DISTRIBUSI PROBABILITAS YANG UMUM

1. DISTRIBUSI PROBABILITAS YANG UMUM Pertemuan 6 dan 7

2. Distribusi Binomial (Distribusi Probabilitas Diskrit)

3. Percobaan Bernoulli : Sifat-sifat sebagai berikut : • Percobaan itu terdiri dari n pengulangan • Tiap pengulangan memberikan hasil yang dapat diidentifikasi sukses atau gagal • Probabilitas sukses dinyatakan dengan p, tetap konstan (tidak berubah) dari satu pengulangan ke pengulangan lainnya, sedangkan probabilitas gagal adalah q = 1- p • Tiap pengulangan dan pengulangan lainnya saling bebas.

4. Distribusi Binomial • Banyaknya X sukses dalam n pengulangan suatu percobaan bernoulli disebut sebagai variabel random Binomial, sedangkan distribusi probabilitasnya disebut distribusi Binomial dan nilainya dinyatakan sebagai : b(x,n,p)dimana x = 1, 2, …, n

5. Rata-rata danVariansiDistribusi Binomial : • Rata-rata = • Variansi =

6. Contoh • Probabilitas bahwa seorang pasien sembuh dari penyakit darah yang langka adalah 0,4. Bila 15 orang diketahui telah terkena penyakit ini, berapakah probabilitas : • Paling sedikit 10 orang yang selamat • Dari 3 sampai 8 orang yang selamat • Tepat 5 orang yang selamat • Hitung rata-rata dan variansinya

7. Distribusi Poisson (DistribusiProbabilitasDiskrit)

8. Percobaan Poisson : • Jika suatu percobaan menghasilkan variabel random X yang menyatakan banyak-nya sukses dalam daerah tertentu atau selama interval waktu tertentu, percobaan itu disebut percobaan Poisson.

9. Distribusi Poisson • Jumlah X dari keluaran yang terjadi selama satu percobaan Poisson disebut Variabel random Poisson, dan distribusi probabilitasnya disebut distribusi Poisson. • Bila x menyatakan banyaknya sukses yang terjadi ,  adalah rata-rata banyaknya sukses yang terjadi dalam interval waktu atau daerah tertentu, dan e = 2,718 , maka rumus distribusi Poisson adalah :

10. Rata-rata danVariansiDistribusi Poisson • Mean (rata-rata)dan variansidari distribusi Poisson adalah . Catatan : • Distribusi Poisson sebagai suatu bentuk pembatasan distribusi Binomial pada saat n besar , sedangkan p mendekati 0 , dan np konstan. • Sehingga bila n besar dan p mendekati 0, distribusi Poisson dapat digunakan untuk memperkirakan probabilitas Binomial, dengan

11. Contoh • Di suatu simpang jalan rata-rata terjadi 6 kecelakaan sebulan, maka hitunglah probabilitas : • Pada suatu bulan tertentu di simpang jalan itu terjadi 7 kecelakaan • Pada suatu bulan tertentu di simpang jalan terjadi minimal 4 kecelakaan • Pada suatu minggu tertentu di simpang jalan itu terjadi 4 kecelakaan

12. HubunganDistribusi Poisson denganDistribusi Binomial • Distribusi Poisson sebagai suatu bentuk pembatasan distribusi Binomial pada saat n besar , sedangkan p mendekati 0 , dan np konstan. • Sehingga bila n besar dan p mendekati 0, distribusi Poisson dapat digunakan untuk memperkirakan probabilitas Binomial, dengan  = np

13. Contoh • Dalam suatu proses produksi yang menghasilkan barang dari gelas, terjadi gelembung atau cacat yang menyebabkan barang tersebut sukar dipasarkan. Rata-rata 1 dari 1000 barang yang dihasilkan mempunyai satu atau lebih gelembung. Hitung probablitas dalam sampel random sebesar 8000 barang akan berisi kurang dari 7 yang bergelembung.

14. DistribusiHipergeometrik (Distribusi Probabilitas Diskrit)

15. Perbedaandiantaradistribusi binomial dandistribusihipergeometrik • adalahterletakpadacarapenarikansampel. • Dalamdistribusi binomial diperlukansifatpengulangan yang salingbebas, danpengulangantersebutharusdikerjakandenganpengembalian (with replacement). • Sedangkanuntukdistribusihipergeometriktidakdiperlukansifatpengulangan yang salingbebasdandikerjakantanpapengembalian (without replacement).

16. Penerapanuntukdistribusihipergeometrik • Ditemukan dalam berbagai bidang, dan paling sering digunakan dalam penarikan sampel penerimaan barang, pengujian elektronik, jaminan mutu, dsb. • Dalam banyak bidang ini, pengujian dilakukan terhadap barang yang diuji yang pada akhirnya barang uji tersebut menjadi rusak, sehingga tidak dapat dikembalikan. Jadi, pengambilan sampel harus dikerjakan tanpa pengembalian

17. Contoh • Suatu pabrik ban melaporkan bahwa dari 5 ban yang dikirimkan ke suatu toko ter-dapat 2 ban yang cacat. Bila seseorang membeli 3 ban, maka hitung: • Probabilitas terdapat 1 ban cacat yang dibeli • Probabilitas tidak ada ban cacat yang dibeli

18. Distribusi Normal (Distribusi Probabilitas Kontinu)

19.    x  Kurva Normal danVariabel Random Normal • Distribusi probabilitas kontinu yang terpenting adalah distribusi normal dan grafiknya disebut kurva normal. • Variabel random X yang distribusinya berbentuk seperti lonceng disebut variabel random normal.

20. Sifat kurva normal, yaitu : • Kurva mencapai maksimum pada • Kurva setangkup terhadap garis tegak yang melalui • Kurva mempunyai titik belok pada • Sumbu x merupakan asimtot dari kurva normal • Seluruh luas di bawah kurva, di atas sumbu x adalah 1

21. Distribusi Normal • Variabel random X berdistribusi normal, dengan mean dan variansi mempunyai fungsi densitas

22. luas daerah di bawah kurva dinyatakan dengan : x  X1 X2

23. Distribusi Normal Standar (1) • apabila variabel X ditransformasikan dengan substitusi • maka : ternyata substitusi menyebabkan distribusi normal menjadi , yang disebut distribusi normal standar.

24. Distribusi Normal Standar (2): • Karena transformasi ini, maka selanjutnya nilai ini dapat dihitung dengan menggunakan tabel distribusi normal standar.

25. Contoh • Rata-rata berat 500 mahasiswa STIKOM adalah 55 kg dandeviasistandarnya 3.4 kg. Berapakahbanyaknyamahasiswa yang mempunyaiberat • kurangdari 53 kg • diantara 53 kg dan 57 kg • Bilanilaiujianstatistikamempunyai mean 74 dandeviasistandar 7.9, hitunglah • Nilai lulus terendah, bilamahasiswadengannilai 10% terendahmendapat E. • Nilai B tertinggi, bilaprobabilitasmahasiswadengannilai 5% tertinggi men-dapat A .

26. Hubungan Distribusi Normal dan Distribusi Binomial: • Jika n besar dan p atau q menuju 0, maka distribusi binomial dapat didekati oleh distribusi normal, sehingga bila X adalah variabel random yang berdistribusi Binomial dengan mean dan variansi maka berdistribusi normal standar

27. Contoh • Suatu proses produksi menghasilkan sejumlah barang yang cacat sebanyak 10%. Bila 100 barang diambil secara random, maka hitung probabilitas : • Banyaknya cacat melebihi 13 • Antara 5 s/d 10 yang cacat • Tepat 10 yang cacat