havo/vwo D Samenvatting Hoofdstuk 7

1. havo/vwo D Samenvatting Hoofdstuk 7

2. Getallenrijen • Een recursieve formule van een rij geeft aan hoe elke term • uit één of meer voorafgaande termen volgt. • Bij een recursieve formule vermeld je de startwaarde. • vb.un= un – 1 + 160 7.1

3. Het rijen-invoerscherm van de GR • Rij van Fibonacci • Elke term is de som van de twee voorafgaande termen. • u3 = u2 + u1 • un = un – 1 + un - 2 7.1

4. opgave 10 • un= un – 1 + 5n met u0 = 100 • vn = vn – 1 + n2 met v0 = 10 • TI • Voer in nMin = 0 • u(n) = 0,5u(n – 1) + n2 • u(nMin) = 100 • u0 = 100 , u1 = 51 , u2 = 29,5 , • u3 = 23,75 , u4 = 27,875 , … • De kleinste term is u1. • b) u7≈ 76,73 • c) u16 ≈ 454 en u17 ≈ 516. • Vanaf de 18e term is un > 500. Casio Voer in an – 1 = 0,5an – 1 + (n + 1)2 start: 0 a0: 100 a0 = 100 , a1 = 51 , a2 = 29,5 , a3 = 23,75 , a4 = 27,875 De kleinste term is u3 7.1

5. Rekenkundige rijen • Een rekenkundige rij is een rij waarvan het verschil van twee • opeenvolgende termen steeds hetzelfde getal is. • Van een rekenkundige rij met beginterm u0 en verschil v is • de directe formule un = u0 + vn • de recursieve formule un = un – 1 + v met beginterm u0. • De somrij van een rekenkundige rij • Bij de rij un hoort de somrij Sn = u0 + u1 + u2 + u3 + … + un. • Voor de rekenkundige rij un geldt • som rekenkundige rij = ½ · aantal termen · (eerste term + laatste term) 7.2

6. Meetkundige rijen • Een meetkundige rij is een rij waarbij het quotiënt van twee • opeenvolgende termen steeds hetzelfde getal is. • Van een meetkundige rij met beginterm u0 en factor r is • de directe formule un = u0· rn • de recursieve formule un = r · un – 1 met beginterm u0. • De somrij van een meetkundige rij • Sn= • Voor een meetkundige rij un geldt • som meetkundige rij = eerste term(1 – factoraantal termen) 1 - factor 7.2

7. De formule un = a· un – 1 + b • Bij een lineaire differentievergelijking van de eerste orde hoort een • recursieve formule van de vorm un = aun – 1 + b. • Je kunt de termen van de bijbehorende rij un doorrekenen • met ANS op het basisscherm • door de formule in te voeren op het rijen-invoerscherm • en de termen in een tabel zetten • door de bijbehorende tijdgrafiek te plotten en deze met de • trace-cursor te doorlopen. • Je kunt de puntenrij in een Oxy-assenstelsel tekenen. • De punten (un – 1, un) liggen op de lijn y = ax + b. • De webgrafiek bestaat uit aaneengesloten verticale en horizontale • lijnstukken afwisselend op de lijnen y = ax + b en y = x. 7.3

8. Convergeren en divergeren • De lijnen y = ax + b en y = x hebben een snijpunt bij • Deze x-coördinaat heet het dekpunt van de rij un = aun – 1 + b • constante rij: • heeft het dekpunt als startwaarde • rij convergeert: • bij een grenswaarde is er een stabiel evenwicht • rij divergeert: • als er geen grenswaarde is dan is er een instabiel evenwicht. 7.3

9. De directe formule van de rij un = aun – 1 + b 7.3

10. Prooi-roofdiermodellen • Bij een prooi-roofdier cyclus hoort een tijdgrafiek en een • prooi-roofdierdiagram. • Bij een prooi-roofdiermodel hoort een stelsel van twee differentie- • vergelijkingen. • In het model hieronder is Pt het aantal prooidieren op tijdstip t • en Rt het aantal roofdieren op tijdstip t. • Pt = 1,18Pt – 1 – 0,003Rt – 1Pt – 1 • Rt = 0,94Rt – 1 + 0,0006Pt – 1Rt – 1 • met P0 = 120 en R0 = 65. • Je kunt het model met de GR doorrekenen en tijdgrafieken plotten. 7.4

11. opgave 62 • (0,25 – 0,0015R)P = 0 • 0,25 – 0,0015R = 0 • 0,0015R = 0,25 • R≈ 167 • (-0,03 + 0,00004P)R = 0 • -0,03 + 0,00004P = 0 • 0,00004P = 0,03 • P = 750 • De populaties veranderen dan niet meer, • dus steeds is Pt = 750 en Rt = 167. 7.4

12. Een model van een griepepidemie • Het verloop van een griepepidemie kan beschreven worden met • het model hieronder. • Hierin is Gt het aantal mensen dat op tijdstip t nog niet de griep • heeft gehad, het aantal mensen dat ziek is op tijdstip t en lt het aantal • mensen dat op tijdstip t immuun is. 7.4