + z2 + z3 + z4) ≈ 73° De resultante heeft een grootte van 388 N en maakt een hoek van 73°.met de horizontale as. 8.5

16. opgave 71 Bij de snelheden horen de complexe getallen z1 = 4(cos(-155°) + i sin(-155°)) z2 = 3i GR z1 + z2 ≈ 3,9 arg(z1 + z2) ≈ 160° De resulterende snelheid maakt een hoek van 160° met de horizontale as. De resulterende snelheid is 3,9 km/u en de koers is 290°. > 290° 8.5